Chapter 3 流体运动的基本方程组
本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。
§3.1系统和控制体
系统（sys ）指给定流体质点组成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。
控制体（CV ）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（CS ）。控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。 物质体元即流体微团。
物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
物质线元可以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。时间线就是物质线。（三者如同面团、薄饼和面条） §3.2雷诺输运定理
设(),f r t
代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），t 时刻某流体团（即系统）占据空间τ，取该空间为控制体。t 时刻该流体团的总f 为
()(),I t f r t d τ
τ=?
。
（3-1）
此I 也是t 时刻控制体内的总f 。设t t δ+时刻（0t δ→）该系统运动到如图所示位置，占据空间τ'，此时系统的总f 为
()(),I t t f r t t d τ
δδτ'
+=+?
。
（3-2）
该系统总f 的随体导数
()()()0lim t I t t I t D
I t Dt t
δδδ→+-=。
（3-3）
将空间II τ分为与空间I τ重合的部分2τ和其余部分1τ，空间I τ去除2τ后剩余部分记为3τ，于是
13ττττ'=+-，
（3-4）
进而
()()()()13I t t I t t I t t I t t τττδδδδ+=+++-+，
（3-5）
可得
()()()()()130lim t I t t I t t I t t I t D
I t Dt t
ττττδδδδδ→+++-+-=
()()()()31000lim lim lim t t t I t t I t t I t t I t t t t
ττττδδδδδδδδδ→→→+++-=+-， （3-6）
其中第一项
()()()0lim
t I t t I t I t t t ττδδδ→+-?
=?。
（3-7）
注意到()1I t t τδ+是t δ时间内从控制体()t τ内经由其右半控制面1S （2τ和1τ的公共表面）流出的f ，
因而有
()()11
,S I t t t f r t V ds τδδ+=??
（3-8）
记控制体()t τ的左半控制面记为3S ，2τ和3τ的公共表面为2S ，法向如图。3τ内的总f 在t δ时间内经由2S 流入空间()t t τδ+，因而有
()()()332
lim ,S t I t t I t t f r t V ds ττδδδ→+==??
。
（3-9）
控制体3τ内总f 的增加率等于其控制面上f 通量的负值，即
32s
S S f
d fV ds t ττ+?=-????? 。 （3-10）
由于等号左边体积分（()()3O O t τδ=比等号右边面积分低一阶，忽略后可得
2
s
S S fV ds fV ds ?=-???
?? ，
（3-11）
于是
()()33
lim ,S t I t t t f r t V ds τδδδ→+=-??
.
（3-12）
将式（3-7）、（3-8）和（3-12）一起代入式（3-6），得到
()()13
t S S D I t f fV ds Dt t τδτ+?
=+????? ， （3-13）
或表示为
sys CV
CS
D fd fd fV ds Dt t ττ?
=+?????? 。 （3-14）
对于矢量物理量，同样有
sys CV
CS D a a aV S Dt t δτδτδ?=+?????
。（3-15）
方程（3-14）和（3-15即Reynold 输运方程，其物理意义：
系统在t 时刻总f 的变化率=该时刻系统所占控制体内总f 随时间的变化率（局地导数） +该时刻通过控制面的f 通量 例3.1 （1）若2
12
f v ρ=
，则 系统动能在t 时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内动能随时间的变化率
+该时刻通过控制面的动能通量
=作用在系统上的外力的功率
（2）若f ρ=则
系统质量在t 时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内质量随时间的变化率
+该时刻通过控制面的质量通量
因为系统质量不变，所以有
控制体内质量随时间的变化率+控制面上的质量通量=0 （3）若a V ρ=
则
系统动量在t 时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内总动量随时间的变化率（局地导数） +该时刻通过控制面的动量通量
=系统所受合外力
式（3-8）和（3-12）也可通过如下的考虑得到。如图所示，控制体()t τ表面上的物质面元1dA 经t
δ时间后移动到1
dA '，对应的微小流体柱1d V dA τ=-?
经由dA '进入空间2τ，于是空间1τ可以看成由空间3S 上的各面元对应的微小流体柱组成，因此有式（3-12）。同理可以分析得到式（3-8）。 附：雷诺输运方程的严格数学导出
()()div sys sys sys sys CV CV
CV CV
CV
CV CS
CV
CS d d
dt dt
d d dt dt
d V dt d V d dt V V d t V d t d V ds t d V ds
t ?δτ?δτ?δτδτ??
δτ?δτ?
?τ???τ?
?τ?
τ??τ?==+=+??=+?? ???
???=+??+?? ????
???=+???????
?=+???
=+???????????????
§3.3质量连续性方程
质量守恒假设认为系统的质量恒定不变。对于很多流动问题，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计，质量守恒假设是良好的近似。在此假设下，对系统τ有0d
d dt
τρτ=?。设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，根据雷诺输运定理，有
0CV CS
d V ds t ρ
τρ?+?=???? 。（3-16） 此即质量连续性方程的积分形式。由奥高公式得
()CS
CV
V ds V d ρρτ?=
????
?
，（3-17）
()0CV V d t ρ
ρτ???+??=????
?? 。（3-18） 考虑到τ的任意性，应有
()0V t
ρ
ρ?+??=? ，（3-19） 即
0d V dt
ρ
ρ+??= （3-20） 此即质量守恒方程的微分形式 各项意义分析： 1）
dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动
0=??t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ
；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由
0=dt m d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt
ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ??
=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体
0d dt ρ
=，故有 0V ??= 。 由奥高公式有 CV
CS
v ds vd τ?=?????，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0 CS
v ds ?=??。
不可压缩流动满足的方程0V ??=
或0
CS
V ds ?=?? 是对速度场的一个约
束。
例3.2 （1）定常流场中取一段流管，则由
CS
v ds ?=??易知：
222111S V S V ρρ=；
如为均质不可压缩流动，则
1122V S V S =。
（2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）
取两同心球面围成的控制体，则有
24(,)()r V r t m t π=，
可见2
()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。
例 3.3 均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以速度0V 流入管内，经过一定距离
后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21m r V V R ??
??=-?? ???????
。通常称这种流动为圆管的入口流。试
求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度m V 。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：
V dS ?=??
界面
， 由于管壁无渗透故上式
200
2R
V R V rdr ππ=?，
可得02V V m =。
§3.4微分形式的动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ? 其加速度
一、方程的导出
在直角坐标系下推导微分形式的动量定理。t 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，
该流体微团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。该流体微团所受体力合力为
Fd ρτ，面力合力为
,,,,22,,,,22,,,,22x x x x
y n x y z C y x z
S
z x x p x y z s p x y z s y y p x y z s p x y z s x z p x y z s p x z s p dS y δδδδδδδδδδδδ---????
=++- ? ????????
?+++- ? ????????
?+++- ? ?????
??
,,,,22,,,,22,,,,22x x x x
y x y y z x z z
x x p x y z s p x y z s y y p x y z s p x y z s x z p x y z s p x y z s δδδδδδδδδδδδ????
=+-- ? ????????
?++-- ? ????????
?++-- ? ?????
y x z
p p p x y z
δτδτδτ???=++??? 。
（3-22）
于是有
y
x z p p p dV F dt x y z
ρδτρδτδτδτδτ???=+++???，
即
y x z p p p dV F dt x y z
ρρ???=+++???。 （3-23）
分量形式：
yx xx zx x xy yy zy y yx xx zx z p p p du F dt
x y z p p p dv
F dt x y z p p
p dw F dt
x y z ρρρρρ
ρ????=+++?
?????????=+++?????
????=+++??????。 （3-24）
式（3-23）也可表示为
dV
F P dt
ρρ=+??
， （3-25）
其中P ??是单位体积流体团所受合面力。 二、几种特殊形式 1）N —S 方程
将本构方程
23V P pI S I μ??
??=-+- ???
代入式（3-25）即得N —S 方程：
123d V p V F S I dt μρρ???????=-+??-?? ?????
。
（3-27）
当流场温度变化不大时，μ近似为常数，故有
2
()3
dV p F V V dt γγρ?=-+?+???
。
（3-28）
又，若流体不可压缩，方程化为
2dV p
F V dt γρ
?=-+?
。 （3-29）
2）欧拉方程
若流体粘性可略——理想流体，方程简化为欧拉方程
dV p
F dt ρ
?=-
。 （3-30）
3）兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
利用公式()()()
a b c b a c c a b ??=?-?
可以证明
2rot 2
V V V V V ?=??-? ，
（3-31）
代入式（3-25）得
2
rot 2V V V V F P t ρρ???+?+?=+?? ????
。
（3-32）
4）地转参照系下的动量方程
绝对速度等于相对速度r V 与牵连速度e V
之和
a r e V V V =+
，
（3-33）
牵连速度等于地心平动速度加上参照系绕地心的转动速度，
o e V V r ω=+? ，
（3-34）
其中ω
为地球自传角速度。 绝对加速度
a r e c a a a a =++ ，
（3-35）
其中r a
代表相对加速度，牵连加速度
()o e dV d a r r dt dt
ωωω=+?+??
，
（3-36）
科氏加速度
()2c r a V ω=?
。
（3-37）
将式（3-35）代入动量方程得
1r e c dV F P a a dt ρ
=+??--
。 （3-38）
一般情况下可以忽略地球公转速度的变化和自转角速度的变化，认为
o 0dV dt
= ，0d dt ω
=
。 例3.4 一完全浸没在理想不可压缩流体内部的球按规律)(t R R =膨胀，不计体力，试确定球面上的流体压力。设无穷远处流体速度为零，压强为0p 。
解：流体作球对称膨胀运动，r r V v e =
，流体运动的定解问题为
0, 0, (), ()r
V dV p dt
r V p p r R t V R t e ρ???=???=-?
??=∞==??'==?
由连续性方程可得
2()
0r r v r
?=? 或
224(,)4()r r v r t R R t ππ'=
可得
2
2(,)()r R v r t R t r
'=
由动量方程可得
1r r r v v p
v t r r
ρ???+=-???， 对上式积分
2
02r r
R
R p p v v dr dr t r ρ
∞
∞??-??+=- ??????
?， 将速度表达式代入积分得
203(,)2p R t p RR R ρ??
'''=++ ???
。
附球坐标系11sin r e e e r r r θφθθφ
????=
++???
。
例3.5 设有不可压缩重流体盛在直立圆柱形容器内，以等角速ω绕圆柱轴线稳定旋转。若已知流体静止时液面高h ，圆柱半径a ，不计大气压强，求1）液体内部压强分布；2）自由表面形状；3）容器底部所受总压力。 解：该流动定常，
0t
?
=?。流体像刚体定轴转动一样运动，满足 , 0V v e r e θθθωθ
?===? 。
流体不可压缩满足
0V ??=
。
容易证明此时P pI =-，因而流动遵守欧拉方程
dV p
F dt ρ
?=-
。 将欧拉方程在柱坐标系下展开（或利用质点圆周运动的知识），得到
2110v p r r
p g z θρρ??=
????
??=--???
将v r θω=代入并积分得
221()2
p r w C z ρ
=
+
和
2()p C r gz ρ=-。
故有
221
2
p r gz c ρωρ=
-+。 自由表面()f z =z r 上a p p =，因此
221
2
f a r gz c p ρωρ-+=， 即
2
2(), 2a
f c p z r r c c g
g
ωρ-''=
+=
可知自由表面为回转抛物面。由不可压缩流体的质量守恒关系得
20
2 ()a
f a h rz r dr ππ=?
由此可确定常数2
24c h a g
ω'=-
，最后得到
h a r g z +-=
)2
1
(2222
ω
和
)( )2
(21),(22
2z h g a r z r p -+-=ρρω。
例3.6 若流体静止，1）N-S 方程化成什么形式？2）利用此时的N-S 方程推导阿基米德定律（Archimeder ） 答：1）F p ρ=?
。
若仅受重力这唯一体力，F gk =-
则p gk ρ?=- ，对均质不可压
缩流体即C gz p +-=ρ。
2）如图物体浸没在静止流体中，作用于物体上的合面力为
S
p n d s p d g k d g k ττ
τρτρτ-=-?==????????
（其中利用了吴书公式18，p20）
§3.5 能量方程 一、能量方程
在流动过程中，流体内部各流体团之间以及流体与外界间存在能量交换，流体宏观运动机械能和其他形式的能量（内能、热能、辐射能）之间也会发生转换。能量方程描述流体中能量交换和转换的规律。流体内能包含分子热运动动能和分子间相互作用势能，本文中流体的能量包含内能和动能。记单位质量流体的内能为U ，则流体团（系统）的总能量为
22sys V E U d ρτ??
=+ ??
??。
（3-39）
根据能量守恒定律，系统能量的变化率等于外力对系统做功的功率加上从系统边界传入的热能，或者如
果有的话，再加上系统单位时间从外界吸收的辐射能等其他形式的能量。 取t 时刻流体团所占空间为控制体，外力对系统做功功率为
n CS
CV
W F Vd p Vds ρτ=
?+????
。
（3-40）
在第一章讲流体的输运性质时，我们定义了热流强度矢量。如果流体温度在三维空间中分布不均匀，热流强度矢量与温度分布的关系为
I k T =-?
。
此即傅里叶（Fourier ）热传导定律的一般形式。热流强度方向与温度梯度方向相反，其大小等于通过法向为T -?方向的单位面积面元上的热通量。t 时刻从系统表面流入的热通量即控制面上的热通量的负值，其表达式为
CS
CS
Q I ds k T ds =-?=??????
。 （3-41）
设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q 则系统单位时间从外界吸收的辐射能为
CV
qd ρτ?
。综上可得能量方程积分形式
22n sys CV CS CS CV d V U d F Vd p Vds k T ds qd dt ρτρτρτ??+=?+?+??+ ???
???????
。 （3-42）
将上式右边的两个面积分变换成体积分：
()()()()n CS
CS
CS
CS
CV
p Vds V P n ds V P ds V P ds
V P d τ?=??=??=??=?????
??????
?
，
()CS
CV
k T ds k T d τ??=
?????
?
，
并考虑到系统总能量的变化率等于控制体内所有流体微团能量变化率之和，
222222sys CV CV d V d V d V U d U d U d dt dt dt ρτρτρτ????????+=+=+?? ? ? ??
??????????，
可得微分形式能量方程
2()()2d V U F V P V k T q dt ρρρ??
+=?+???+???+ ???
， （3-43）
其中
()()ji ji i ji i i ji i ji ji ji ji j j j j
p p v P V p v v p v p s p a x x x x ???????==+=++???? 。
（3-44）
由于旋转运动张量A 是反对称张量，而应力张量P 是对称张量，故有0ji ji p a =。 记:ji ji ij ji p s p s P S == 而()ji i
j
p v V P x ?=????
，于是有如下形式的能量方程：
2():()2d V U F V V P P S k T q dt ρρρ??
+=?+???++???+ ???
。 （3-45）
二、动能方程
将动量方程两边同时点积V
得
()dV V F V V P dt
ρρ?=?+??? 。
（3-46）
而
21()22dV d V V d V V dt dt dt ????== ???
，
（3-47）
故有动能定理
2()2
d V F V V P dt ρρ??
=?+??? ???
。
（3-48） 右边两项分别代表合体力的功率和合面力的功率()V P ???
，注意面力功率()P V ??? 仅有一部分
（()V P ???
）转化为系统的宏观动能，另一部分（:P S ）转化为系统的内能。 三、内能方程
由式（3-45）和式（3-48）可得
:()dU
P S k T q dt
ρ
ρ=+???+。 （3-49）
右边第一项代表流体内应力做功导致的单位时间内单位体积流体机械能转化成的内能，将本构方程代入
:23ij ji ij ij ij ji V P S p s p s s δμδ??
??==-+-?? ????
?
div
2
)(322ii ji ij ii s s s ps μμ-+-=222:()3
p V S S
V μμ=-??+-?? p V Φ=-??+ ， （3-50） 其中p V -?? 为压缩功，而22
2:()3
S S V μμ-?? 为粘性力的功，即粘性引起的机械能转化成内能。定
义耗散函数
22
2:()3
S S V Φμμ=-?? 。
（3-51）
耗散函数可以写成如下多项式平方和的形式
22222212132311221133223224()[()()()]3
s s s s s s s s s Φμμ=+++-+-+-， （3-52）
可见，Φ恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能，这个过程不可逆。
例3.7 两平行平板间充满流体，匀速拖动上板引起流体剪切运动ky u =，常数=k 。设平板面积∑，间距h ，忽略边缘效应，
（1）写出该流动的耗散函数。
???????
?????
???
?=00
0002020k k
S ，0V ??=
22212212()s s k Φμμ=+=
（2）证明外力拉动上板的功率等于h Φ∑ 上板受外力＝上板受流体摩擦力＝k μ∑ 外力功率＝2k U k h h μ∑μ∑Φ∑===。
§3-6边界条件
流体力学方程组是支配流体运动的普适的方程组。该方程组是微分方程组，要确定某个具体的流动，还必须给出定解条件，这通常包括边界条件和初始条件。本节讨论几种常见的边界条件。 一、无穷远边界条件
飞机在天空飞行，天空边界无穷远，在无穷远处流体的运动状态不受飞机的影响，通常是已知的，因此有边界条件：
,,,,r V V p p T T ρρ∞∞∞∞=∞====
。
（3-53）
如果无穷远处空气静止，则边界条件为：
000,,,a V p p T T ρρ∞∞∞∞====，
（3-54）
其中a p 代表大气压强。但是，有时为了方便把参照系固定在运动物体上，例如飞机（设飞行速度U
），则边界条件变为：
00,,,a V U p p T T ρρ∞∞∞∞=-===
。
（3-55）
在绕流问题中，一般情况下，当流动的空间尺度远大于明显受物体扰动的流动区域的尺度时（即被绕流物体的尺度），即可将扰动可略的区域视为无穷远。 二、两种流体分界面上的边界条件 （1）液体的表面张力
在两种流体介质的界面上存在表面张力。界面上任一面元边框上的线元都要受到与该线元垂直的，沿界面切向的作用力，称为表面张力。单位长度线元上的表面张力的大小γ被称为表面张力系数。作用
于单位面积界面上的表面张力的合力为12
11(
)n R R γ+
，其中，1R ，2R 是该面元的两个主曲率半径（即任意两个包含n 的正交平面和界面交线的曲率半径，若n
指向曲率中心，曲率半径为正，否则为负）。
（2）应力边界条件
在界面两侧对称地取微元小柱体，柱高<<两底面的尺度，对此微元应用动量定理，由于体力和柱体侧面所受面力<<两底上的面力和柱体与界面交线上的表面张力，故有
两底上的面力＋柱体侧面与边界面的交线上的表面张力＝0， 即
(2)(1)
12
11()0n n p p n R R γ-+++= 。
（3-56）
由此可见，界面两侧切应力连续，法应力在界面平均曲率不为零时有一个突变。当界面为平面时，法应力和切应力均连续。特别地当流体静止时，在上图中，
(1)(2)12
11
(
)p p R R γ++=。 （3-57）
（3）速度衔接条件
假设1）两介质的界面是物质面，即假设界面上不发生蒸发、渗透、凝结和相互融解等现象，那么，在运动过程中，分界面始终由同一批质点所组成；2）两介质的界面不发生分离。在这两个假设下，界面两侧的法向流速必满足连续条件，
(1)(2)n n V V =。
（3-58）
在流体的分界面上同样有分子的输运效应，它的效果就是减小界面两侧物理量的差异。如果界面两
n
介质（1）
介质（2）
(2)(1)
12110n n p p n R R γ-??+++= ???
侧流体切向速度不同，那么粘性应力就会消除它们的差异，由此我们假设界面上切向速度连续，
(1)(2)t t V V =。
（3-59）
此条件称为无滑移条件，对粘性流体的界面成立。对于理想流体，没有切向速度边界条件。 （4）热力学边界条件
同样，流体分界面上的分子输运效应也会消除两侧温度的差异，故我们假设边界两侧温度连续，
)2()1(T T =。
（3-60）
分析前面提到的界面上的小柱体内由热传导引起的能量变化，根据能量守恒，柱体内能量的增加率应等于其表面上的热通量的负值。由于柱体内的能量和侧面上的热通量的量阶低于两底面上的热通量，因此上底面的热通量与下底面的热通量之和等于零，即
()()(1)
(2)1
2()0k T
n k T n -??-+-??=
。
（3-61）
可得温度一阶导数满足的边界条件：
(1)(2)12T T k k n n
??=??。
（3-62）
三、固壁边界条件和自由表面边界条件
与分界面两边都是求解对象的问题相比，此时运动方程数减少了一半。边界条件也需相应的减少一半，或者说，此时只能容许一半数目的边界条件。 （1）固壁边界条件
固体边界的运动通常作为已知条件给出，即已知V
固。在不发生渗透和流动分离的情况下，n n V V =流固。若流体有粘性，还有切向速度的无滑移条件t t V V =流固；对理想流体无切应力边界条件。事
实上，在固壁边界附近存在边界层，在边界层内流体粘性必须考虑，因而在固壁表面实际上是满足无滑移条件。如果边界层很薄，在求解边界层外部的理想流体流动时，仍将固壁作为理想流体流动的边界，但不加无滑移条件约束。
在固壁边界，热力学边界条件仍成立。 （2）自由表面边界条件
液体的自由表面指它与真空或大气的接触面。很多情况下我们仅关心液体的流动，并且，考虑到大气的密度和粘性系数都很低，不会
对液体产生显著的影响，通常忽略大气对液体运动的影响(但研究风浪时除外)。作为近似，大气中的应力张量处处可取为a p I -，此时边界上流体的应力满足：
0n p τ=，
（3-63）
12
1
112()()3a p n S n V p R R μγ-??-??=++ ， （3-64）
其中n p τ代表应力的切向分量。
四、分界面上的运动学边界条件
若已知界面曲面方程，由于界面是物质面，速度边界条件还可以表述为另一种形式。设界面曲面方
程为(,,,)0F x y z t =，考虑界面上的一质点，t 时刻该质点在(),,M x y z 点，dt t +时刻运动到
(),,M x dx y dy z dz '+++，有
(,,,)0F x y z t =，
(3-65)
和
0),,,(=++++dt t dz z dy y dx x F 。
(3-66)
以上二式相减得
0F F dr dt t
???+=?
即
0F dr F t dt
?+??=? 。 （3-67）
而dr dt
为界面上质点的速度，于是得到 0F V F t
?+??=?
，()1,2i =， （3-68）
上式也即0=dt
dF 。考虑到曲面法线方向/n F F =??
, 上式还可以表述为 0n F
V F t
?+?=?， （3-69）
例如在水波表面，已知自由表面方程()(),F x,y,z t z x,y,t ζ=-，()x,y,t ζ代表波面位移，则自由表面上水质点速度满足
(,,)
0z x y t u v w t x y ????
=?????++-= ??????。 (3-70)
若已知固壁表面曲面方程(,,,)0F x y z t =，据式（3-69）固壁表面任意点的法向速度为
()n F
V F t
?=-
??固 固壁表面法向速度连续条件等价于要求：
()()n n F
V V F t
?==-
??流固， 即
()
0F V F t
?+??=? 流。 （3-71） 例3.8 长椭圆柱横截面长、短轴分别为a 、b ，该柱以速度u 沿长轴方向作直线运动，试写出椭圆柱的
曲面方程。设该圆柱在无界水中运动，写出柱面边界上的速度应满足的运动学边界条件，设无其他扰动源。
解：不考虑长椭圆柱两端附近的水的流动，将该椭圆柱看成无限长，取x 轴方向沿椭圆柱运动方向，边界曲面方程为：
(),,,F x y z t =22
2
2()10x ut y a b
-+-= 界面处水的速度满足运动学边界条件
0dF
dt
=，即
222
2
2()2()
20x u t u x
u t y u v
a a b
---++=。 注：也可从n n
V V =固流出发，利用V F ui F ??=??
得到上面结果。
例 3.9 两无限大平行平板间有两层不同密度、不同粘性的不可压缩流体。已知上层流体厚度、密度和粘性系数分别为
111μρ和、h ，下层流体厚度、密度和粘性系数分别为222μρ和、h 。设水平方向无压力差，上平板以速度0V 匀速运
动，
（1）写出边界条件；
（2）当流动达到定常流动状态时，写出两层流体满足的N-S 方程表达式。
解：如图建立坐标系，边界条件：
0=z ，01=u
1h z =，12u u =，121
2u u
z z
μμ??=??，12p p = 21h h z +=，02u u =
（2）N S -方程：
上层22222222000p u x z p y p g z μρ???=-+??????=-?????=--???，下层211
12111
000p u x z p y p g z μρ???=-+????
??
=-?????=--???
第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 2 22,y x x y x v y 代入流线的微分方程 t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x x y y x d d y y x x d d y y x x d d C y x 222 1 21'22C y x 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v 32 3 1 （1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 k y x v j y x v i y x v v z y x ,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， 2,xy y x v x (2) 33 1 ,y y x v y (3) xy y x v z , (4) 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x (5)
5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y (6) 3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144 xy a x 332 2313155 y a y 31621323233 xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。 图4-28 习题4-15示意图 【解】 列1-1、2-2断面的能量方程： w a a h g p z g v g p z g v 222 2 21121 122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则 g p z g v g p z g v 222 2112122 (2)
流体力学标准化作业（三） ——流体动力学 本次作业知识点总结 1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。 2.流体流动的加速度、质点导数 流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即 (,,,)u u x y z t = 流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即 Du u u dx u dy u dz a Dt t x dt y dt z dt ????= =+++ ???? 投影式为 x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ?????=+++?????? ????? =+++???????????=+++?????? 或 ()du u a u u dt t ?==+??? 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t ??为固定空间点，由时间变化 引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。 ()u u ??v v 为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度， 由流场的不均匀性引起。 欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。例如不可压缩流体，密度的随体导数 D D u t t ρρ ρ?=+???（） 3.流体流动的分类
（1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线 流线微分方程 x y z dx dy dz u u u == 迹线微分方程 x y z dx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流 （3）过流断面、流量及断面平均流速 体积流量 3(/)A Q udA m s =? 质量流量 (/)m A Q udA kg s ρ=? 断面平均流速 A udA Q v A A == ? （4）渐变流与急变流 5. 连续性方程 （1）不可压缩流体连续性微分方程 0y x z u u u x y z ???++=??? （2）元流的连续性方程 12 1122 dQ dQ u dA u dA =?? =? （3）总流的连续性方程 1122u dA u dA = 6. 运动微分方程 （1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
3.1一直流场的速度分布为： U=(4x 2+2y+xy)i+(3x-y 3+z)j (1) 求点（2,2,3）的加速度。 (2) 是几维流动？ (3) 是稳定流动还是非稳定流动？ 解：依题意可知， V x =4x 2+2y+xy ,V y =3x-y 3+z ,V z =0 ∴a x = t V x ??+ v x X V x ??+v y Y V x ??+v z Z V x ?? =0+(4x 2+2y+xy)(8x+y)+(3x-y 3+z)(2+x) =32x 3+16xy+8x 2y+4x 2y+2y 2+x y 2+6x-2 y 3+2z+3 x 2-x y 3+xz 同理可求得， a y =12 x 2+6y+3xy-9x y 2+3 y 5-3 y 2z a z =0 代入数据得， a x = 436,a y =60, a z =0 ∴a=436i+60j (2)z 轴方向无分量，所以该速度为二维流动 (3)速度，加速度都与时间变化无关，所以是稳定流动。 3.2 已知流场的速度分布为： k z yj yi x 2223+-=μ （1）求点（3，1，2）的加速度。 （2）是几维流动？ 解：（1）由 z u z y u y x u x t u x x x x x u u u a ????????+++=
z u z y u y x u x t u y y y y y u u u a ????????+++= z u z y u y x u x t u z z z z z u u u a ????????+++= 得： 0202 2 2+?+?+=x y x xy y x a x 0)3(300+-?-+=y a y z z a z 420002?+++= 把点（3,1,2）带入得加速度a （27,9,64） （2）该流动为三维流动。 3-3 已知平面流动的速度分布规律为 ()() j y x x i y x y u 2 22222+Γ++Γ=ππ 解：() () 2 22 22,2y x x u y x y u y x +Γ= +Γ= ππ 流线微分方程：y x u dy u dx = 代入得： ()() 2 22 222y x x dy y x y dx +Γ= +Γππ C y x ydy xdx x dy y dx =-?=-?=220 3.4 截面为300mm ×400mm 的矩形风道，风量为2700m 3／h ，求平均流速。如风道出口截面收缩为150mm ×400mm 求该截面的平均流速。 解：因为v=q A /A 所以v 1=q A /A 1=2700/(300x400x10-6)=22500m/h=6.25m/s V 2=q A /A 2=2700/(150x400x10-6)=45000m/h=12.5m/s 3.5 渐缩喷嘴进口直径为50mm ，出口直径为10mm 。若进口流速为3m/s ，求喷嘴出口流速为多少？
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-= 12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2 2 2 21 2 1 122+ + =+ + （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??? ?? ?-+-= g p p z z g v ρ21 212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρ ρρ-=12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，mm 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2 2 2 21 2 1 122+ + =+ + （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。 此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2） 其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积：
一元流体动力学基础 1.直径为150的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300×400的矩形风道,风量为2700m 3 ,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150×400,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得： A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=102=53=2.5的管道流入大气中. 当出口流速10 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解 ： (1) 由 s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。
解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3 ,，流速不超过20 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。 解：（1）由题设得测点到管心的距离依次为1r ……5r ∵103102221S r S r = = ππ 42 d S π= ∴ d r d r 102310221= = f 同理 d r 10 253= d r 10 274= d r 10 295= （2） ）（51251 4u u d v S G +????????+==π ρ ρ 7.某蒸汽管干管的始端蒸汽流速为25 ，密度为2.62 m 3 .干管前段直径为50 ，接出直径40 支管后，干管后段直径改为45 。
第三章 流体运动学 3-1解：质点的运动速度 10 3 1014,1024,1011034= -=-==-= w v u 质点的轨迹方程 10 31,52,103000t wt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+ =+= 3-2 解： 2 /12/12/3222 /12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00 t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =??=?? ? ???===??=??? ???=== 由5 01 .01t x +=和10=A x ,得 19.1501.011001.015 25 2=??????-=?? ????-=A x t 故 206 .00146.0146.00,146.0,014619.150375.02 2 222 2/1=++=++=====?=z y x z x y x a a a a a a a a 3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速 ()( ) s m s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/221122 2 -=?-?=-==?+?=+= 流速偏导数 112221121,1,/12,1,/1-----=-=??==??==??=??==??==??s t y v s t x v s m t t v s y u s t x u s m x t u 点A(1,2)处的加速度分量
()[]()()[]2 22/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m y u v x u u t u Dt Du a y x -?-+?+=??+??+??===?-+?+=??+??+??== 3-4解：(1)迹线微分方程为 dt u dy dt u dx ==, 将u,t 代入，得 ()tdt dy dt y dx =-=1 利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得 2 2 1t y = 将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得 36 1t t x -= 联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程 023 49222 3=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得 ()tdx dy y t dy y dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得 C xt y y +=- 2 2 1 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为 xt y y =- 2 2 1 3-5 答：
【最新整理，下载后即可编辑】 第三章 流体静力学 【3-2】 图3-35所示为一直煤气管，为求管中静止煤气的密度，在高度差H =20m 的两个截面装U 形管测压计，内装水。已知管外空气的密度ρa =1.28kg/m3，测压计读数h 1=100mm ，h 2=115mm 。与水相比，U 形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度。 图3-35 习题3-2示意图 【解】 1air 1O H 1gas 2 p gh p +=ρ 2air 2O H 2gas 2 p gh p +=ρ 2gas gas 1gas p gH p +=ρ 2air air 1air p gH p +=ρ 2gas gas 1air 1O H 2 p gH p gh +=+ρρ gH gh p p air 2O H 1air 2gas 2 ρρ-=- gH gh gH gh air 2O H gas 1O H 2 2 ρρρρ-+= H H h h gas air 2O H 1O H 2 2ρρρρ=+- ()3 air 21O H gas kg/m 53.028.120 115 .01.010002 =+-?=+-=ρρρH h h 【3-10】 试按复式水银测压计（图3-43）的读数算出锅炉中水面上 蒸汽的绝对压强p 。已知：H =3m ，h 1=1.4m ，h 2=2.5m ，h 3=1.2m ，h 4=2.3m ，水银的密度ρHg =13600kg/m 3。
图3-43 习题3-10示意图 【解】 ()p h H g p +-=1O H 12ρ ()212Hg 1p h h g p +-=ρ ()232O H 32 p h h g p +-=ρ ()a 34Hg 3p h h g p +-=ρ ()()212Hg 1O H 2p h h g p h H g +-=+-ρρ ()()a 34Hg 232O H 2 p h h g p h h g +-=+-ρρ ()()a 3412Hg 321O H 2 p h h h h g p h h h H g +-+-=+-+-ρρ ()()()()() Pa 14.3663101013252.15.24.13807.910004.15.22.13.2807.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ ()()()()()Pa 366300.683 1013252.15.24.1380665.910004.15.22.13.280665.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ 【3-12】【解】两支管中的液面高度差为： mm 5.25tan == ?=Λl g a l h α （ans.） 【3-15】 图3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器，水深h =2m ，加速度a =4.9m/s 2。试确定：（1）容器底部的流体绝对静压强；（2）加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强？（3）加速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零？ 图3-48 习题3-15示意图 【解】 0=x f ，0=y f ，g a f z -= 压强差公式 ()z f y f x f p z y x d d d d ++=ρ ()()z g a z f y f x f p z y x d d d d d -=++=ρρ ()?? --=h p p z g a p a d d ρ ()()()()??? ? ??-=-=----=-g a gh a g h g a h g a p p a 10ρρρρ ??? ? ??-+=g a gh p p a 1ρ ()a g h p p a -=-ρh p p g a a ρ--=
[陈书3-8] 已知流体运动的速度场为32x v yt at =+，2y v xt =，0z v =，式中a 为常数。试求：1t =时过(0,)b 点的流线方程。 解： 流线满足的微分方程为： x y z dx dy dz v v v == 将32x v yt at =+，2y v xt =，0z v =，代入上式，得： 3 22dx dy yt at xt = +（x-y 平面内的二维运动） 移向得：32(2)xtdx yt at dy =+ 两边同时积分：32(2)xtdx yt at dy =+??（其中t 为参数） 积分结果：223x t y t ayt C =++（此即流线方程，其中C 为积分常数） 将t=1, x=0, y=b 代入上式，得：20b ab C =++ ∴积分常数2C b ab =-- ∴t=1时刻，过(0,b)点的流线方程为：222()x y ay b ab =+-+ 整理得：222()0x y ay b ab --++= 陈书3-10 已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？ （1）2Axy C =； （2）Ax By C +=； （3）()2ln A xy C =， 其中A ，B ，C 均为常数。
[解法一] （1）根据流线方程2Axy C =? 220Aydx Axdy += 当0 A ≠时，有 dx dy x y =- 令(),u xf x y =，(),v yf x y =- 根据流体的不可压缩性，从而 '''' 0x y x y u v f xf f yf xf yf x y ??+=+--=-=?? 再把流线方程2Axy C =对x 求导得到 ' ' 220y A y A xy y x +=?=- 所以 '''''' 20x y y y y u v xf yf xf y yf yf x y ??+ =-=-=-=?? y 是任意的，得到'0y f = 2 ' '' 0y x y u v y xf yf x f y x x ????-=+=-= ???? ? 无旋 （2）根据流线方程Ax By C +=? 0Adx Bdy += 令(),u Bf x y =，(),v Af x y =- 根据流体的不可压缩性，从而 ' ' 0x y u v Bf Af x y ??+=-=?? 再把流线方程Ax By C +=对x 求导得到 ' ' 0A A By y B +=?=- 所以' ' ' 20x y y u v Bf Af Af x y ??+ =-=-=?? 当0A =时，0 v =无旋 当0 A ≠时，'0y f = 2 ''' 0y x y u v A Bf Af B f y x B ????-=+=-= ????? 无旋 （3）根据流线方程()2ln A xy C = ?2 22 111220A y dx xydy A dx dy xy xy x y ????+=+= ? ?????
一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3 /h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得： A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.03 33== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3 /h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17=
第二章 2-1.已知某种物质的密度ρ=2.94g/cm3，试求它的相对密度d。 解：d=ρ/ρw=2.94（g/cm3）/1（g/cm3）=2.94 2-2.已知某厂1号炉水平烟道中烟气组分的百分数为α（co2）=13.5%，a(SO2)=0.3%，a(O2)=5.2%，a(N2)=76%，a(H2O)=5%。试求烟气的密度。 2-3.上题中烟气的实测温度t=170℃，实测静计压强Pe=1432Pa，当地大气压强 Pa=10058Pa。试求工作状态下烟气的密度和运动粘度。
2-4.当压强增量为50000Pa时，某种液体的密度增长0.02%，试求该液体的体积模量。
2-5.绝对压强为3.923×10^5Pa的空气的等温体积模量和等熵体积模量各等于多少？ 2-6. 充满石油的油槽内的压强为4.9033×10^5Pa,今由槽中排出石油40kg，使槽内压强降到9.8067×10^4Pa，设石油的体积模量K＝1.32×10^9 Pa。试求油槽的体积。 2-7. 流量为50m3/h，温度为70℃的水流入热水锅炉，经加热后水温升到90℃，而水的体胀系数αV=0.000641/℃，问从锅炉中每小时流出多少立方米的水？
2-8. 压缩机压缩空气，绝对压强从9.8067×104Pa升高到5.8840×105Pa，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 2-9. 动力粘度为2.9×10^-4Pa·S，密度为678kg/m3的油，其运动粘度等于多少？解：V=u/ρ=2.9×10^-4/678=4.28×10^-7m2/s 2-10. 设空气在0℃时的运动粘度ν0=13.2×10-6m2/s,密度ρ0=1.29kg/m3。试求在150℃时空气的动力粘度。
工程流体力学第三章思考 题、练习题 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第三章 流体静力学 思考题 ? 1、液体静压力具有的两个基本特性是什么 ? 2、液体静压力分布规律的适用条件是什么 作业 ? ，，, ，， ， 一、选择题 1、静止液体中存在A A 压应力； B 压应力和拉应力； C 压应力和切应力； D 压应力、切应力和拉应力。 2、相对压力的起量点是C A 绝对真空； B 1个标准大气压； C 当地大气压； D 液面压强。 3.金属压力表的读数是B A 绝对压力； B 相对压力； C 绝对压力加当地大气压力； D 相对压力加当地大气压力 4、绝对压力 、相对压力p 、真空值、当地大气压力之间的关系是C A abs v p p p =+; B abs a p p p =+ ; C v a abs p p p =- 5、静止流场中的压强分布规律D A 仅适用于不可压缩流体； B 仅适用于理想流体； C 仅适用于黏性流体； D 既适用于理想流体，也适用于黏性流体。 6．在密闭的容器上装有U 形水银压力计（如图3-1），其中1、2、3点位于同一水平面，其压强关系为C A 123p p p ==; B 、123p p p >> ; C 、123p p p << 图3-1 图3-2 图3-3
7用U 形水银差压计测量水管内A 、B 两点的压强差（如图3-2），水银面高差h p =10cm ，p a -p b 为B A ； B ；C 8、静水中斜置平面壁的形心淹深c h 与压力中心淹深D h 的关系为 c h _C__ D h 。 A 大于； B 等于； C 小于； D 无规律。 9如图3-3所示，垂直放置的矩形挡水平板，水深为3m ，静水总压力p 的作用点到水面的距离为C A ； B ； C ；D 10完全淹没在水中的一矩形平面，当绕其形心轴旋转到什么位置时，其压力中心与形心重合C A 倾斜； B 倾斜； C 水平； D 竖直。 11、完全淹没在水中的一矩形平面，当绕其形心轴旋转到什么位置时，其压力中心与形心 最远D A 倾斜； B 倾斜； C 水平； D 竖直。 12 在液体中潜体所受浮力的大小B A 与潜体的密度成正比； B 与液体的密度成正比； C 与潜体淹没的深度成正比。 13、浮力作用线通过C A 潜体的重心； B 浮体的体积形心； C 排开液体的体积形心； D 物体上面竖直方向液体的 体积形心 14、浮体稳定平衡，则B A 仅当重心G 在浮心C 之下； B 、重力和浮力相等，且重心低于定倾中心； 15、潜体的稳定性条件是A A 潜体的重心必须位于其浮心之下； B 潜体的重心必须位于其浮心之上； C 潜体的形心必须位于其浮心之下； D 潜体的重心必须位于其浮心之上。
第三章 流体静力学 【3-2】 图3-35所示为一直煤气管，为求管中静止煤气的密度，在高度差H =20m 的两个截面装U 形管测压计，内装水。已知管外空气的密度ρa =1.28kg/m3，测压计读数h 1=100mm ，h 2=115mm 。与水相比，U 形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度。 图3-35 习题3-2示意图 【解】 1air 1O H 1gas 2p gh p +=ρ 2air 2O H 2gas 2p gh p +=ρ 2gas gas 1gas p gH p +=ρ 2air air 1air p gH p +=ρ 2gas gas 1air 1O H 2 p gH p gh +=+ρρ gH gh p p air 2O H 1air 2gas 2ρρ-=- gH gh gH gh air 2O H gas 1O H 2 2 ρρρρ-+= H H h h gas air 2O H 1O H 2 2 ρρρρ=+- () 3air 21O H gas kg/m 53.028.120 115 .01.010002 =+-?=+-=ρρρH h h 【3-10】 试按复式水银测压计（图3-43）的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强p 。已知：H =3m ， h 1=1.4m ，h 2=2.5m ，h 3=1.2m ，h 4=2.3m ，水银的密度ρHg =13600kg/m 3。 图3-43 习题3-10示意图 ()()
()232O H 32p h h g p +-=ρ ()a 34Hg 3p h h g p +-=ρ ()()212Hg 1O H 2 p h h g p h H g +-=+-ρρ ()()a 34Hg 232O H 2 p h h g p h h g +-=+-ρρ ()()a 3412Hg 321O H 2 p h h h h g p h h h H g +-+-=+-+-ρρ ()()()()() Pa 14.3663101013252.15.24.13807.910004.15.22.13.2807.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ ()()()()()Pa 366300.683 1013252.15.24.1380665.910004.15.22.13.280665.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ 【3-15】 图3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器，水深h =2m ，加速度a =4.9m/s 2 。试确定：（1） 容器底部的流体绝对静压强；（2）加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强？（3）加速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零？ 图3-48 习题3-15示意图 【解】 0=x f ，0=y f ，g a f z -= 压强差公式 () z f y f x f p z y x d d d d ++=ρ ()()z g a z f y f x f p z y x d d d d d -=++=ρρ ()?? --=h p p z g a p a d d ρ ()()()()??? ? ??-=-=----=-g a gh a g h g a h g a p p a 10ρρρρ ??? ? ??-+=g a gh p p a 1ρ () a g h p p a -=-ρh p p g a a ρ-- = （1） ()()()Pa 111138.39.480665.921000101325=-??+=-+=a g h p p a ρ
第一章 绪论 1、什么叫流体？流体与固体的区别？ 流体是指可以流动的物质，包括气体和液体。 与固体相比，流体分子间引力较小，分子运动剧烈，分子排列松散，这就决定了流体不能保持一定的形状，具有较大流动性。 2、流体中气体和液体的主要区别有哪些？ （1） 气体有很大的压缩性，而液体的压缩性非常小； （2） 容器内的气体将充满整个容器，而液体则有可能存在自由液面。 3、什么是连续介质假设？引入的意义是什么？ 流体充满着一个空间时是不留任何空隙的，即把流体看作是自由介质。 意义：不必研究大量分子的瞬间运动状态，而只要描述流体宏观状态物理量，如密度、质量等。 4、何谓流体的压缩性和膨胀性？如何度量？ 压缩性：温度不变的条件下，流体体积随压力变化而变化的性质。用体积压缩系数βp 表示，单位Pa -1。 膨胀性：压力不变的条件下，流体体积随温度变化而变化的性质。用体积膨胀系数βt 表示，单位K -1。 5、何谓流体的粘性，如何度量粘性大小，与温度关系？ 流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，简称粘性。 用粘度μ来表示，单位N ·S/m 2或Pa ·S 。 液体粘度随温度的升高而减小，气体粘度随温度升高而增大。 6、作用在流体上的力怎样分类，如何表示？ （1） 质量力：采用单位流体质量所受到的质量力f 表示； （2） 表面力：常用单位面积上的表面力Pn 表示，单位Pa 。 7、什么情况下粘性应力为零？ （1）静止流体 （2）理想流体 第二章 流体静力学 1、流体静压力有哪些特性？怎样证明？ （1）静压力沿作用面内法线方向，即垂直指向作用面。 证明：○1流体静止时只有法向力没有切向力，静压力只能沿法线方向； ○2流体不能承受拉力，只能承受压力； 所以，静压力唯一可能的方向就是内法线方向。 （2）静止流体中任何一点上各个方向静压力大小相等，与作用方向无关。 证明： 2、静力学基本方程式的意义和使用范围？ 静力学基本方程式:Z+g P ρ=C 或 Z 1+g P ρ1=Z 2+g P ρ2 （1） 几何意义：静止流体中测压管水头为常数
3 第四章流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 y . V 2 2 i 2 x y 式中r 为常数。求流线方程并画出若干条流线。 代入流线的微分方程 dy * y 3 j xyk y, z ) = (1,2, 3 )点的加速度 v v x x, y i V y x, y j v z x, y k (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动 （2）由题设， 2 V x x, y xy V z x,y xy d V x V x V x V x V x a x V x V y V z dt t x y z 2 2 2 1 3 2 2 xy xy — xy y - xy xy — xy t x 3 y z 小 2 2 1 3 0 xy y y 2xy 0 3 1 4 xy ［解］由题设，v x x,y ￡ 2 x y V y x ，y 2 V x x, y,z,t V y x,y,z,t dx y dy dy * xdx 2 x 2 x 2 x 2 y 2 yd y xdx ydy 1 2y C' 【4-4】 已知流场的速度分布为 xy 2 i （1）问属于几维流动？ （ 2）求（x, 【解】 （1）由于速度分布可以写为 V y x,y 1 3 3y
Z 1 2g 2 1V a1 2g 不计损失，h w =O ,取a 1= a 2=1 ,贝U Z 1 P 1 g 2 2V a2 2g Z 2 (1) 2 V 1 P 1 g 2 V 2 2g Z 2 P 2 g dV y V y V y V y V y a y "dT "T Vx_X Vy ^ Vz_z 1 3 3y 2 3 3Xy 将x=1, y=2, z=3代入式⑸(6)⑺ ，得 1 4 1 4 16 a x — xy — 1 2 — 3 3 3 1 5 1 5 3 2 a y y — 2 -- 3 3 3 2 3 2 3 16 a z — xy — 1 2 -- 3 3 3 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 d v z V z V z V z V z a z V x Vy - V z dt t x y z 2 1 3 — xy xy — xy -y - —xy xy — xy t x 3 y z 2 1 3 0 xy y -y x 0 3 5 1 3 3y 2 xy — x 1 3 3y 1 3 3y 1 3 3y x y G 1 3 3y 1 3y ［解］ 图4-28 习题4-15示意图 列1-1、2-2断面的能量方程：
流体力学第三章课后习题答案 一元流体动力学基础 980.7kN/h1.直径为150mm的给水管道，输水量为，试求断面平均流速。 Q,,vA，，kN/h,kg/s,Q,,vA解:由流量公式注意: Qv,,Av,1.57m/s 得: 32.断面为300mm×400mm的矩形风道,风量为2700m/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩 为150mm×400mm,求该断面的平均流速 Qv,Q,vAA解:由流量公式得: vA,vAv,12.5m/s11222由连续性方程知得: 3.水从水箱流经直径d=10cm,d=5cm,d=2.5cm的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求123 dd12(1)容积流量及质量流量;(2)及管段的流速 3Q,vA,0.0049m/s33解:(1)由 ,Q,4.9kg/s质量流量 (2)由连续性方程: vA,vA,vA,vA11332233 v,0.625m/s,v,2.5m/s12得:
294210kg/h0.91.4m/s4.设计输水量为的给水管道，流速限制在?之间。试确定管道直 50mm径，根据所选直径求流速。直径应是的倍数。 Q,,vAd,0.3430.275mv,0.91.4m/s 将?代入得? 解: 50mmd,0.3m?直径是的倍数，所以取 Q,,vAv,1.18m代入得 35.圆形风道，流量是10000m /h,，流速不超过20 m/s。试设计直径，根据所定直径求流速。 直径规定为50 mm的倍数。 Q,vAv,20m/sd,420.5mmd,450mm解: 将代入得: 取 Q,vAv,17.5m/s代入得: 6.在直径为d圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。(1)试计算各测 u～u～u～u～u,12345点到管心的距离，表为直径的倍数。(2)若各点流速为，空气密度为， G求质量流量。 rr51解:(1)由题设得测点到管心的距离依次为……
第三章 流体静力学 思考题 ? 1、液体静压力具有的两个基本特性是什么 ? 2、液体静压力分布规律的适用条件是什么 作业 ? ，，, ，， ， 一、选择题 1、静止液体中存在A A 压应力； B 压应力和拉应力； C 压应力和切应力； D 压应力、切应力和拉应力。 2、相对压力的起量点是C A 绝对真空； B 1个标准大气压； C 当地大气压； D 液面压强。 3.金属压力表的读数是B A 绝对压力； B 相对压力； C 绝对压力加当地大气压力； D 相对压力加当地大气压力 4、绝对压力 、相对压力p 、真空值、当地大气压力之间的关系是C A abs v p p p =+; B abs a p p p =+; C v a abs p p p =- 5、静止流场中的压强分布规律D A 仅适用于不可压缩流体； B 仅适用于理想流体； C 仅适用于黏性流体； D 既适用于理想流体，也适用于黏性流体。 6．在密闭的容器上装有U 形水银压力计（如图3-1），其中1、2、3点位于同一水平面，其压强关系为C A 123p p p ==; B 、123p p p >> ; C 、123p p p <<
图3-1 图3-2 图3-3 7用U 形水银差压计测量水管内A 、B 两点的压强差（如图3-2），水银面高差h p =10cm ，p a -p b 为B A ； B ；C 8、静水中斜置平面壁的形心淹深c h 与压力中心淹深D h 的关系为 c h _C__ D h 。 A 大于； B 等于； C 小于； D 无规律。 9如图3-3所示，垂直放置的矩形挡水平板，水深为3m ，静水总压力p 的作用点到水面的距离 为C A ； B ； C ；D 10完全淹没在水中的一矩形平面，当绕其形心轴旋转到什么位置时，其压力中心与形心重合C A 倾斜； B 倾斜； C 水平； D 竖直。 11、完全淹没在水中的一矩形平面，当绕其形心轴旋转到什么位置时，其压力中心与形心最远D A 倾斜；B 倾斜；C 水平；D 竖直。 12 在液体中潜体所受浮力的大小B
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。