高二数学下9.1平面的基本性质2教案

高二数学 9.1平面的基本性质(第二课时)大纲人教版必修9、1、2 平面（二）●教学目标(一)教学知识点1、平面基本性质的公理3的三个推论、2、平面的基本性质及其推论的作用、3、推论的图形语言、符号语言、4、性质与推论的简单应用、（二）能力训练要求1、掌握公理3的三个推论、2、会用图形语言、符号语言表示推论的文字语言、3、掌握平面的基本性质及其推论的作用、4、初步掌握推论与性质的简单应用、（三）德育渗透目标使学生通过空间想象能力的初步训练,加深对我们所处的三维空间的认识,培养学生的辩证唯物主义世界观、●教学重点平面基本性质公理3的三个推论,在学习中要注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言,并掌握熟记它们、●教学难点三个推论的证明及性质、推论的简单应用、●教学方法指导学生自学法上节课我们学习了平面的基本性质三个公理,本节课所学的三个推论是在上节课公理的基础上推出的结论,教师给予必要的点拨指导,学生对推论的学习与掌握应该是没有问题的、启发引导学生对推论的证明（也可根据学情让学生模仿证明）,既可让学生尝试探索证明途径,培养学生的逻辑推理能力,又可突出学生的主体参与,使学生体会到参与的乐趣,学会自学的方法,增强自己获取知识的能力、至于公理与推论的简单应用,教师应在方法上予以必不可少的指导、●教学过程Ⅰ、复习回顾［师］上节课我们学习了平面的基本性质三个公理,请同学们回忆一下,三个公理的具体内容是什么？［生甲］如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内、［师］好！用图形表示是怎样的呢？［生乙］（上讲台在黑板上作图）［师］用符号表示是怎样的呢？［生丙］（板书于黑板上）、［师］很好！lα就说直线l在平面α内,也就是说直线l 上的所有的点都在平面α内,请同学们考虑一下,怎样的直线l我们就说它在平面α外呢？［生丁］不在平面α内的直线l,我们就说它在平面α外、［生戊］直线l上没有两点在平面α内,我们就说它在平面α外、［生己］直线l上有一个点不在平面α内,我们就说它在平面α外、［生庚］直线l上最多有一个点在平面α内,我们就说它在平面α外、［师］生丁、戊、己、庚谁谈得正确呢？（学生考虑,然后回答：都正确）［师］刚才四位同学的回答都是正确的！那么同学们谁来谈一下,直线l在平面α外时,直线与平面的位置关系可能是怎样的？［生辛］直线与平面只有一个公共点或直线与平面没有公共点、［师］好！直线与平面没有公共点或直线与平面只有一个公共点,都叫直线在平面外、（这个讨论,为日后研究直线与平面的位置关系打下伏笔）［师］再请一位同学来谈一下公理2的内容、［生壬］如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线、其图形语言为用符号表示为P∈α∩βα∩β=l且P∈l、［师］很好！这个公理告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于过这个公共点的一条直线、在画两个平面相交时,一定要把它们的交线画出来、再请一位同学来谈一下公理3、［生癸］经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面、其图形语言为用符号表示为A、B、C不共线存在唯一的平面α,使得［师］公理3实质上是确定平面的条件、从刚才大家的回答来看,对各个公理,大家记忆得很好,但关键还在于理解,要把各个公理的作用弄清楚、弄透彻,正确、合理地运用它去解决具体问题、在平面几何中,我们知道两点确定一条直线,在立体几何中,我们又知道,不在一直线上的三点确定一个平面、后者就是公理3的实质、由公理3,我们还可得到下面的一些推论,请同学们再看课本P6、Ⅱ、指导自学（学生看课本时,教师将三个推论板书写在黑板上）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面、推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面、推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面、［师］对于推论1,可以这样来理解：公理3告诉我们不在同一直线上的三点确定一个平面,由于这三点中的任意两点可确定一条直线,而第三点在这条直线外,所以由公理3这条直线与它外面的一点可确定一个平面、这样理解是可以的,但对于推论的正确性,还是需要进行严格证明的、分析：（1）与平面几何的证明一样,证明立体几何问题的一般步骤是：第一步：根据题意作图,写出已知、求证;第二步：写出证明过程、（2）对于“有且只有”型命题的证明,要从“有”和“只有”两方面证明,即既证明存在性“有”,又证明唯一性“只有”、（3）化生疏为熟悉、化未知为已知是我们常用的解（证）题方法、［师］推论1的图形语言是怎样的？请一位同学来黑板上画出、［生］（上黑板画图）［师］请根据推论1的文字语言和图形写出已知和求证、［生］已知：点Al、求证：过点A和直线l有且只有一个平面、［师］很好、下面我们一起来作出证明,由刚才的分析,对于这个“有且只有”型的命题,既要证“存在性”,又要证“唯一性”、证明：①存在性、在直线l上任取两点B、C,据题意,A、B、C三点不共线、由公理3,经过A、B、C三点有一个平面α、∵B∈l,C∈l,∴lα（公理1）、又A∈α,∴平面α是经过点A和直线l的平面、②唯一性根据公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个,所以经过直线l和点A的平面只有一个、由①、②,可知经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面、［师］这个推论用符号语言可表示为、［生］Al存在唯一的平面α,使得A∈α且lα、［师］上面我们给出了推论1的证明,请同学们仿照,尝试给出推论2、推论3的证明、（同学试证,教师巡视,可让同学将证明过程板书于黑板上）（推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面）已知：直线a、b且a∩b=P、求证：过a、b有且只有一个平面、证法一：①存在性在直线a、b上分别取不同于点P的点A、B,则点A、B、P是不共线的三点（否则与a、b是两条相交直线矛盾）、根据公理3,过A、B、P三点有一个平面α、∵A∈α,P∈α,∴APα,即aα、同理bα,因此过直线a、b有平面α、②唯一性∵经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P,根据公理3,经过不共线的三点A、B、P的平面只有一个,∴经过a、b的平面只有一个、由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面、证法二：①存在性在直线a上取不同于点P的点A,则点A直线b、根据推论1,过点A和直线b有一个平面α、∵bα,P∈b,∴P∈α、又A∈α,∴APα,即aα、∴经过相交直线a、b有平面α、②唯一性∵经过直线a、b的平面一定经过点A和直线b,而Ab,根据推论1,经过点A和直线b的平面只有一个、∴经过a、b的平面只有一个、由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面、推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面、已知：直线a、b且a∥b、求证：经过a、b有且只有一个平面、证明：①存在性∵a∥b,由平行线的定义,a、b在同一平面内,∴过直线a、b有一个平面α、②唯一性在直线b上任取一点B,则Ba（否则与a∥b 矛盾）,且B、a在过a、b的平面α内、又由推论1,过点B和直线a的平面只有一个,∴过直线a、b的平面只有一个、由①、②,可知经过两条平行直线的平面有且只有一个、［师］推论2与推论3用符号语言可分别表示为什么呢？［生］推论2可表示为a∩b=P存在唯一平面α,使得aα,bα、推论3可表示为a∥b有且只有一个平面α,使得aα,bα、［师］“有且只有一个平面”可以说成“确定一个平面”、比如公理3可以表述为“不在同一直线上的三点确定一个平面”、类似地,公理3的三个推论可以分别叙述为［生］一条直线与它外面的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面、［师］好、由此可以看出公理3及它的三个推论,给出了确定一个平面时经常使用的一些条件,我们要予以准确把握、下面我们来进行有关的练习、Ⅲ、课堂练习课本P8习题9、11,2,5、Ⅳ、课时小结本节课,我们学习了公理3的三个推论,这三个推论连同公理3都是确定平面的条件,它们是把平面几何知识应用于立体几何知识的桥梁,为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体方法、Ⅴ、课后作业（一）课本P96,7,8、（二）1、预习课本P7例题、2、预习提纲证三线共面的方法是什么？●板书设计9、1、2 平面（二）学生画的图推论1 证明推论2 证明推论3 证明小结。

平面的基本性质教案教案标题：平面的基本性质教学目标：1. 理解平面的定义和基本性质；2. 能够识别平面内的基本元素，如点、线段、角等；3. 能够应用平面的基本性质解决简单的几何问题。

教学准备：1. 教学工具：黑板、白板、教学投影仪等；2. 教学资源：教科书、绘图工具、练习题等；3. 学生资源：学生教材、练习册等。

教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 利用教学投影仪或黑板上展示几个平面图形，引起学生对平面的注意；2. 引导学生思考：你们对平面有什么了解？平面有哪些基本性质？步骤二：知识讲解（15分钟）1. 介绍平面的定义：平面是由无限多个点组成的，且任意两点之间都可以画一条直线的空间；2. 解释平面的基本性质：a. 平面上的任意两点都可以通过一条直线相连；b. 平面上的三点不共线，则确定一条唯一的平面；c. 平面上的任意两条直线要么相交于一点，要么平行；d. 平面上的两个角要么相交于一条边，要么没有公共点；e. 平面上的两个角要么互为补角，要么互为对顶角。

步骤三：示范与练习（20分钟）1. 在黑板或白板上绘制几个平面图形，如三角形、矩形等，要求学生根据图形的特点判断其是否为平面；2. 给学生分发练习题，让他们根据平面的基本性质回答问题，如给出两个角，让学生判断它们是什么关系等；3. 引导学生通过练习巩固对平面基本性质的理解和应用。

步骤四：拓展与应用（10分钟）1. 提供一些拓展问题，让学生运用平面的基本性质解决几何问题，如给出一个平面图形，让学生找出其中的直角、对顶角等；2. 鼓励学生思考并展示他们的解决方法，促进学生之间的交流和合作。

步骤五：总结与评价（5分钟）1. 对本节课所学内容进行总结，并强调平面的基本性质在几何学中的重要性；2. 布置相关作业，巩固学生对平面基本性质的理解和应用。

教学辅助策略：1. 利用教学投影仪或黑板展示平面图形，帮助学生更直观地理解平面的概念；2. 鼓励学生进行小组讨论和合作，促进他们之间的交流和互动；3. 引导学生思考和解决问题的方法，培养他们的逻辑思维和创造力。

9.1 平面的基本性质【教学目标】知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °，横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】（1）(2)图9−1动脑思考探索新知【新知识】母来命名，如图9−2*巩固知识 典型例题例1 表示出正方体1111ABCD A B C D -（如图9−3）的6个面1． 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D -，也可以简记作正方体1A C .图9−3解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面11A C 、平面1AB 、平面1BC 、平面1CD 、平面1DA ． 【试一试】请换一种方法表示这6个面．说明强调引领 讲解说明 *运用知识 强化练习图9−5l β=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面，不重合的两条直线．画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））. 【试一试】请画出两个相交的平面，并标注字母． 创设情境 兴趣导入【实验】在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉，是否能将一块硬纸板架起？如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉，那么结果会怎样？动脑思考 探索新知图9−7图9−6【新知识】由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图9−8）． 【说明】“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”．利用三角架可以将照相机放稳（图9−9），就是性质3的应用．图9−9根据上述性质，可以得出下面的三个结论． 1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图9−10（1））. 2．两条相交直线可以确定一个平面（如图9−10（2））． 3．两条平行直线可以确定一个平面（如图9−10（3））.（3）【试一试】讲解说明引领分析 仔细分析讲解关键词语引领分析αl lα (2)Aα(1)图9−8请用平面的性质说明这三个结论．工人常用两根平行的木条来固定一排物品（如图9−11（1））；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒（如图9−11（2）），都是上述结论的应用．（1） （2）图9−11【想一想】如何用两根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否在同一个平面内？仔细分析讲解关键词语*巩固知识 典型例题例2 在长方体1111ABCD A B C D -（如图9−12）中，画出由A 、C 、1D 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．分析 画两个相交平面的交线，关键是找出这两个平面的两个公共点．解 点A 、1D 为平面γ与平面11ADD A 的公共点，点A 、C 为平面γ与平面ABCD 的公共点，点C 、1D 为平面γ与平面11CC D D 的公共点，分别将这三个点两两连接，得到直线11AD AC CD 、、就是为由1A C D 、、三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线（如图9−12（2））．图9−12【想一想】说明强调 引领 讲解说明γ【教师教学后记】。

课题：9．1平面的基本性质(一)教学目的：1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2理解平面的无限延展性3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系4教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图教学过程：一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？二、讲解新课：1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）a βαB A βB AαβB A ααβa 图 2A （1）3①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等4空间图形是由点、线、面组成的空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄（平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a α=三、讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，bc p =，αβ=解：说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）例2 将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l ） 解：（1）A ∈α，A ∉β； （2）M ∈a ，M ∉α；（3）l ∈α，l ∈β（即α β＝l ）例3 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形答案：右图四、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． （ ）（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）（3）一个平面的面积为20 cm 2． （ ）（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ）答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．3．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．(4)(3)(2)(1)4．如图所示，用符号表示以下各概念：①点A 、B 在直线a 上 ；②直线a 在平面α内 ；点C 在平面α内 ；③点O 不在平面α内 ；直线b 不在平面α内 ．答案：①,A a B a ∈∈ ②,a C αα⊂∈ ③,O b αα∉⊄ 5．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．②如图所示，两个平面α、β，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？答案： ①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根五、小结 ：平面的概念；平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换六、课后作业：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内；（3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ；（4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M 七、板书设计（略）八、课后记：(3)(2)(1)。

1.2.1平面基本性质与推论一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2、课程标准解读平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义. 平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的.平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用.平面的基本性质的推论用以确定平面的依据.(二)教材分析本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具.是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用.通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换.难点是平面的基本性质的理解与应用.课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系.知识结构图基本性质1 推论1平面的基本性质基本性质2 推论2基本性质3 推论3（三）学情分析通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究.对于证明学生可能感觉难度较大.二、教学目标1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义.2、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，3.通过第一节课学习，在掌握平面的三个基本性质的基础上，进一步掌握平面基本性质的三个推论；三、评价设计目标1评价：能说出线不在面内的情况，并用图形表示.能说出两个平面的位置关系.目标2评价：学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，并会用图形语言及符号语言表示.目标3评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；四、教学方法学生从直观认识平面到理性的理解平面，有一个抽象的过程.通过这个过程可培养学生的抽象能力.要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景.学完这三条基本性质，学生营养成用性质理解平面的习惯，学会用直线和皮面的基本性质进行推理.五、教学过程温故知新，导入新课.1.平面有哪些性质呢？2.一条直线和平面有哪几种关系呢？两个平面呢？教学重点、难点的学习与完成过程师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）【设计意图】：形象直观，学生易于接受.这就是基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示．【设计意图】：学生学会符号语言.这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据基本性质1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象：两个纸板交叉师：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.【设计意图】：形象直观，学生易于接受.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合这就是基本性质3其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示基本性质3判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？【设计意图】：以问题串的形式引出基本性质2.（教师演示给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即基本性质2其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．基本性质2是确定平面位置的依据之一.推论师：确定一个平面的依据，除基本性质2外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论并证明.生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：经过a和A有且只有一个平面．∉已知：A l求证：经过点A和直线l有且只有一个平面.【设计意图】：学生学会将文字叙述改写为数学语言.证明：①存在性：如图（1）在直线l上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线，根据基本性质2，经过不共线的三点A、B、C有一个平面αα∈B ，α∈C ∴α⊂l （基本性质1）所以平面α就是经过直线l 和点A 的平面.②唯一性： B l ∈ ，C l ∈ ，∴ 任何经过点A 和l 的平面一定经过点A 、B 、C ，三点A 、B 、C 不共线，根据基本性质2，这样的平面只有一个，由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面． 师（板书）已知：a ∩b =A求证：经过a 和b 有且只有一个平面.证明：①存在性： 如图（2）在a 上任取一点B ，且B ∉b,根据推论1， 经过一条直线b 和直线外一点B 有一个平面α∵A ∈a ,B ∈a ∴a α⊂所以平面α就是经过相交直线a 和b 的平面.②唯一性：∵B ∈a∴任何经过直线a 和b 的平面一定经过点B 和直线b ，∵根据推论1，这样的平面只有一个，由①②可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.已知：a∥b求证：经过a和b有且只有一个平面.证明：①存在性：如图（3）∵a∥b∴根据平行线的定义，a和b在同一平面α内.②唯一性：在a上任取一点A,在b上任取一点B,连接点A,B作直线c，∵A∈α，B∈α,∴c在α内，∵a∩c=A,b∩c=B,∴根据推论2 ,a和c在唯一的平面内，b和c在唯一的平面内.又a和b在同一平面内，则a，b，c在唯一的一个平面内.由①②可知：经过两条平行直线，有且只有一个平面.证明线共面例题：已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．证明线共点例题. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α∩β．l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．又∵α∩β＝点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．当堂检测：1、下列命题是否正确.1.不共线的三点确定一个平面.（√）2.有三个公共点的两个平面重合.（√）3.三角形一定是平面图形.（√）4.平行四边形一定是平面图形.（√）5.四边形一定是平面图形.（×）6.不共线的四点确定一个平面.（×）2、P38练习B组第6题用符号语言表示.3、P38练习B组第2题.【设计意图】：检测基本性质及推论的理解及应用.归纳总结：请同学将3个平面基本性质及3个推论用图形语言及符号语言表述. 【设计意图】：学生会将自然语言、数学语言和符号语言相互转化.。

课题：9．1平面的基本性质(二)教学目的：1理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题2理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．教学过程：一、复习引入：1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：Aα A α∈ 点A 在平面α内 A αA α∉ 点A 不在平面α内 b a A a b A =直线a 、b 交于A 点 a αa α⊂直线a 在平面α内 aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点a Aα a A α= 直线a 与平面α交于点Al αβ= 平面α、β相交于直线l集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=二、讲解新课：1 平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭ 如图示：BA α或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．2 平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC是平面图形证明：∵三角形ABC的顶点A、B、C不共线∴由公理3知，存在平面α使得A、B、Cα∈再由公理1知，AB、BC、CAα⊂∴三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内∴三角形ABC 是平面图形例2 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于（这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形） 求证：P 在直线BD 上 证明：∵EH FG P =，∴P EH ∈，P FG ∈，∵,E H 分别属于直线,AB AD ，∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ，同理：P ∈平面CBD ，又∵平面ABD 平面CBD BD =，所以，P 在直线BD 上四、课堂练习：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面）A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ．C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ．其中命题和叙述方法都正确的是（ ）2．下列推断中，错误的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）5．看图填空（1）AC ∩BD =（2）平面AB 1∩平面A 1C 1=（3）平面A 1C 1CA ∩平面AC =（4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =（5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =（6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1=答案：1. C 2. C 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√5.⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 1五、小结 ：本课主要的学习内容是平面的基本性质，三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证A 1明的方法是反证法和同一法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

教学设计示例（一）9.1 平面第一课时教学目标：1．理解平面的概念，掌握平面的画法及记法．2．理解并记住平面的基本性质．3．初步掌握用符号表示点、线、面间的关系．教具准备：投影胶片、三角板、模型．教学过程：［设置情境］日常生活中，哪些东西给我们以平面的形象？平面是如何定义的，怎么画？平面有哪些基本性质呢？［探索研究］1．平面的概念常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的．与之不同的是几何里的平面是无限延展的．注意：平面的概念是用描述性的语言进行说明的．2．平面的画法及表示通常我们画出直线的一部分来表示直线．同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形．因此，通常画平行四边形来表示平面（图1）．当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的2倍长．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图2）．有时根据需要也可用其他平面图形（例如三角形等）表示平面．平面通常用一个希腊字母、、等来表示，如平面、平面、平面等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面（图1）．平面内有无数个点，平面可以认为是由它内部的所有的点组成的点集，其中每个点都是它的元素，点在平面内，记作；点在平面外，记作（图3），这里的平面看作是集合，而点看作是元素．3．平面的基本性质我们下面学习平面的基本性质的三个公理．所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据．公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集．直线也是由无数个点组成的集合，点在直线上，记作；点在直线外，记作，如果直线上所有的点都在平面内，或者说平面经过直线，记作．否则，就说直线在平面外，记作．公理1的含义如图4所示，也可以用符号表示为，，，．公理1为证明直线在平面内提供了依据．公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．注意：没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面．两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．如果平面和有一条公共直线，就说平面和相交，交线是，记作．公理2的含义如图5所示，也可以用符号表示为且．公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（图6）．老师问学生：经过一点、两点或同一直线上的三点有多少个平面？过不在同一直线上的四点呢？前一问有无数个平面，后一问不一定有平面．公理中，“有且只有一个”的含义：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一．不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则未表达出存在性的含义．过、、三点的平面可记作“平面”．［演练反馈］1．举例说明生活中本节公理的应用．2．填空：正方体的各顶点如图7所示，正方体的三个面所在平面、、分别记作、、，试用适当的符号填空．（1），．（2），．（3），．（4），．（5），，．3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．（1），（2），（3）（4），，，［参考答案］1．（略）2．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；；3．（1）点在平面内，点不在平面内．（2）直线在平面内，直线不在平面内．（3）平面与交于直线．（4）直线经过平面外一点和平面内一点．图形略．［总结提炼］［学生回答，教师补充完善．］本节课主要学习了：1．平面的概念、画法及记法．2．平面的基本性质：公理，公理2，公理3．3．点在（不在）平面内，直线在（不在）平面内，两个平面交于一条直线等的符号的表示．（四）布置作业课本P7～P8习题9.1 1，2（1），3，4．［参考答案］略．（五）板书设计教学设计示例（二）9.1 平面第二课时教学目标：理解掌握公理3的三个推论．教具准备：投影仪、胶片、三角板．教学过程：［设置情境］我们知道，不共线三点确定一个平面，那么还有其他的确定一个平面的情况吗？［探索研究］推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图1（1））．证明：（存在性）设点不在直线上，在直线上任取两点和，于是有，，，即、、为不共线的三点．根据公理3，经过、、三点有一个平面，因为，，所以由公理1可知，即平面是经过直线和点的平面．（惟一性）又根据公理3，经过不共线的三点、、的平面只有一个，所以经过直线和点的平面只有一个．推论1的证明分两部分来证，即第一要证存在一个平面，第二要证这个平面是惟一的．推论1可以用符号表示为有且只有一个平面，使，．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（图1（2））．推论2的证明可口头讲一下，详细过程可见“教参”．我们规定：直线和相交于点，记作，不可以只写，需将交点字母写出来，也不能记作．推2可以用符号表示为有且只有一个平面，使，．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（图1（3））．推论3的证明分两步进行，第一步证存在性，要利用平行线的定义，即在一个平面内，两条没有公共点的直线叫做平行线，第二步证惟一性，与推论1类似，也可见“教参”．推论3可以用符号表示为有且只有一个平面，使，．“有且只有一个平”也可以说成“确定一个平面”．公理3及它的三个推论给出了确定一个平面时经常使用的一些条件，下面通过一道例题来学习基本性质的应用．例题如图2，直线，，两两相交，交点分别为、、，判断这三条直线是否共面并说明理由．解：这三条直线共面．理由如下：∵直线和相交于点．∴直线和确定一个平面（推论2）．∵，．∴，．∴（公理1）．因此，直线，，都在平面内，即它们共面．由上可知，证明三条直线共面，可以先证其中两条直线共面，再证第三条直线也在这个平面内．［演练反馈］1．两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（）A．2个B．有无数个且在一条直线上C．一个或无数个D．1个2．点在直线上，在平面外，用符号表示正确的是（）A．，B．，C．，D．，3．若，，，，则（）A．B．C．D．4．三条直线相交于一点，过每两条相交直线作一个平面，最少可作几个平面？最多可作几个平面？若三条直线相交于三点呢？5．已知直线，且，，求证：、、三线共面．［参考答案］1．B 2．B 3．A4．答：相交于一点时，最少一个面，最多三个平面；相交于在三点时，只有一种情况，即为一个平面．5．证明：∵∴、确定一个平面（推论3）又∵，∴，∴，即（公理1）∴、、三线共面．［总结提炼］［学生回答，教师完善．］本节课主要学习了：1．公理3的三个推论：推论1，推论2，推论3．2．证明若干个点、线共面的方法．（先证其中某些点、线确定一个平面，再证剩余点、线落在此平面内．）（四）布置作业（1）课本P8习题9.1 2．（2），5，6，7，8．（2）思考题：已知三直线，且直线与、、分别交于、、三点，求证：、、、四条直线共面．（五）板书设计教学设计示例（三）9.1 平面第三课时教学目标：1．巩固复习平面的基本性质．2．会应用3个公理及推论证明三点共线和若干个点、线共面．教具准备：投影仪（胶片）、三角板．教学过程［基本知识加顾］平面基本性质小结［探索研究］例1 在正方体中（如图1），与截面交于点，、交于，求证：、、三点共线．分析：三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，显然、、平面，且、、平面，故可证得三点共线．证明：∵、、平面．又∵、、平面．据公理2，知、、在平面与平面的交线上，即、、三点共线例2 已知直线与三条平行线、、都相交（如图2），求证：与、、共面．证明：∵，∴，确定平面，设，，．∴，，∴．同理，、确定平面，，则平面与都过两相交直线与，而过和有且只有一个平面．∴与重合．故、、、共面．教师点评：证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．例3 不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内．分析：此题要注意两种情况：一是无三条直线相交于一点；二是其中只有三条直线交于一点．教师讲第一种情况，第二种情况由学生来证，可以由一学生上台板演．已知：直线、、、两两相交，且不过同一点．求证：直线、、、共面．证明：如图3，、、、两两相交，且无三条直线相交于一点．设、交于点，、交于点．∴、确定一个平面．又∵，，，．∴、、、．由公理1，知、．故、、、四条直线共面．如图4，、、、两两相交，且有三直线交于一点．∵．∴、确定一个平面．又∵，，∴，，，∴．∴，（公理1）．∴、、、四直线共面．［演练反馈］1．两个平面重合的条件是（）A．有两个公共点B．有无数个公共点C．存在不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．下列命题中，真命题是（）A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件4．空间有四个点，其中无三点共线，可确__________个平面．若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有______个面．5．一直线和直线外不在同一直线上的三点，可以确定几个平面？6．已知：， ，，， ．求证：［参考答案］1．C 2．D 3．D4．1或4；85．分三种情况：1个或3个或4个．6．提示：仿照例2证法．［总结提炼］本节课我们发现了证明三点共线的新方法，即证明这些点都是某两个平面的交点，据公理2它们必共线．证明共面问题一般有两种途径：①先证其中一部分点、线确定一个平面，再证剩余点、线落在确定好的平面上．②先证其中一部分点、线确定一个平面，再证另一部分点、线确定另一个平面，最后证明前后两个平面重合．（四）布置作业课本 P8～P9习题9.1 9，10，11．习题精选一、选择题1．设表示一个点， ， 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下述四个命题：①， ；②， ；③， ， ， ；④ ， ， ． 其中正确的命题是（ ）．A．①，②B．②，③C．①，④D．③，④2．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）．A．1 B．1或2 C．1或3 D．33．两两相交的三个平面，最多能将空间划分部分，则的值为（）．A．6 B．7 C．8 D．94．在空间四边形的各边，，，上分别取，，，四点，如果直线，交于一点，则（）．A．点一定在直线上B．点一定在直线上C．点在直线或上D．点既不在直线上也不在直线上二、填空题5．四条线段顺次首尾连接，能确定_____________个不同的平面；长方体中各个面上的对角线可确定___________个不同平面．6．空间三条直线两两相交，点不在这三条直线上，那么由点和这三条直线最多可以确定______________个不同平面．7．给出下述五个命题：①一条直线和一个点可以确定一个平面；②个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点；③两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合；④三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内；⑤与不共线的三个点的距离都相等的点共有一个或三个．其中正确命题的序号是___________．三、解答题8．设四条直线，，和．若，直线与，，分别相交于点，，，求证：这四线共面．9．已知空间四点不在同一个平面内，求证：直线和既不相交也不平行。

高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。

让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。

1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。

平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。

平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。

1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。

讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。

引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。

2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。

平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。

2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。

讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。

讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。

3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。

平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。

3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。

讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。

讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。

4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。

平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。

【课题】平面的基本性(1)【教学目标】1、了解平面的概念，掌握平面的表示法.2、能够画出水平放置的平面的直观图.3、会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.4、培养学生的空间想象能力.【教学重点】1、平面的概念.“平面”是教材中只作描述说明，而不定义的最原始的基本概念，应让学生结合实例弄清平面的含义，认真体会平面与平面无大小之分，无厚薄之别，仅有位置上的不同.2、会正确画图表示两相交平面的位置关系.【教学难点】平面基本性质的掌握与运用.【教学过程】1.复习引入（一）导入1、第一个图形什么图形？我们看见了这个几何体的哪几个面？（前面、上面和右面）.第二个又是什么图形？我们看见了这个几何体的哪几个面？（前面、左面和下面）.2、请判断下面的两个图形是否正确？其中图（1）中，点E、F分别在C1D1和A1B1上，直线EF交BA的延长线于G；图（2）中，点E、F分别在A1B1和B1B上，直线EF交AB的延长线于G.图（1）中的直线EF与BA的延长线不相交，图（2）中的直线EF与AB的延长线相交.图（2）中的EF与AB都在长方体的前面内，图（1）中的EF在长方体的上面，AB在长方体的下面.图（1）、图（2）表示的正方体是一种空间图形，空间图形是立体几何研究的对象.平面图形是空间图形的一部分.（二）立体几何研究的对象立体几何是在平面几何的基础上进行研究的，研究的内容是：空间图形的画法、性质和计算；空间图形的大小、形状和位置关系，以及它们的应用.初中的平面几何是很重视系统学习的，理论严谨、层次分明.到了高中，数学学习更加着重理性要求，立体几何也是如此，同样要用公理、定理、定义等等，把基本内容表达出来，从而体现立体几何的基本概念与方法.空间图形中，最简单的图形就是点、线、面，其中点与线平面几何中已经研究过，因此在立体几何中先介绍平面.2.讲解新课1、平面的概念常见的桌面、黑板面、平静的水面，平整的地面等，都给我们以平面的印象.几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的。