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dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
＝, N dV η表示单位质量流体具有的动量;
V
N 为系统内的流体具有的动量。
d dt
dV
V
t
dV
CV
n dA
CS
对上式应用质点系的动量定理：作用于流体系统上的所有外力之和等
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过 程中的各物理量及其变化规律。
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
质点物理量：
x x(a，b，c，t)
流体质点的位置坐标： y y(a，b，c，t)
速度：
x y
x y
(a，b，c，t)＝ (a，b，c，t)
dt t
当地加速
迁移加速
度
度
质点全导数：
d (v ) 迁
dt t 全
移
导
当导
数
地数
导
数
0 ——定常流动； t
压强的质点导数
密度的质点导数
(v ) 0 ——均匀流动
dp p v p
dt t
d v
dt t
3.1.2 Lagrange法（拉格朗日法）
lim Ⅱ'
Ⅱ'
dV
t0
t
t CV
(dV )tt
lim Ⅲ
t 0
t
cosdA v dA ndA
CS 2
CS 2
CS 2
（dV）t
lim Ⅰ
t 0
t
cosdA v dA －ndA
d2 d1
管束
D
4( S1 S 2
d 2 ) 4
4S1 S 2
d
d
d
第四节 系统 控制体 输运公式
1. 系系体统统积边（V界(st面y)。sSt(et)m在）流—体SysControlControl的—运由动确过定程的中流不体断质发点生组变成化的。流体团或流体 S F(t) 2V.。控是制为体了研(co究n问tr题ol方vtemVolume便Surfaceol而um取e定)—的—。相边对界于面坐S 称标为系控固制定不面变。的空间体积
所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。
流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
独立变量：空间点坐标 (x, y, z)
v v(x，, y, z,t) ， p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
流体质点运动的加速度：
ax
x
t
x
x
x
y
F 为作用于控制体上的质量力和表面力之和。
方程表明：在定常管流中，作用于管流控制体上的所有外力之和等于单位 时间内管子流出断面上流出的动量和流入断面上流入的动量之差。
流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；
流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。
总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中
的气流都是总流。
3. 缓变流和急变流 缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行 直线的流动。否则即为急变流。
3. 输运公式 系统：边界用虚线表示；
控制体：边界用实线表示。
左边(a)图对应着t时刻； 右边(b)图对应t＋δt时刻。
N dV
系统和控制体
V
N为系统在t时刻所具有的某种物理量（如质量、动量和能量等）的总量;
η表示单位质量流体所具有的该种物理量。
t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为
起始时刻
t
t
时质点的坐标
0
a, b, c ，积分得该质
点的迹线方程。
流线 —— 速度场的矢量线。
任一时刻t，曲线上每一点处的切向dr量 dxi dyj dzk 都
与该点的速度向量 vx, y, z, t 相切。
流线微分方程：
dr v 0
dx
dy
dz
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
1. 迹线和流线 迹线 —— 流体质点的运动轨迹线。属拉格朗 日法的研究内容。
r xa,b,c,ti ya,b,c,tj za,b,c,tk
给定速度场 vx, y, z, t，流体质点经过时间dt移动
了距离 dr，该质点的迹线微分方程为
dr vdt
dx
dy
dz
vx x, y, z,t vy x, y, z,t vz x, y, z,t dt
lim
(
Ⅱ'
dV )tt
(
Ⅱ'
dV )t
lim
(
Ⅲ
dV )tt
(
Ⅰ
dV )t
dt t0
t
t 0
t
t 0 时，有 II II, III 0 。
如果用CV表示控制体的体积，则有 II V (t) CV
( dV )tt ( dV )t
流场的非均匀性引起
输运公式的具体含义：
任一瞬时系统内物理量N （如质量、动量和能量等）随时间的变化率等
于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通过控制体表面的净通量之和。
对于定常流动：
dN
dt
n dA
CS
或者
dN dt
v dA
CS
第五节 连续性方程
输运公式为
dN dt
t
dN d
( dV )tt ( dV )t
dV lim V '
V
dt dt V
t 0
t
V ：系统在t时刻的体积；
V VII VI II
V’ ：系统在t＋δt时刻的体积。 V VIIIII
即
dN
x
y
z
x
z
ay
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
dx dt
x,
dy dt
y,
dz dt
z
质点加速度：a dv v (v )v
应用于定常管流时： 11ndA 22ndA A1，A2为管道上的任意两
A1
A2
个截面
截面A1上的质量流量
截面A2上的质量流量
1 和 分2 别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：
11 A1 22 A2
一维定常流动积分形式的连续性方程
方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。
工程流体力学
第三章 流体动力学基础 (Fundamental of Fluid Dynamics)
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 流体运动的描述方法
3.1.1 Euler法（欧拉法）
基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。
CS1
CS1
CS1
CS2为控制体表面上的出流面积； CS1为流入控制体表面的入流面积。 整个控制体的面积 CS CS1 CS2
输运公式
dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
或者
dN dt
t
dV
CV
v dA
CS
当地导数项
迁移导数项
流场的非稳定性引起
2. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线
组成的管状表面。 流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。 定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。
流束——充满流管的一束流体。
微元流束——截面积无穷小的流束。
微元流束的极限是流线。
微元流束和流线的差别：
流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向 发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变 流。 4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面——在流束或者总流中，
与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3）/ s： qv v dA v cos(v, n)dA vndA
dV
CV
n dA
CS
＝1，N dV m 由质量守恒定律： dN dm 0
V
dt dt
积分形式的连续性方程：
t
CV
dV
CS
n dA
0
方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制 体表面的质量的净通量。
定常流动的积分形式的连续性方程： ndA 0 CS
按照流动空间区分： 内部流动和外部流动； 一维流动、二维流动和三维流动；
1.定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
定常流动： B Bx, y, z
0 t
非定常流动： B Bx, y, z;t
