平面的基本性质(2)

平面相关知识点总结高中

一、平面的概念和特点

1.1 平面的概念

平面是指没有厚度、只有长度和宽度的二维几何图形。在空间中，平面是一种没有厚度和边界的几何图形，它只有长度和宽度，可以用一个无限多边形的点集体来表示。平面是一种基本的几何概念，也是几何学的一个重要分支。

1.2 平面的特点

（1）平面上的点是没有厚度的，只有长度和宽度；

（2）平面上的直线是没有宽度的，只有长度；

（3）平面上的图形是由点和直线组成的，每个点和直线在平面上都有唯一的位置。

二、平面图形的基本性质

2.1 平面图形的分类

平面图形是指在平面上的几何图形，包括点、线段、直线、角、多边形等。根据图形的特点，平面图形可以分为以下几类：

（1）点：没有长度和宽度，只有位置；

（2）线段：有两个端点，有长度，但没有宽度；

（3）直线：无限延伸，没有宽度，只有长度；

（4）角：由两条射线共同起点组成，可以分为锐角、直角、钝角等；

（5）多边形：由多条线段组成，包括三角形、四边形、五边形等。

2.2 平面图形的性质

（1）平行线的性质：平行线在同一平面上，不相交，且距离相等；

（2）垂直线的性质：两条垂直线相交成直角；

（3）角的性质：角的种类包括锐角、直角、钝角等，可根据角的度数进行分类；

（4）多边形的性质：包括三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°等。

三、平面几何问题的解决方法

3.1 轴测投影法 轴测投影法是描述和分析物体形状和结构的一种有效方法，包括平行轴测投影、透视轴测投影和等轴测投影等。在解决平面几何问题时，可以利用轴测投影法来进行图形的绘制和分析，以便更好地理解和解决问题。

3.2 图形的相似性

图形的相似性是指两个或多个图形在形状上相似，但尺寸不同的一种关系。在解决平面几何问题时，可以利用图形的相似性来推导和证明结论，从而解决问题。

3.3 平面几何的应用

平面几何在生活中有着广泛的应用，包括地图制作、建筑设计、工程测量等领域。在解决实际问题时，可以利用平面几何的知识和方法进行分析和计算，以满足实际需求。

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点

平面的基本性质

教学目标

1、知识与能力：

(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.

(2)能使用公理和推论进行解题.

2、过程与方法：

(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;

(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感成见与价值观：

培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。

教学重点

平面的三条基本性质即三条推论.

教学难点

准确运用三条公理和推论解题.

教学过程 一、问题情境

问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?

问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?

二、温故知新

公理1

一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2

如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

推论2

经过两条直角直线，有且只有一个平面.

推论3

经过两条平行平行线，有且只有一个平面.

公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.

把作出以上各公理及推论进行对比： 三、数学运用

基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.

【高一】平面的基本性质

总 题点、线、面之间的位置关系总时第5时

分 题平面的基本性质（一）分时第1时

目标初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．

重点难点正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质． 引入新

1．平面的概念：

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果．

平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的．

2．平面的画法：

3．平面的表示方法：

4．用数学符号表示点、线、面之间的位置关系：

点与直线的位置关系：

点与平面的位置关系：

直线与平面的位置关系：

5．平面的基本性质：

公理 ：字语言描述为：

符号语言表示为：

公理 ：字语言描述为：

符号语言表示为： 公理 ：字语言描述为：

符号语言表示为： 例题剖析

例1 辨析：

个平面重叠起，要比 个平面重叠起厚． （ ）

有一个平面的长是 米，宽是 米． （ ）

黑板面是平面． （ ）

平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．（ ）

例2 把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出．

例3 把下列语句用集合符号表示，并画出直观图．

（1）点 在平面 内，点 不在平面 内，点 ， 都在直线 上；

（2）平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内且平行于直线 ．

例4 如图， 中，若 在平面 内，判断 是否在平面 内． 巩固练习

1．用符号表示“点 在直线 上， 在平面 外”，正确的是（ ）

1 平面、平面的基本性质及应用

一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：

（1）选不共线的三点 （2）选一条直线与直线外一点

（3）选两条相交直线 （4）选两条平行直线

二、证明共面的两种方法：

1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.

求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：

写法（一）：

证明：∵ a//b（已知） ∴ a,b确定一个平面α（推论3）

∵ A∈a, b∈b, c∈b（已知） ∴ A∈α，B∈α，C∈α ∴ 直线ABα，直线ACα（公理1）∴ a,b,AB,AC共面。

写法（二）：

证明：∵ a//b（知）∵ a,b确定一个平面α（推3） ∴ A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴

a经过A，B，C三点，

∵ AB∩AC=A ∴ 直线AB，AC确定一个平面β（推论2） ∴ β经过A，B，C三点， ∵ A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知） ∴ A，B，C不共线 ∴ α与β重合（公理3） ∴ a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。