1.2《点线面之间的位置关系--平面的基本性质3》教案(苏教版必修2)

1．通过观察身边的实物发现直线与平面的位置关系语言表示：符号表示：4．直线和平面平行的性质定理 语言表示：符号表示：例题剖析例1 如图，已知E 、F 分别是三棱锥A －BCD 的侧棱AB 、AD中点，求证：EF//平面BCD ．[变式]：若M 、N 分别是△ABC 、△ACD 的重心，则MN//平面BCD 吗?例2 一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应怎样画线?[思考]：在平面A 1B 1C 1D 1内所画的线与平面ABCD 有何位置关系?例3 求证： 如果三个平面两两相交于直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．图形表示：图形表示：P A B CDA 1 D 1C 1 B 1 · AEFBCD[思考]：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中的两条直线相交， 那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系?巩固练习1．指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； （2）过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； （3）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行．2．已知直线a ，b 与平面α，下列命题正确的是（ ）A 、若a //α， b ⊂α，则a //bB 、若a //α，b //α，则a //bC 、若a //b ，b ⊂α，则a //αD 、若a //b ，b ⊂α，则a //α或a ⊂α3．如图，在长方体1AC 的侧面和底面所在的平面中：（1）与直线AB 平行的平面是 （2）与直线1AA 平行的平面是 （3）与直线AD 平行的平面是4．如图：一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内， 把这块矩形木板绕AB 转动，在转动过程中，AB 的对边CD 是否都和平面α平行？为什么？课堂小结直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理和性质定理．ABC DA 1 D 1 C 1B 1课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．梯形ABCD 中， AB //CD ， AB ⊂α， CD ⊄α， 则CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 ( )A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．异面或相交 2．直线l 在平面α外，则下列说法：（1）l //α；（2）l 与α至少有一个公共点；(3) l 与α 至多有一个公共点；(4) l 与α有且仅有一个公共点．其中正确的是 （填序号） 3．证明直线a 与平面α平行的步骤：①首先说明a α；②然后在 内找到 直线b ，并证明直线a 与它平行，再由直线和平面的 得a //平面α． 4．若直线a 、b 都平行于平面α，则a ，b 的位置关系为 ． 二 提高题5．如图，AB //α，AC //BD ，αα∈∈D C ，，求证：AC =BD ．6．如图，αγβγαβα//,,,AB AB EF CD =⋂=⋂=⋂，求证：EF CD //．三 能力题7．如图， E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：（1）四点E 、F 、G 、H 共面；（2）BD //平面EFGH ，AC //平面EFGH ．AB C E F D β αγ AC FB E HD G8．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C EF C B F BC E 111//，，∈∈，点∈M 侧面B B AA 11，点F E M ，，确定平面γ，试作出平面γ与三棱柱111C B A ABC -表面的交线．9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN //平面PAD ．PNC B A MD CE 1C 1BF 1AB A ∙M。

§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________． 3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线； (2)E 、C 、D 1、F 四点共面； (3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。

1．两架飞机同时在天空飞过，其中一架从东向西飞行，另一架从南向北飞行， 它们各留下了一条白色的痕迹，这两条白色的痕迹一定相交吗？2．在长方体1111D C B A ABCD -中，直线AB 与C A 1具有怎样的位置关系？ 3．已知a B B A a ∉∈∉⊂，，，ααα，求证：直线AB 与a 是异面直线．定理：的直线，和这个平面内的直线是异面直线． 符号语言：4．异面直线所成的角：（尝试在右侧画出图形表示） 已知异面直线b a 、，经过空间中任一点O 作直线b b a a ////''、，我们把a '与b '所成的锐角（或直角） 叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）． 异面直线所成的角的范围_____________________．例题剖析例1 已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体．（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直线； （2）求异面直线1AA 与BC 所成的角； （3）求异面直线1BC 和AC 所成的角．例2 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，PC ⊥AB ，2==AB PC ，F E ，分别是PA 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）求EF 与PC 所成的角．A Baα 作图区CA 1P C巩固练习1．在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对． 2．下列说法正确的有________________．(填上正确的序号) ①．过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③．若a c b a ⊥，//，则b c ⊥． ④．若c b c a ⊥⊥，，则b a //．3．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2321===AA AD AB ，． （1）直线BC 与11C A 所成的角； （2）直线1AA 与1BC 所成的角．课堂小结异面直线的判定，异面直线所成角的计算．A 1课后训练一 基础题1．两条异面直线所成角的取值范围是____________________________． 2．在正方体1111D C B A ABCD -中，面11A ABB 的对角线1AB 所在直线 与直线1DD 所成角的大小是________________________________．3．已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体，F E ，分别是AB AA ，1的中点． （1）哪些棱所在直线与直线DC 是异面直线？ （2）哪些棱所在直线与直线EF 垂直？ （3）直线11D C 与EF 的夹角是多少？二 提高题4．长方体1111D C B A ABCD - 中，221===AB AA AD ，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是_______________． 三 能力题5．在空间四边形ABCD 中，F E 、分别是CD AB 、中点，且5=EF ， 又86==BC AD ，．求AD 与BC 所成角的大小．6．如图，已知c b a 、、不共面，P c b a =⋂⋂，点c C b B a D a A ∈∈∈∈，，，，求证：BD 和AC 是异面直线．7．空间四边形ABC P -中，CA BC AB PC PB PA =====．ABA 1EF A DB C Pacb（1）写出图中几组异面直线；（2）画出与PC AB ，都垂直且相交的直线． PC。

第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α同理b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程：1.平面的基本性质（一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内1、直线与平面的位置关系：直线在这个平面内或者平面经过这条直线。

2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,点A 在平面α内,记作α∈A ,直线a 在平面α内,记作α⊂a3、作用：判断直线是否在平面内生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… （二） 公理二:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.作用：确定一个平面的依据。

（三） 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据（四） 问题：(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?小结：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.2.平面基本性质的推论（一） 推论1：直线及其外一点确定一个平面 （二） 推论2：两相交直线确定一个平面 （三） 推论3：两平行直线确定一个平面例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内． 求证：AB 和CD 既不平行也不相交．证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ，α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．求证：c b a 、、交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ． 因为，β⊂a ，故β∈A ， 同理，γ∈A ， 故c A ∈．所以c b a 、、交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行． 综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线．证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，所以R Q P 、、三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ，因为 L E 、是CB CD 、的中点， 所以 BD EL //． 又 矩形11B BDD 中BD KF //，所以 EL KF //，所以 EL KF 、可确定平面α，所以 L K F E 、、、共面α，同理 KL EH //，故 L K H E 、、、共面β． 又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证α∈G ，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面． 卡片：证明共面问题常有如下两个方法：A BC P Q R αCA AB BCD DEFG HK L1111(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面．( )(2)经过一点的两条直线确定一个平面．( )(3)经过一点的三条直线确定一个平面．( )(4)平面α和平面β交于不共线的三点A、B、C．( )(5)矩形是平面图形. ( )2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件．3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 .4.空间四个平面把空间最多分为部分．5.空间五个点最多可确定个平面．6.命题“平面α、β相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD中,AB∥CD,直线AB、BC、CD、DA分别与平面α交于点E、G、F、H.那么一定有G直线EF,H直线EF.8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用。

第22课时 两个平面平行的判定和性质习题课教学目标：使学生能够充分运用所学定理进行分析、论证。

教学重点、难点：如何根据条件、定理分析问题。

教学过程：复习位置关系，判定与性质定理，距离例1：如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、 △PAB 的重心（1）求证：平面ABC ∥平面A ′B ′C ′；（2）求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比。

证明：（1）连结PA ′、PB ′、PC ′并延长交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，连结DE 、EF 、DF∵A ′、C ′分别是△PBC 、△PAB 的重心∴PA ′＝23 PD ，PC ′＝23PF ∴A ′C ′∥DF ， ∵A ′C ′⊂\平面ABC ，DF ⊂平面ABC∴A ′C ′∥平面ABC同理 A ′B ′∥平面ABC又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′（2）由（1）知A ′C ′∥＝ 23 DF ， 又DF ∥＝ 12AC ∴A ′C ′∥＝ 13AC 同理：A ′B ′∥＝ 13 AB ，B ′C ′∥＝ 13BC ∴△A ′B ′C ′∽△ABC∴S △A ′B ′C ′︰S △ABC ＝1︰9例2：如图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 与CD 的公垂线段（1）求证：MN ∥α；（2）若AB ＝CD ＝b ，AC ＝a ，BD ＝c ，求线段MN 的长。

（1）证明：过AB 、AC 有一个平面与平面α相交，过B 作此交线的垂线，垂足为F ，由线面平行的性质定理知：AB ∥CF又AC ⊥AB ∴AC ⊥CF得：AC ∥BF∴四边形ABFC 是平行四边形由AC ⊥CF ，AC ⊥CD 知：AC ⊥平面α， ∴BF ⊥平面α 取BF 中点E ，连接EM 、EN ，则：EM ∥CF可得：EM ∥平面α，同理EN ∥平面α∴平面EMN ∥平面α 又MN 平面EMN∴MN ∥α（2）即求等腰三角形CDF 底边上的高例3：如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；（2）求平面AMN 与平面EFDB 之间的距离；（23） （3）求异面直线BE 与FN 之间的距离。

平面的基本性质（2）教学目标：掌握三个公理及三个推论并了解它的作用；能应用公理及推论判定直线在平面内、两平面相交、确定平面；掌握直线共面的证明。

教学过程： 一．复习回顾公理1： 公理2： 公理3： 二、基础训练1．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．P l α⊂⊂ B ．P l α∈∈ C ．P l α⊂∈ D ．P l α∈⊂ 2．下列推理，错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,,,,A B C A B C A B C αβαβ∈∈⇒且不共线与重合3．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①,A B AB ααα⊂⊂∴⊂ ②,A B AB ααα∈∈∴∈ ③,A a a A αα∉⊂∴∉ ④,A a A a αα∉⊂∴∉其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．4．如图，点A ∉平面BCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、DA 上的点，若EH 与FG 交K 求证：K 在直线BD 上．ABCDEH KGF三、建构数学 公理的三个推论1.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：点A ∉a . 求证：过点A 和直线a 可以确定一个平面. 证明：（1）存在性.因为A ∉a ，在a 上任取两点B ，C.所以过不共线的三点A ，B ，C 有一个平面a .（公理3） 因为B ∈α，C ∈α，所以a ∈a .（公理1）故经过点A 和直线a 有一个平面a . （2）唯一性.如果经过点A 和直线a 的平面还有一个平面b ，那么A ∈b ，a ⊂ b . 因为B ∈a ， C ∈a ，所以B ∈b ，C ∈b .（公理1） 故不共线的三点A ，B ，C 既在平面a 内又在平面b 内.所以平面a 和平面b 重合.（公理3）所以经过点A 和直线a 有且只有一个平面 2.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：直线 a ，b 且P b a = .求证：过 a ，b 有且只有一个平面. 证明：在a 上取不同于点P 的点Ab A ∉ ，∴过直线 b 和点 A 只有一个平面，ααα⊂∴∈∈AP P A ,, ，即α⊂a∴过a ，b 只有一个平面，即：过 a ，b 有且只有一个平面．3.推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：直线 a ，b 且b a //.求证：过 a ，b 有且只有一个平面． 证明：由平行线的定义知a ，b 在同一平面内.b a ,∴有平面α.设点A 为直线a 上任一点，则点A 在直线b 外，∴点A 和直线b 在过a ，b 的平面α内， 又由推论1，过点A 和直线b 的平面只有一个，∴过 a ，b 有且只有一个平面．,,A l A l ααα∉⇒∈⊂有且只有一个平面使,,a b P a b ααα=⇒⊂⊂有且只有一个平面使//,,a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面使四、应用举例例1.已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面。

高二年级数学教学案
（二）直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为：“线线垂直，则线面垂直。

”
注意：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。

(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；
命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无。