矩阵的初等行变换与初等矩阵.

分块矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵我们先回顾矩阵的初等变换与初等矩阵的概念。

定义1 设A 是矩阵，对n m ×A 的下面三种变形统称为矩阵的初等行变换。

（1）对换矩阵A 的第i 行和第行的位置，记作j j i r r ↔； （2）用非零常数k 乘矩阵A 的第i 行各元素，记作；i r k （3）把矩阵A 的第i 行各元素的k 倍加到第j 行对应元素上，记作。

i j kr r + 类似地，若把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换，并依次记为；；。

j i c c ↔i kc i j kc c +初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。

若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B 。

定义2 n 阶单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

（1）对换单位矩阵E 的i , j 两行)(j i r r ↔，所得初等矩阵记为，简记为。

),(j i n r r E ),(j i r r E （2）用非零数k 乘单位矩阵E 的第i 行，所得初等矩阵记为， )(i kr )(i n kr E 简记为。

)(i kr E （3）把单位矩阵E 的第i 行的k 倍加到第j 行上)(i j kr r +所得初等矩阵记 为，简记为。

)(j i n kr r E +)(j i kr r E + 对单位矩阵作一次初等列变换得到的初等矩阵也是上面三种初等矩阵之一。

三种初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵也是初等矩阵，各自的逆矩阵为，),(),(1j i j i r r E r r E =−)1()(1i i r kE kr E =−，。

)()(1j i j i kr r E kr r E −=+− 初等矩阵与矩阵的乘法运算联系在一起，可以实现矩阵的初等变换。

定理1 对一个矩阵A 作一次初等行变换所得到的矩阵n m ×B ，等于一个对应的m 阶初等矩阵左乘矩阵A ；对A 作一次初等列变换所得到的矩阵B ，等于一个对应的n 阶初等矩阵右乘矩阵A 。

§2。

5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。

一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。

10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。

（3） 将 若把定义2。

10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。

j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。

例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。

另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。

复原为矩阵A B A B 定义2。

11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。

由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。

C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。

３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。

矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。

矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵发布时间：2023-02-03T06:52:33.822Z 来源：《教学与研究》2022年第18期第9月作者：蔡新华[导读] 由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,蔡新华内蒙古机电职业技术学院内蒙古呼和浩特 010070摘要由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,所以非常容易将二者混为一谈.此文的目的在于解释这两个概念的区别,同时也介绍它们的关系.在对矩阵进行运算时,我们可对其进行类似于行列式的行（列）变换或数乘运算等,即矩阵的初等变换.为了搞清楚变换后的矩阵所具有的特性,也为了说明矩阵的初等变换的意义,我们引入初等矩阵的概念.其实初等矩阵就是单位矩阵经矩阵的初等变换后所得的矩阵.具体内容见下文简述.关键词矩阵的初等变换初等矩阵单位矩阵逆矩阵矩阵就是将多个数按某种规则人为排列为m行n列所形成的一个数阵（具体学科的行与列都有确定的含义）。

它实际上记述着客观事件的因果关系，一个结果在多个原因的不同作用水平下的数量特征（这个矩阵的元素间没有因果关系），所以我们对其行（列）的运算实质是一种人为处理，但是我们知道，在建立矩阵时,我们确实纪录了某个（些）客观事实，这些数据有其内在的必然规律。

为了寻找这个（些）客观规律，我们必须对所得矩阵进行运算，又由于我们在建立矩阵时所记行（列）遵循一定的规则，所以我们只能对不同的行（列）展开运算。

也就是说同一行（列）中的数据前后上下的元素不能调整。

对不同行（列）间对应元素的对调、同一行（列）的数乘和数乘后与其它行（列）对应元素的代数和的运算也就没有改变事件内在规律（实为事物自身的线性性）。

这种对矩阵的处理就是矩阵的初等变换。

现在，我们给出矩阵的初等变换的定义：（1）：互换矩阵的两行（列）；（2）：用一个非零实数乘矩阵的某行（列）的所有元素；（3）：将某行（列）的所有元素实数k倍后加到另一行（列）的对应元素上去。

对于这个定义，我们要理解在如下三个层面上：（1）对矩阵实施某行（列）所有元素与另一行（列）对应元素的对调.（2）实施了矩阵的初等变换后得到了一个新的矩阵。