高中数学必修4知识点总结
第一章:三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角α终边相同的角的集合:
{}Z k k ∈+=,2παββ.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、 r
l =
α. 3、弧长公式:R R
n l απ==
180
. 4、扇形面积公式:lR R n S 2
1
3602==
π.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么:x
y
x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y
为角α终边上任意一点,那么:
(设r =
sin y r α=
,cos x r α=,tan y
x
α=,cot x y α=
3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 4、 特殊角0°,30°,45°,60°,
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系:1cos sin 22=+αα.
2、 商数关系:α
α
αcos sin tan =
. 3、 倒数关系:tan cot 1αα=
§1.3、三角函数的诱导公式
(概括为Z k ∈)
1、 诱导公式一: ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,
sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k (其中:Z k ∈)
2、 诱导公式二: ()()().
tan tan ,cos cos ,
sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+
3、诱导公式三: ()()().tan tan ,cos cos ,
sin sin αααααα-=-=--=-
4、诱导公式四: ()()().
tan tan ,cos cos ,
sin sin ααπααπααπ-=--=-=-
5、诱导公式五: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=???
??-=???
??-
6、诱导公式六: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=??
?
??+=???
??+
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性. 3、会用五点法作图.
sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为: 30010-1202
2
π
πππ(
,)(,,)(,,)(,,)(,,). §1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
2、记住余切函数的图象:
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义:对于函数()x f,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有()(),那么函数()x f就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
x y sin =
x y cos = x y tan =
图象
定义域 R
R
},2
|{Z k k x x ∈+≠
ππ
值域
[-1,1] [-1,1]
R
最值
max min 2,1
2
2,1
2
x k k Z y x k k Z y π
ππ
π=+
∈==-
∈=-时,时,
max min 2,12,1
x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时,时,
无
周期性 π2=T
π2=T
π=T
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
Z k ∈ 在[2,2]2
2
k k ππππ-+上单调递增
在3[2,2]22
k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增
在[2,2]k k πππ+上单调递减
在(,)22
k k ππππ-+上单调递
增
对称性 Z k ∈ 对称轴方程:2
x k π
π=+
对称中心(,0)k π
对称轴方程:x k π= 对称中心(,0)2
k ππ
+
无对称轴 对称中心,0)(
2
k π
§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数:
()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有:振幅A ,周期2T π
ω
=
,初相?,相位?ω+x ,频率π
ω
21
=
=
T
f .
2、能够讲出函数x y sin =的图象与
()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:
sin y x = 平移||
?个单位
()sin y x ?=+ (左加右减)
横坐标不变
()sin y A x ?=+
纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变
()sin y A x ω?=+
横坐标变为原来的1
||ω
倍
平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
② 先伸缩后平移:
sin y x = 横坐标不变 sin y A x =
纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变
sin y A x ω=
横坐标变为原来的1
||ω
倍
()sin A x ω?=+
(左加右减) 平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数sin()y x ω?=+,x ∈R 及函数cos()y x ω?=+,x ∈R(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期2||
T πω=;函数tan()y x ω?=+,,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期||
T πω=
. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中心,只需令()2
x k k Z π
ω?π+=+
∈与
()x k k Z ω?π+=∈
解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征:max min 2A =
,max min
2
y y B +=. ω要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+
2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-
3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+
4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-
5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.
6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =, 变形: 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=
1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下:
升幂公式:2
2
1cos 2cos 1cos 22sin αα
αα
?+=??-=?? 降幂公式:22
1cos (1cos 2)2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-?????
3、α
αα
2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα
-=
=
+ §3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y
(其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?=
). 第二章:平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2、 向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作AB u u u r
;长度为零的向量叫做零向量;长度
等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、b a +≤b a +.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:a λ,它的长度和方向规定
如下: ⑴
a a λλ=,
⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同;当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理:向量()
0≠a a 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量a ,
有且只有一对实数21,λλ,使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==,则:
⑴()2121,y y x x ++=+,
⑵()2121,y y x x b a --=-, ⑶()11,y x a λλλ=, ⑷1221//y x y x =?. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ,则: ()1212,y y x x --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,则
⑴线段AB 中点坐标为
(
)
2
22
121,y y x x ++, ⑵△ABC 的重心坐标为(
)
333213
21,y y y x x x ++++.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、 θb a =?.
2、 在θcos .
3、 2
a =.
4、=
.
5、 0=??⊥b a b a .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==,则:
⑴2121y y x x +=?
2121y x +=
⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r
⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-=r r r r
2、 设()()2211,,,y x B y x A ,则:
()()2
12212y y x x -+-=
.
3、 两向量的夹角公式
cos
a b
a b θ
?
==
r r
r r
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来 是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是
高中数学必修4知识点汇总 第一章:三角函数 1、任意角①正角:按逆时针方向旋转形成的角 ②负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限 对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S 则αr l =,l r C +=2,221 21r lr S α== 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离 是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α, 即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即 tan (0)y x x α=≠。 (二)设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠.
高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落 在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈?+=,360| αββ} 4、弧度制: (1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. (2)度数与弧度数的换算:π2360o =,π= 180 rad ,1 rad '185730.57)180 ( =≈=π 注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为o n ,弧度为α;
①角度化为弧度: 180180ππ n n n o o o = ? =,②弧度化为角度:o o 180180?? ? ??=?=παπαα (3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则: 弧长公式: ①,180 (用度表示的)π n l = ② (用弧度表示的)r l ||α=; 扇形面积:①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇(用弧度表示的) 5、三角函数: (1)定义①:设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点 是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>, 则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠ 定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦,记作cos α,即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时, x y 叫做α的正切,记作tan α, 即tan α=x y . (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S 正,T 正,C 正。 口诀:第一象限全为正; 二正三切四余弦. (3)特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
SectionA 语言知识精讲 重点词汇讲解 1.up to now 直到现在 up to now he’s been quiet up to now we’ve finished two thirds of the work up to now 在句中做时间状语,句子一般用现在完成时 2.humour n. eg:Our teacher hass a sense of humour 【单词积累】 humourous adj. humourless adj. humourist n. 【搭配拓展】 have a( good) sense of humour lack humour see the humour 3.break eg:.They planned to break into the bank that day As the president’s car arrived ,the crowd broke into loud 思维拓展 Break down使崩溃;毁坏,放弃抵抗;分解;出故障;身体出毛病 Break into/in 破门而入,突然发生 Break up 关系破裂,驱散人群 Break out 火灾,战争突然爆发 Break off 折断树枝,停止工作 Break through 突破障碍,穿越 例题演练: 1.Will you attend the meeting tomorrow afternoon? -------I the invitation up to now. A.haven’ t received B. Won’t receive C. will not have received D. didn’t receive 2.I can’t stand people . A. with no sense of humour B. who have no sense of humour C. who lack humour D. all the above
第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角
角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o
新人教版高中数学必修4知识点总结经典
新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z o o o 第二象限角的集合为 {}36090 360180,k k k α?++∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k α α?+<+∈Z o o o o 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z o o o o 区域角怎么表示: 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z o 终边在y 轴上的角的集合为 {}18090,k k αα=?+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z o 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z o 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=o ,1180 π=o ,180157.3 π??=≈ ??? o o . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、三角函数概念:(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的 正弦,记做sin α,即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切, 记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。
高中数学必修4知识点自测题 一、填空题(每空1分,共100分) 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l =__________,C=_________,S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是r ,则r=__________sin α=_______,cos α=________,tan α=________. 3、三角函数在各象限的符号:第一象限________为正,第二象限__________为正,第三象限___________为正,第四象限______________为正. 4、三角函数线:sin α=________,cos α=____,tan α 5、同角三角函数的基本关系:(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________. 6、三角函数的诱导公式: (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____(_____)平移?个单位长度,得到函数()sin y x ?=+的图象;再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的_______倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ω?=+的图象;
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x,y),它与原点的距离是 22r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。
3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4、函数 y =的定义域是_____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ) (A)向左平移个6π单位 (B )向右平移个6π单位(C )向左平移个3π单位 (D )向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,cosα)在第三象限,则角α的终边在 9、下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A .sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D .sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是( ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(-4,3),求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值
高中数学必修一、必修四、必修五知识点 一、知识点梳理 必修一第一单元 1.集合定义:一组对象的全体形成一个集合. 2.特征:确定性、互异性、无序性. 3.表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的数集:自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *. 5.集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集φ 不含任何元素的集合 例:{x|x 2 =-5} 5.关系:属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等=. 6.集合的运算 (1)交集:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合;表示为:B A ? 数学表达式:{} B x A x x B A ∈∈=?且 性质:A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?,, (2)并集:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合;表示为:B A ? 数学表达式:{} B x A x x B A ∈∈=?或 性质:A B B A A A A A A ?=?=Φ?=?,, (3)补集:已知全集I ,集合I A ?,由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。表示:A C I 数学表达式:{} A x I x x A C I ?∈=且 方法:韦恩示意图, 数轴分析. 注意:① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ② A ?B 时,A 有两种情况:A =φ与A ≠φ. ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有真子集的个数是n 2-1, 所有非空真子集的个数是22-n 。 ④空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别;0与三者间的关系。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为B A ?,在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 ⑤符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号“,?”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 8.函数的定义:设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f (x ),x ∈A ,其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. ①.定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
《生活与哲学》基本知识点(应知应会、必记必背!!!) 第一单元生活智慧与时代精神 1、哲学与生活 (1)哲学就在我们身边。①哲学智慧产生于人类的实践活动。②在一定意义上,哲学源于人们对实践的追问和对世界的思考。因此,哲学与我们的生活、与我们置身于其中的自然和社会密切相关,它总是自觉或不自觉地影响我们的学习、工作和生活。(2)哲学是指导人们生活得更好的艺术。 ①哲学就是给人智慧、使人聪明的学问,哲学是现世的智慧,是“文化的活的灵魂”。②哲学的任务就在于指导人们正确地认识世界和改造世界。 2、哲学的含义 (1)哲学是关于世界观的学说,是系统化理论化的世界观。(世界观是人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。)(2)哲学是世界观和方法论的统一(世界观决定方法论,方法论体现世界观。)(3)哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结。(具体科学是哲学的基础,具体科学的进步推动着哲学的发展;哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。) ●注意:①具体把握哲学与世界观、世界观与方法论、哲学与具体科学的关系。 ②哲学、世界观、方法论都正确与错误之分,不一定科学 3、哲学的基本问题 (1)是什么?思维和存在的关系问题,或意识和物质的关系问题。一方面,思维与存在何者为第一性的问题。对这个问题的不同回答,是划分唯物主义和唯心主义的唯一标准。另一方面,思维和存在有无同一性的问题,即思维能否正确认识存在的问题。对这个问题的不同回答,可以划分为可知论和不可知论。 (2)为什么?①思维和存在的关系问题是人们在生活和实践活动中首先遇到和无法回避的基本问题②思维与存在的关系问题是一切哲学都不能回避、必须回答的问题③它贯穿于哲学发展的始终,对这一问题的不同回答决定着各种哲学的基本性质和方向,决定着它们对其他哲学问题的回答。 观) 辩证唯物主义和历史唯物主义 是第一性的东西。 如人的目的、意志、感觉、经验、心灵等) 5、正确理解“真正的哲学” (1)含义:真正的哲学都是自己时代的精神上的精华,正确地反映了时代的任务和要求,牢牢的把握了时代的脉搏,正确地总结和概括了时代的实践经验和认识成果。 (2)作用:哲学是社会变革的先导①可以通过对旧制度和旧思想的批判,更新人的观念,解放人的思想。②可以预见和指明社会的前进方向,提出社会发展的理想目标,指引人们追求美好的未来;动员和掌握群众,从而转化为变革社会的巨大物质力量。③总之,任何反映自己时代的客观要求和历史趋势的哲学,都可以成为这一时代社会变革的先导,推动时代的步伐,指导社会的变革。 6、全面认识马克思主义 (1)马克思主义哲学产生的历史必然性。①阶级基础:无产阶级的产生和发展。②自然科学基础:19世纪自然科学的巨大进步,最具代表性的是细胞学说、能量守恒和转化定律、生物进化论三大
数学知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象与集合的关系是,或者,两者必居其一. 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 【1.1.2】集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的 子集。记作. 2、如果集合,但存在元素,且,则称集合A是集合B的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:.并规定:空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有个子集,个真子集. 5、子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集(或A中的任一元素都 属于B A (1)A (2) ,则 且 若 (3) ,则 且 若 (4)或
真子集 A B (或 B A) 中 B ,且 至少有一元素不属 于A 为非空子集) A ( ) 1 ( ,则 且 若 (2) 集合相等A中的任一元素都 属于B,B中的任 一元素都属于A B (1)A A (2)B 6、已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作:. 2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作:. 3、全集、补集 名称记号意义性质示意图 交集且 (1) (2) (3) 并集或 (1) (2) (3) 补集 2 1 【1.2.1】函数的概念 1、函数的概念 ①设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有惟一确定的数和它对应,那么就称为集合A到集合B的一个函数,记作:. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等 【1.2.2】函数的表示法 2、函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. ①解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. ②列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
思想政治必修四知识点(人教版) 1、世界观和方法论的关系: 区别:世界观是人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。方法论是人们认识世界和改造世界的根本方法。 联系:世界观决定方法论,方法论反映世界观。 2、哲学与具体科学的关系: 区别:具体科学揭示的是自然、社会和思维某一领域的规律和奥秘;哲学是对个别规律和特性进行概括和升华,从中抽象出整个世界最一般的本质和最普遍的规律。 联系: 1).具体科学是哲学的基础,具体科学的进步推动哲学的发展。 2).哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 3、什么是哲学的基本问题? 思维和存在的关系问题(即意识和物质的关系问题)。 1)思维和存在何者为第一性的问题?唯物主义与唯心主义。 2)思维和存在是否有同一性的问题? 4、什么是辩证法?什么是形而上学? 辩证法主张用联系、发展、全面的观点看问题。形而上学主张用孤立、静止、片面的观点看问题。 5、真正的哲学是社会变革的先导 6、物质和运动的关系: (1)物质是运动的物质。运动是物质的根本属性和存在方式。 (2)运动是物质的运动。物质是运动的承担者(主体)。 (3)离开运动谈物质和离开物质谈运动,都是错误的。 7、运动和静止的关系: 8、意识的本质是人脑对客观存在的主观映象。 唯物论: 1、规律的客观性和普遍性原理要求我们必须遵循规律,按客观规律办事,而不能违背规律。 2、规律是可以认识和利用的人们可以认识和把握规律;并根据规律发生作用的条件和形
式,利用规律,改造客观世界,造福人类。 3、尊重规律和发挥主观能动性相结合原理,要求我们既要尊重规律,即尊重规律的客观性,按客观规律办事。又要充分发挥主观能动性,即充分利用有利条件,克服不利条件,创造新的条件,按规律办事,求真务实。 4、物质和意识的辩证关系: (1)物质决定意识,意识是物质的反映,要求我们一切从实际出发,实事求是。 (2)意识对物质具有能动的反作用,正确意识促进事物发展,要求我们树立正确意识,克服错误意识。 认识论 1、实践的含义与特点含义:人们改造客观世界的一切物质性活动。 特点: 1)实践具有客观物质性。 2)实践具有主观能动性 3)实践具有社会历史性。 2、实践是认识的基础(实践决定认识) 1)实践是认识的来源。 2)实践是认识发展的动力 3)实践是检验认识的真理性的唯一标准。 4)是认识的目的和归宿。 3、认识具有反复性和无限性,说明追求真理是一个永无止境的过程,要求我们在实践中认识和发现真理,在实践中检验和发展真理。 辩证法 第七课唯物辩证法的联系观点 1、世界是普遍联系的,要求我们坚持用联系的观点看问题。 2、坚持整体与部分的统一,部分离不开整体;整体离不开部分;关键的部分甚至可以决定整体的功能,要求我们应当树立全局观念,统筹全局,现整体的最优目标;同时,必须重视部分的作用,用局部的发展推动整体的发展。 3、掌握系统优化的方法,要求我们用综合的思维方式来认识事物。
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 6、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 7、若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 11、角三角函数的基本关 系
必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以构成一个集合:{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法: 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α 1.1.1 任意角 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 1.1.2弧度制(一) 1.定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度记做1rad .在实际运算中,常常将rad 单位省略. 弧度制的性质: ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为 .22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数. ④负角的弧度数是一个负数. ⑤零角的弧度数是零. ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度: π2360=?; π=?180;rad 01745.0180 1≈=?π ;rad n n 180 π = ?. ②将弧度化为角度: ?=3602π;?=180π;815730.57)180 (1'?=?≈?=πrad ;?=) 180 (π n n . 5.常规写法: 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B ①用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式, 不必写成小数. ②弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度 α α? = ? =r l r l 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. 4-1.2.1任意角的三角函数(三) 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式 )Z ( tan ) 2 tan( )Z ( cos ) 2 cos( )Z ( sin ) 2 sin( ∈ = + ∈ = + ∈ = + k k k k k k α α π α α π α α π 当角的终边上一点(,) P x y1 =时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角α的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P(,) x y,过P作x Aα的终边或其反向延长线交与点T. 高中数学必修 4 第一章三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角. o o o 第一象限角的集合为k 360 k 360 90 , k o o o o 第二象限角的集合为k 360 90 k 360 180 ,k o o o o 第三象限角的集合为k 360 180 k 360 270 ,k o o o o 第四象限角的集合为k 360 270 k 360 360 ,k o 终边在x 轴上的角的集合为k 180 ,k o o 终边在 y 轴上的角的集合为k 180 90 ,k o 终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k 2 Ⅰ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅱ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅲ Ⅱ、Ⅳ 2 Ⅳ Ⅱ、Ⅳ 2 o 3、与角终边相同的角的集合为k 360 , k 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ,则角的弧度数的绝对值是l r . o o , 1 180 57.3 o,1 o. 6、弧度制与角度制的换算公式: 2 360 180 7、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为 C ,面积为S,则l r ,C 2r l , 1 1 1 2 S lr r . 2 2 8、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是x, y ,它与原点的距离是 2 2 0 r r x y , 则sin y r ,cos x r y ,tan x 0 x .y P T 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin ,cos ,tan . O M x A 11 、角三角函数的基本关系: 2 2 1 sin cos 1 2 2 2 2 sin 1 cos ,cos 1 sin ; sin 2 tan cos sin tan cos ,cos s in tan . 12、函数的诱导公式: 1 sin 2k sin ,c os 2k cos ,t an 2k tan k . 2 sin sin ,cos cos ,t an tan . 3 sin sin ,cos cos ,tan tan . 4 sin sin ,cos cos ,tan tan . 口诀:函数名称不变,符号看象限. 5 sin cos 2 ,cos sin 2 . 6 sin cos 2 ,cos sin 2 . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数y sin x 的图象;再将函数y sin x 1 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y sin x 的图象;再将 函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数y sin x 的图象. 1 ②数y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y sin x 的图象;再将函数y sin x 的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数y sin x 的图象;再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横高中数学人教版必修4知识点
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