数学必修4知识归纳
一、任意角（逆时针旋转→正角，顺时针旋转→负角） 1、与α终边相同的角的集合：{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 2、弧度制
（1）
α=
l r
，l =r
α?
（2）180
=o
π rad
1=o ()180
π rad
1rad =180()π
o
57.3≈o （3）扇形面积S
=211
22
lr r α= 二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式： 1、2
2sin
cos 1αα+=； sin tan cos α
αα
=
；
tan cot 1αα?= 2、特殊角的三角函数值：
四、诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限）
五、三角恒等变换 思想方法：①切化弦、平方降幂的思想； ②化为同角、同名的思想； ③拆角的思想：如()()β
αβαααβ=+-=--，2()()ααβαβ=++-等
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式：
()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±αβ
=???
→令sin 22sin cos ααα= ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m αβ
=???
→令22cos 2cos sin ααα=- 2cos 22cos 1αα=- ?降幂公式：21+cos2cos 2
αα=
，
2cos 212sin αα=- 21cos2sin 2
α
α-=
()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=
m αβ
=???→令22tan tan 21tan ααα
=-
2、辅助角公式（合一思想）：关键是“提斜边”
sin cos )a x b x x ?+=+ （?
是斜边）
3、正余弦“三兄妹”：
sin cos x x +、sin cos x x -、sin cos x x —— 知一求二
内在联系：2
(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±
六、三角函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较（见书） 1、会用“五点法”画出函数
sin()y A x B ω?=++的图象：步骤：设X x ω?=+，令X ＝30,
,,
,22
2
π
π
ππ→求相应的x 值及对应的y 值→描点作图 试一试：请用“五点法”画出函数2sin(2)
y x π
=-在一个周期内闭区间的图象
列表：
2、函数
sin()y A x B ω?=++的图象变换（伸缩变换与平移变换）
特别注意：
sin y x ω=→()sin y x ω?=+，应向左或向右平移|
|?
ω
个单位长度 试一试：函数13sin()226
y x π
=+-的图象可以由sin y x =的图象经过怎样的变换得到？
3、函数
sin()y A x ω?=+表达式的确定：
几个物理量：A ——振幅 2T π
ω
=
——周期
1
f T
=
——频率
?——初相 x ω?+ ——相位
步骤：
A 由最值确定 → ω由周期确定 → ?由图象上的特殊点确定，
七、解三角形：
1、内角和定理：A B C π++=,A B C π+=-，sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，sin
cos 22
A B C
+=
2、正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为△ABC 外接圆的半径).
注意：① 正弦定理的一些变式：sin sin sin a b c A B C ::=::；sin 2a
A R
=
，sin 2b B R
=
，sin 2c C R
=
； 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ② 解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
3、余弦定理
4、面积公式：111sin ()222
a S ah a
b C r a b
c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）. 八、平面向量 1、平面向量的概念
（1）定义（2）零向量（3）单位向量（4）平行向量（共线向量） 2、平面向量的线性运算
（1）向量的加法与减法 ① 三角形法则 ② 平行四边形法则 （2）向量的模性质：
||||-
a b ≤||±a b ≤||||+a b （3）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b a λ=
3、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义 (投影.) （注意：用几何法计算a 和b 的夹角时，必须先判断a 与b 是否共起点）
（2）夹角θ与数量积?a b 之间的关系 （3）数量积的三个运算律： ① 交换律?=?a b b a ；② 对实数的结合律：()()()λλλ?=?=?a b a b a b
③ 分配律()+?=?+?a
b c a c b c 由此可得：222()2±=±?+a b a a b b ，22()()+?-=-a b a b a b
注意：结合律是对实数的结合，对向量一般是不成立的，即()()??≠??a b c a b c
4、平面向量的坐标运算
（1）平面向量基本定理【定理2】：平面上四点、、、P A B C 满足=+u u u r u u u r u u u r
PC xPA yPB ，1+=?、、x y A B C 三点共线
（2）任意两点组成的向量
AB =u u u r
2121(,)x x y y --
（3）向量的加法、减法、数乘运算：1212(,)a b x x y y ±=±±；12(,)a x y λλλ=
向量的数量积运算：1212a b x x y y a b ?=+=?cos θ
（4）平行向量：
a ∥
b ?12210x y x y -=?b a λ= （5）垂直向量：⊥a
b ?12120x x y y +=?0a b ?=
（6）向量的夹角：cos θ
=
=
a b a b
??
（7）向量的模：
=
a
=2
2=?=a a a a
两点间距离：d AB AB ===u
（8）
AB 的中点坐标：1212
(
,)22x x y y ++；ABC ?的重心坐标：123123(,)33
x x x y y y ++++． （9）单位向量：与向量a 同向的单位向量0==a a
a
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin
sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan
1tan tan αβ
αβαβ
--=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan
1tan tan αβ
αβαβ
++=
- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式 26、
?（后两个不用判断符号，更加好用）
27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
B x A y ++=)sin(??形式。
ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2
cos 1sin ;2cos 12cos :
+-±=-±
=+±=2
tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2
sin :
2
2
2α
ααααα万能公式+-=+=
()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =
A
． 28、常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关
系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是
2
α
的二倍；
2α
是4α的二倍； ②2
304560304515o
o
o
o
o
o
=
-=-=；
③ββαα
-+=)(；④
)4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+；⑤)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式
有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式α
cos 1+常用升幂化为有理式，
常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：
_______________tan 1tan 1=-+α
α
；
____
__________tan 1tan 1=+-α
α
；
__
__________tan tan =+βα；_
__________tan tan 1=-βα；
____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；
=αtan 2 ；
=-α2tan 1 ；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；
=+ααcos sin b a = ；
（其中=?tan ；） =+αcos 1 ；=-αcos 1 ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。 如：=+)10tan 31(50
sin o o
；=-ααcot tan 。
高中数学必修四三角函数检测题
1．下列不等式中，正确的是（ ）
A ．tan 513tan
413ππ< B ．sin )7
cos(5π
π-> C ．sin(π－1) 2sin(π +-=x y 的单调递减区间是（ ） A ．)](23 , 26[Z k k k ∈++-ππ ππ B ．)](26 5, 26 [ Z k k k ∈++ππ ππ C ．)](3 , 6 [Z k k k ∈++-ππ ππ D ．)](6 5, 6 [ Z k k k ∈++ππ ππ 3.函数 |tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ） A. )(2 ,Z k k x ∈=ππ B. ) (,2 Z k k x ∈=ππ C. )(,Z k k x ∈=ππ D. )(2 ,2 Z k k x ∈= π π 4.要得到函数 x y 2sin =的图象，可由函数)4 2cos(π-=x y （ ） A. 向左平移 8π个长度单位 B. 向右平移8π个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4 π 个长度单位 5．三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ） A .sin A >cos B B. sin A 6．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为 32 π 的函数，若cos (0)()2sin (0) x x f x x x ππ?-≤ C.0 D. - 7.函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为（ ） A.22sin -x y B.13cos 2-=x y C.1)5 2sin(-- =π x y D. )5 2sin(1π - -=x y 8．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小值，则函数 )4 3( x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 9．函数]0,[,cos 3sin )(π-∈-=x x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6 [π - 10. 已知函数sin cos 1212y x x ππ? ???=-- ? ????? ，则下列判断正确的是（ ） A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π?? ??? B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π?? ??? C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π?? ??? D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π?? ??? 11. 若 2 2) 4 sin(2cos -=- π αα，则ααsin cos +的值为（ ） Ａ．2 7- Ｂ．2 1- Ｃ．2 1 Ｄ． 2 7 13．若31 cos sin = β α，则αβcos sin 的取值范围是_______________； 14.．已知sin （700+α）=13 ，则cos （2α-40? ）= . 15. 已知函数 )5 2 sin( )(π π + =x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值是__ 16. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 _____. 17.已知函数 3 )62sin(3)(++=π x x f （1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴； （3）说明此函数图象可由 ][0,2sin π在x y =上的图象经怎样的变换得到. 18．已知函数) 2sin() 42cos(21)(ππ +-+=x x x f . （1）求)(x f 的定义域； （2）若角α在第一象限且5 3cos =α，求)(αf 的值. 19．设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2 (其中ω＞0,R a ∈),且)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6π.（1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间?? ????-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值. 20．（本小题14分）已知函数)2 ||,0,0)(sin()(π ?ωω?ω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象 下图所示。 （1）求函数的解析式； （2）设π < m x f =)(有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和。 21．已知4 0,0π βπα≤ ≤≤≤，且3 2πβα= +. 求： )4 ( cos )2cos(12βπ α ααπ----= y 22． 如图. （1 . 13、]3 ,3[- ； 14、9-； 15、2； 16、25 第16题 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）(2)周期T ＝π4，振幅A ＝3，初相6 π ?= ， 由 2 62πππ+=+k x ，得)(3 22Z k k x ∈+ =π π即为对称轴； （3）①由x y sin =的图象上各点向左平移6 π ?= 个长度单位，得 )6 sin(π + =x y 的图象； ②由 )6 sin(π + =x y 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） ，得)62sin(π +=x y 的图象； ③由)62sin(π+=x y 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得)62sin(3π +=x y 的图象； ④由)62sin(3π+=x y 的图象上各点向上平移3个长度单位，得)6 2sin(3π +=x y ＋3的图象。 18．解：（1）a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2 ＝a x x +++2 3 2sin 212cos 23ωω＝a x ++ +23)32sin(πω， ∵ )(x f 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 6 π， 2 362π ππω= + ? ∴，21= ∴ω ； （2）由（1）的a x x f +++=23)3sin()(π，?? ? ???-∈65,3ππx Θ，??????∈+∴67,03ππx ， ∴当6 73 π π = + x 时，)3 sin(π + x 取最小值21-，∴)(x f 在区间?? ? ???-65,3ππ的最小值为a ++-2321， 32 3 21=++- ∴a ，2 1 3+=∴a 19．解：（1）由0)2 sin(≠+ π x ，得0cos ≠x ，)(2 Z k k x ∈+ ≠∴π π;故)(x f 的定义域为},2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π （2）由已知条件得5 4)53(1cos 1sin 22 =-=-=αα； 从而 )2 sin()42cos(21)(παπαα+-+= f ＝ απ απαcos ) 4sin 2sin 4cos 2(cos 21++ ＝αααααααcos cos sin 2cos 2cos 2sin 2cos 12+=++＝)sin (cos 2αα+＝5 14 . 20． 解：（1）显然A ＝2， 又图象过（0，1）点，1)0(=∴ f ， 21sin = ∴?，6 ,2||π ?π?=∴<Θ； 由图象结合“五点法”可知，)0,12 11( π 对应函数x y sin =图象的点(0,2π), ππ πω26 1211=+? ∴,得2=ω . 所以所求的函数的解析式为：)6 2sin(2)(π +=x x f . （2）如图所示，在同一坐标系中画出 )6 2sin(2π + =x y 和 m y =(R m ∈)的图象， 由图可知，当2112<<<< -m m 或时，直线m y =与 曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根。 ∴m 的取值范围 为 ： 2112<<<<-m m 或； 当12<<-m 时，两根和为 6π；当21< 2π. 21.解：)4(cos 2tan 2cot ) 2cos(12 βπ αααπ-----=y ＝2)22cos(12 cos 2 sin 2 sin 2cos 2cos 1βπ α αα αα-+--+＝22sin 12 cos 2 sin 2sin 2cos cos 2222βα α ααα+--＝22sin 1cos cos sin 2βααα+-＝2 1 22sin 22sin --βα ＝2 12)]()sin[(2)]()sin[(---+--++βαβαβαβα ＝21)sin()cos(--+βαβαβπαπβα-=∴=+3 232，Θ，21 )cos( -=+βα， 21)232sin(21---=βπy ；4 0πβ≤≤Θ，322326π βππ≤-≤ ∴， 1)232sin(21≤-≤βπ；当21)232sin(=-βπ时，y 取最大值4 3212121-=-?-， 这时??? ????=+=-326232π βαπβπ 22． 解：（1）)(x f Θ是以 )(()2(k x f k x f =-∴ 当k I x ∈时，k x ∈-)2(()2()(k x f x f =-=∴)(x f ∴的解析式为： f ∴(（2）当*N k ∈且k I x ∈令2)4() (x a k x x g +-=根上有两个不相等的实数在使方程k I ax x f =)(， y ο 则?????????≥--=+>+-=-+≤+<->+=?0 21)12(021)12(122 4120)8(a ak k g a ak k g k a k k k a a 即??? ? ??? ??+≤ <-<<≤<--<>121012101180k a k a a k a a 或1210+≤<∴k a }1210|{+≤<=∴k a a M k 26.（北京理15）已知函数 ()4cos sin()1 6f x x x π =+-。 （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求 ()f x 在区间,64ππ??-?? ??上的最大值和最小值。 27.（江苏15）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1） 若 , cos 2)6 sin(A A =+ π 求A 的值；（2）若c b A 3,31 cos ==， 求C sin 的值. 28.（安徽理18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作 n T ，再令 ,lg n n a T =1n ≥. （Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式；（Ⅱ）设 1tan tan , n n n b a a +=g 求数列 {} n b 的前n 项和 n S . 29．（福建理16）已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=13 3。 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若函数 ()sin(2)(0,0)f x A x A p ??π=+><<<在 6x π = 处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式。 30.（广东理16）已知函数 1()2sin(),. 36f x x x R π =-∈ （1）求 5( ) 4f π的值；（2）设 106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=????求cos()αβ+的值． 31.（湖北理16）设ABC ?的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知 1 1. 2.cos . 4a b C === （Ⅰ）求ABC ?的周长（Ⅱ）求 () cos A C -的值 32.（湖南理17） 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小； sinA-cos （B+4π ）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。 33.（全国大纲理17） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C=90°， ，求 C ． 34.（山东理17）在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cosC 2c-a = cos B b ． （I ）求sin sin C A 的值； （II ）若cosB=1 4 ，b=2，ABC ?的面积S 。 36.（四川理17）已知函数 73 ()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈ （1）求 ()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知 44cos(),cos(),(0)552 a π ββααβ-= +=-<<≤，求证： 2[()]20f β-= 37.（天津理15）已知函数 ()tan(2), 4f x x π =+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设 0,4 πα?? ∈ ? ? ? ，若 ()2cos 2,2f α α=求α 的大小． 38.（浙江理18）在ABC ?中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ． 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =．（Ⅰ）当5 ,14p b ==时，求,a c 的值；（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的 取值范围； 39.（重庆理16）设a R ∈， ()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π?? =-+- ? ??满足()03f f π??-= ???，求函数 ()f x 在11[,] 424ππ 上的最大值和最小值. 数学必修四测试 一、选择（10×5） 1．已知角α的终边经过点()3,1-P ，则=+ααcos sin （ ） A 213+ B 213- C 213+- D 21 3+- 2已知0tan cos =?，则||a+b 等于（ ） A ．37 B ．13 C 5．知4cos ,(,),52π ααπ=-∈则cos()4πα-=（ ） A. B. C. D. 6 ．cos 2π2 sin 4αα=-? ?- ???，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．- Ｂ．12- Ｃ．12 Ｄ． 7. sin 2cos 263y x x ππ???? =+-+ ? ?????的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π C ．2π，1 D ．2π，3 8．θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 9已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8x π=对称，则?可能是（ ） A.2π B. 4π- C.4π D.34π 10．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1- 二、填空（6×6） 11函数sin()y A x ω?=+(0,0,) 2A π ω?>>< 一段图象如图所示，这个函数的解析式为______________. 12 已知向量2411()()，， ，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是_________. 13 若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120 ，则 () a a +b =___________. 14 已知：函数2()sin 2cos f x x x =+(0) 2x π ≤≤，则()f x 的最大值和最小值分别为______________. 15 函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期为_________. 16 已知 sin cos 223θθ+=那么sin θ的值为_______,cos 2θ的值为___________. 三、解答（34） 17 已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量1)b =-（7） （1）当//a b ，求θ. （2）当a b ⊥时，求θ. （3）求|2|a b -的最大和最小值. 按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 必修四总练习题 一、选择题 1．ｓin １５０°的值等于( ). A ．2 1 ? B ．-2 1? C ． 23? ??Ｄ.-2 3 2．已知AB ＝（3,0)，那么AB 等于（ ）． A.2 ?B ．3 ? C.4?? ?D.5 3.在0到2范围内，与角－3 4π 终边相同的角是( )． A ． 6 π ?? B. 3 π ???C ． 32π? ??D.3 4π 4.若co ｓ ＞0,ｓｉn ＜０，则角 的终边在（ ). A.第一象限 Ｂ．第二象限 ? Ｃ.第三象限 ??D.第四象限 5．sin 2０°cos 40°＋cos ２0°ｓin 40°的值等于（ ）. A ．4 1 ??? Ｂ． 2 3 ? C ．2 1 ?D. 4 3 6.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( ）. A.AB =CD Ｂ．AB -AD =BD Ｃ.AD +AB =AC Ｄ．AD +BC =0 7．下列函数中，最小正周期为 的是（ ）. A ．ｙ＝co ｓ 4ｘ B ．y ＝s ｉn 2x ?C.y ＝si ｎ 2 x ? D ．ｙ＝cos 4 x 8.已知向量a ＝（4，-２)，向量ｂ＝(x ,5）,且a ∥ｂ，那么x 等于( ). Ａ．10??? B ．5 ??C.－2 5 ? ?Ｄ.－10 9.若tan =3,tan ＝3 4，则ｔa ｎ(-)等于（ ). Ａ.-３ ?? Ｂ.３ ??C.－3 1?? D ．3 1 10．函数y ＝2ｃos ｘ-１的最大值、最小值分别是( ). Ａ.２,－2 B.１，－３ C.1,-１ D ．２,-1 １1.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为Ａ(-1,0),B (１，２),Ｃ(0,ｃ),若⊥,那么c 的值 D B C (第6题) 高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 新课标高中数学人教A版必修四教材解读4 尤溪第一中学罗世卿 四、教学内容分析 第三章三角恒等变换 课程标准内容： 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆） 知识结构： 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时安排： 建议本节4课时 第1课时:两角差的余弦公式； 第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式； 第4课时:公式的综合运用. 教学要求： 基本要求。①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性；②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路；③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式；④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。 发展要求。①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。③能对公式进行简单的逆用。 说明。①控制好拆分角度的难度。②题型的变化不宜过多。 重点难点： 重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。 难点：两角差的余弦公式的探索和证明。 教学建议： 教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手，采用实验探究、交流讨论等方式进行教学，可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，，的正弦、余弦值的等量关系。教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系,为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。 在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如，在旁白中有“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍……是的二倍,这里蕴含着换元的思想。 这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材。 本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 3．2简单的三角恒等变换（3课时） 教学要求： 基本要求。①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求。①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。②理解三角变换的基本特点和基本功能。③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 说明。积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆。 重点难点： 重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点. 难点：公式的灵活应用. 教学建议： 三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式 高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 高中数学必修4测试题 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．函数x y 2sin -=，R x ∈是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么|3|a b -等于（ ） A B C D ．4 4．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量=a ,= b ，则向量等于（ ） A ．21 (a －b ) B ．21 (b －a ) C ．21 ( a ＋b ) D ．1 2-(a ＋b ) 5．若θ是△ABC 的一个内角，且81 cos sin -=θθ，则θθcos sin -的值为（ ） A ．23 - B ．23 C ．25 - D ．25 6．已知4π βα=+，则)tan 1)(tan 1(βα++的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 7．在ABC ?中，有如下四个命题：①=-； ②AB BC CA ++=0 ； ③若0)()(=-?+AC AB AC AB ，则ABC ?为等腰三角形； ④若0>?，则ABC ?为锐角三角形．其中正确的命题序号是（ ） A ．① ② B ．① ③ ④ C ．② ③ D ．② ④ 8．函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ） A ．)322sin(2π +=x y B ．)32sin(2π +=x y C ．)32sin(2π -=x y D ．)32sin(2π -=x y 9．下列各式中，值为1 2的是（ ） A ．00sin15cos15 B ．22cos sin 1212π π - C ．6cos 21 21π + D ．0 20tan 22.51tan 22.5- 10．已知βα,为锐角，且cos α=101 ,cos β=51 ，则βα+的值是（ ） A ．π32 B ．π43 C ．4π D ．3π 11．已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为 【 】 A ．1813 B ．2313 C ．237 D ．183 12．)10tan 31(50sin 00+的值为 【 】 浙江省亭旁中学高一数学(下)月考试卷 答案做在答题卷上 满分150分 时间120分 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1．下面四个命题正确的是 （ ） (A). 第一象限角必是锐角 (B).小于90的角是锐角 (C).若cos 0α<，则α是第二或第三象限角 (D).锐角必是第一象限角 2．如果1 cos()2 A π+=-，那么sin()2A π+的值是 （ ） （A ）．12- （B ）12 （C ）33 3．下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C M B AD C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 4、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 5．为了得到函数sin(2)3 y x π =-的图像，只需把函数sin(2)6y x π =+的图像（ ） （A ）向左平移 4π个长度单位 （B ）向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π 个长度单位 6． 函数sin(3)4 y x π =- 的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) （A ） ．,012π??- ??? （B ）． 7,012π?? - ??? （C ）． 7,012π?? ??? （D ）． 11,012π?? ??? 7． 已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是（ ） A 1 B 1- C 2 1 D 0 8.已知3sin 5m m θ-=+，524cos +-=m m θ，其中,2πθπ??∈???? ，则θtan 的值为（ ） （A ）.125- （B ）. 125 (C). 12 5 - 或43- (D). 与m 的值有关 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 高一周末考试数学试题 （必修4部分，2018年3月31 日） 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.已知点P （tan ,cos ）在第三象限，则角 在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2 .函数 y sin2x , x R 是（ ） A .最小正周期为 的奇函数 B .最小正周期为 的偶函数 C .最小正周期为2的奇函数 D .最小正周期为2的偶函数 3 .已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么I ； 3b|等于（ ） A . 7 B . 10 C . .13 D . 4 4.已知M 是厶ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a,AC = b ,则向量AM 等 于（ ） 1 A .丄(a — b) 2 1 B . - (b — a) 2 1 C . -( a + b) 2 D . 1 -(a + b) 2 5 .若 是厶ABC 的一个内角，且sin cos 1 ,贝卩 sin 8 cos 的值为（ ) <3 A.— B .仝 C . 三 D. ■■- 5 2 2 2 2 6.已知 —,贝S (1 tan )(1 4 tan ）的值是（ ) A . — 1 B . 1 C . 2 D . 4 7.在ABC 中，有如下四个命题： iuu iuu uu ① AB AC BC ； ② AB BC CA 0 ； ③ 若（AB AC ） （AB AC ） 0，则ABC 为等腰三角形； ④ 若 AC AB 0 ，贝S ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是（ ） B .①③④ D .②④ ）在一个周期内的图象如下, （ ） B . y 2sin （2x ） 3 A .①② C .②③ 8 .函数 y Asin( x 此函数的解析式为 2 A . y 2sin(2x ) 3 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 高中数学必修4三角函数知识点总结 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°， §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈） 1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π πππ（， ）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< ①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O 高中数学必修四检测题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π ）的单调递增区间是（ ） A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2 、已知sin αcos α=81,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A)2 3 (B)4 3 (C) (D)± 2 3 3 、已知sin cos 2sin 3cos αα αα-+=51,则tan α的值是 （ ） (A)±83 (B)83 (C)8 3- (D)无法确定 4 、 函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 5 、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数 cos y x π? ?=- ? 3??的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π 6个单位 6 、函数π πln cos 2 2y x x ??=-<< ???的图象是（ ） 7 、设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A （B （C ） （D ）10 8 、 已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ． 6563 B ．65 C ．5 13 D ．13 9、 计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12 B.33 C.22 D.32 10、已知sin α＋cos α= 1 3 ，则sin2α= （ ） A ．89 B ．－89 C ．±89 D ．322 11 、已知cos(α－π 6)＋sin α＝4 53，则sin(α＋7π 6)的值是 ( ) A ．－ 235 B.235 C ．－45 D.4 5 12 、若x = π 12 ，则sin 4x －cos 4x 的值为 （ ） A ．21 B ．21- C ．23- D ．2 3 x x A ． B ． C ． D ． 高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是 高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、 高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；人教版高中数学必修四测试题
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