第三章 微分中值定理与导数的应用
Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives
3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)
一、罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)
设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义 , 并且在0x 处可导 , 如果对任意的0()x U x ∈, 有0()()f x f x ≤( 或0()()f x f x ≥), 那么0()0f x '=。
Let ()f x be defined on the open interval 00(,)x x δδ-+for some δ. If ()f x is differentiable at 0x , and for any x in 00(,)x x δδ-+ , (or 0()()f x f x ≥)then 0()0f x '=.
驻点、奇异点和临界点
(1) 如果函数在c 点的导数()0f c '=, 则称c 点为驻点；
(2) 如果c 是区间(,)I a b =的内点 , 且函数在c 点的导数()f c '不存在 , 则称c 点为奇异点 ；
（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。 Stationary Point, Singular Point, and Critical Point
(1) If c is a point at which ()0f c '=, we call c a stationary point; (2) If c is an interior point of (,)I a b = where ()f c ' fails to exist, we call c a singular point;
(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point and end point, in the domain of a function is called a critical point of ()f x .
罗尔定理 (Rolle's Theorem)
如果函数()f x 满足 :
(1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；
(3) 在区间端点处的函数值相等 , 即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<， 使得()0f ξ'=。
Let ()f x be continuous on the closed interval [,]a b and differentiable on the open interval (,)a b . If ()()f a f b =，then there is at least one number ξ in (,)a b such that ()0f ξ'=.
二、拉格朗日中值定理 (Lagrange's Mean Value Theorem) 如果函数()f x 满足 : (1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；
那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<，使得
()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
If ()f x is continuous on the closed interval [,]a b and differentiable on the open interval (,)a b , then there is at least one number ξ in (,)a b where
()()()f b f a f b a
ξ-'=-,
or equivalently, where ()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
定理 如果函数()f x 在区间 I 上的导数恒为 0, 则()f x 在区间I 上是一个常数。
Theorem If ()f x is defined on an interval I with ()0f x '= for all x in I, then there is a constant C such that ()f x C = for all x in I . 三、柯西中值定理 (Cauchy's Mean Value Theorem) 如果函数()f x 及()F x 满足 : (1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ； (3)对任一(,)x a b ∈,()0F x '≠，
那么在(,)a b 内至少有一点ξ, 使得()()()()()
()
f b f a f F b F a F ξξ'-='-。
Let the functions ()f x and ()F x be continuous on a closed interval [,]a b and differentiable on the open interval (,)a b . If ()0F x '≠ for all x in (,)a b , then there is at least one number ξ in (,)a b such that
()()()()()
()
f b f a f F b F a F ξξ'-=
'-.
3.2 洛必达法则 ( L'Hopitalls Rule)
未定式 (Indeterminate Form)
如果当x a →( 或x →∞) 时 , 两个函数都趋于零或部趋于无穷大 , 那么极限
()
()lim
()
x a
x f x F x →→∞''可能存在 , 也可能不存在。通常把这种极限叫作未定式 , 并分别简记为00，
或∞∞。
If the limits of ()f x and ()F x are both 0 or infinity as x approaches a (or ∞), then ()
()lim
()
x a
x f x F x →→∞''exists or does not exist ，which is called the
indeterminate form and represented by 00 or ∞∞.
定理1 未定式00，x a →(Indeterminate Form 00 as x Approaches a ) 设
（1） 当x a → 时 , 函数()f x 及()F x 都趋于零；
（2） 在点a 的某去心邻域内()f x '和()F x '都存在且()0F x '≠；
（3） ()lim ()
x a
f x F x →''存在（或为无穷大），
那么
()()lim
lim
()
()
x a x a
f x f x F x F x →→'='。
定理2 未定式00，x →∞(Indeterminate Form 00 as x Approaches ∞)
设
（1） 当x →∞时 , 函数()f x 及()F x 都趋于零；
（2） 当x N >时，()f x '和()F x '都存在且()0F x '≠；
（3） ()lim
()
x a
f x F x →''存在（或为无穷大），
那么
()()lim
lim
()
()
x a x a
f x f x F x F x →→'='。
L'Hopital's Rule for Forms of Type 0/0 Suppose that lim ()lim ()0x a
x a
f x F x →→==.If ()lim
()
x a
f x F x →'' exist in either the finite
or infinite sense (i.e., if this limit is a finite number or -∞or +∞ ), then
()()lim
lim
()
()
x a x a
f x f x F x F x →→'='
here a may stand for any of the symbols a ,a -,a +,-∞ or +∞. 未定式∞∞情形 (Indeterminate Form ∞∞ as x Approach a )
设
（1） 当x a → 时 , 函数()f x 及()F x 都趋于∞；
（2） 在点a 的某去心邻域内()f x '和()F x '都存在且()0F x '≠；
（3） ()lim ()
x a
f x F x →''存在（或为无穷大），
那么
()()lim
lim
()
()
x a x a
f x f x F x F x →→'='。
L'Hopital's Rule for Forms of Type ∞∞
Suppose that lim ()lim ()x a
x a
f x F x →→==∞.If ()lim
()
x a
f x F x →'' exist in either the finite
or infinite sense, then
()()lim
lim
()
()
x a
x a
f x f x F x F x →→'='
Here a may stand for any of the symbols a ,a -
,a +
, -∞or +∞.
3.3 泰勒公式（Taylor ’s formula ）
泰勒中值定理 （T aylor ’s Mean Value Theorem ）
如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内具有直到1n +阶导数，则对任意(),x a b ∈，有
()()
()
()
()2
0000000()()
()()()2!
!
n n
n f x f
x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++
-+ ，
（3） 其中
()()
()()
1
0()
1!
n n n f
R x x x n ξ+=
-+ （4）
这里ξ是x 与0x 之间的某个值。
公式（3）称为()f x 按()0x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式，
()n R x 的表达式（4）称为拉格朗日型余项。
Let ()f x be a function whose 1n +st derivative ()
1()n f
x + exists for each x in an
open interval (),a b containing 0x . Then for each x in (),a b ,
()()
()
()
()2
0000000()()
()()()2!
!
n n
n f x f
x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+
-++
-+ ，
（3） where the remainder (or error) ()n R x is given by the formula
()()
()()
1
0()
1!
n n n f
R x x x n ξ+=
-+, (4)
and ξ is some point between x and 0x .
The equation (3) is called the Taylor ’s formula with Lagrange Remainder term of order n
based at 0x , and (4) is called the Lagrange Remainder term. 佩亚诺型余项（Peano Remainder T erm ）
n 阶泰勒公式也可以写成 ()()()
()
()2
00000000()()()()2!
()
!
n n
n
f x f x f x f x x x x x f
x x x o x x n '''=+-+-++
??
-+-??
，
上式称为()f x 按()0x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式，
()0n
o x x ??-??
称为佩亚诺型余项。 Taylor ’s formula of order n can be written in the following: ()()
()
()
()2
00000000()()()()2!
()
!
n n
n
f x f x f x f x x x x x f
x x x o x x n '''=+-+-++
??
-+-??
,
which is called the Taylor ’s formula with Peano Remainder Term of order n based at 0x , and
()0n
o x x ??-??
is called the Peano Remainder Term. 麦克劳林公式 （Maclaurin ’s Formula ）
当00x =时，带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式简化为带有拉格朗日余项型的n 阶麦
克劳林公式，形式如下：
()
()
()()
2
11
(0)()(0)(0)2!(0)
()
01!
1!
n n n
n f f x f f x x f
f
x x x
n n θθ
++'''=++++
+
<<+ 。
When 00x =, the Taylor ’s formula with Lagrange Remainder term of order n simplifies the Maclaurin ’s Formula with Lagrange Remainder term of order n , which is in form of following:
()
()
()()
2
11
(0)()(0)(0)2!(0)
()
01!
1!
n n n
n f f x f f x x f
f
x x x
n n θθ
++'''=++++
+
<<+ .
3.4 函数的单调性和曲线的凹凸性
（Monotonicity of Functions and Concavity of Curves ）
一、函数单调性的判别法 (T est for increasing or Decreasing functions) 定理1 单调性定理 (Monotonicity Theorem)
设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导.
(1) 如果在(),a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加; (2) 如果在(),a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[],a b 上单调减少;
Let ()f x be continuous on an interval [],a b and differentiable at every interior point
of [],a b ;
(1) If ()0f x '> for all x interior to [],a b , then ()f x is increasing on [],a b ; (2) If ()0f x '< for all x interior to [],a b , then ()f x is decreasing on [],a b . 寻找函数单调区间的方法 (Guidelines for Finding Intervals on which a Function is Increasing or Decreasing)
设函数()f x 在(),a b 上连续。寻找函数的单调区间可按下面的步骤： （1） 找出函数()f x 的临界点，并根据这些点决定验证区间； （2） 在每个区间取一个点确定()f x '的符号；
（3） 利用函数的单调性定理判定函数在每个区间上是单调增还是单调减。 Let ()f x be continuous on the interval (),a b . To find the open intervals on which ()f x is increasing or decreasing, we suggest the following steps:
(1) Locate the critical numbers of ()f x in (),a b , and use the numbers to determine test intervals;
(2) Determine the sign of ()f x ' at one value in each of the test intervals;
(3) Use the monotonicity Theorem to decide whether ()f x is increasing or decreasing on each intervals.
二、曲线的凹凸性与拐点 （Concavity and Inflection Point ）
定义 设()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有
()()121222f x f x x x f ++??
< ?
??
， 那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
()()121222f x f x x x f ++??>
???
， 那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
Definition Let ()f x be continuous on the interval I .For any two points 1x and 2x in interval I , if
()()121222f x f x x x f ++??
< ?
??
, we say that ()f x (as well as its graph) is concave up on I ; if
()()121222f x f x x x f ++??
> ?
??
we say that ()f x (as well as its graph) is concave down on I .
定理2 凹凸性定理（Concavity Theorem ）
如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的； （2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的. Let ()f x be twice differentiable on the open interval (),a b . Then (1) If ()0f x ''> for all x in (),a b , then ()f x is concave up on (),a b ; (2) If ()0f x ''< for all x in (),a b , then ()f x is concave down on (),a b . 拐点 (Points of inflection)
设()y f x =在区间I 上连续,0x 是I 的内点.称()()00,x f x 是曲线()y f x =的一个拐 点,如果()f x 在0x 点的一侧是凹的,而在0x 的另一侧是凸的.
Let ()f x be continuous at 0x . We call ()()00,x f x an inflection point of the graph of ()f x if ()f x is concave up on one side of 0x and concave down on the other side.
3.5 函数的极值与最大最小值 (Extrema, Maxima and minima of functions)
一、函数极值及其求法 (Extrema and the Guidelines for Finding Extrema) 定义 极值 (Definition of Extrema)
设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内的任一点x ,有
()()0f x f x <(或()()0f x f x >)
那么称()0f x 是函数()f x 的一个极大值(或极小值)。函数的极大值和极小值统称为极值。
Let ()f x be defined on ()0U x which contains the point 0x .
(1) ()0f x is the maximum of ()f x if ()()0f x f x > for all x in ()0
0U x ;
(2) ()0f x is the minimum of ()f x if ()()0f x f x < for all x in ()0
0U x ;
The minimum and maximum of a function on an interval are called the extreme values, or extrema, of the function on the interval.
定理1 （必要条件） 设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么()0f x '=。
Theorem 1 (Necessary Condition) If ()f x is differentiable at 0x , and 0()f x is a local
extreme value of ()f x , then ()0f x '=. 定理 2 （第一充分条件） （The first Sufficient Condition ）
设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域()0
0,U x δ内可导，
（1） 若()00,x x x δ∈-时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；
（2） 若()00,x x x δ∈-时，()0f x '<，而()00,x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；
（3） 若()0
0,x U x δ∈时，()f x '的符号不变，则()0f x 不是极值。 Let ()f x be continuous on an open interval ()00,x x δδ-+ that contains a critical
point 0x ；
（1） If ()0f x '> for all x in ()00,x x δ- and ()0f x '< for all x in
()00,x x δ+, then ()0f x is a local maximum value of ()f x ;
（2） If ()0f x '< for all x in ()00,x x δ- and ()0f x '> for all x in
()00,x x δ+, then ()0f x is a local minimum value of ()f x ;
（3） If ()f x ' has the same sign on both sides of 0x , then ()0f x is not a local extreme value of ()f x ;
寻找闭区间上函数极值的办法（ Guidelines For Finding Extrema on a Closed interval ）
如果函数()f x 在[],a b 上连续，可按下列步骤求()f x 在该区间内的极值点和相应的
极值：
（1） 求出导数()f x '；
（2） 求出()f x 的全部驻点和不可导点；
（3） 考察()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左、右临近的情形，以确定该点是
否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
（4） 求出每个极值点的函数值，就得到函数()f x 的全部极值。
To find the extrema of a continuous function ()f x on a closed interval [],a b , we suggest the following steps:
（1）Find the critical numbers of ()f x ;
（2）Evaluate ()f x at each critical number in (),a b ; （3）Evaluate ()f x at each end point of [],a b ;
（4）The least of these values is the minimum, and the greatest is the maximum. 定理3 （第二充分条件）（The Second Sufficient Condition ） 设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且()()000,0f x f x '''=≠，那么 （1）当()00f x ''<时，那么()f x 在0x 处取得极大值； （2）当()00f x ''>时，那么()f x 在0x 处取得极小值。
Let ()f x be twice differentiable at 0x and ()()000,0f x f x '''=≠, then (1) If ()00f x ''<,()0f x is a local maximum value of ()f x ; (2) If ()00f x ''>,()0f x is a local minimum value of ()f x . 二、最大最小值问题（Max-Min Problems ）
求函数()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的方法：
步骤 1 画出问题的图形，并用合适的变量来刻画其中主要的量； 步骤 2 设要对量()Q x 求极值，用上面所给出的变量对()Q x 公式化；
步骤 3 利用题目的条件消去其他变量，将()Q x 表示成单个变量的函数，比如()Q x ； 步骤 4 求出x 的所有可能的值，通常是一个区间(),a b ；
步骤 5 寻找()Q x 在(),a b 内的所有临界点（端点，驻点和奇异点）。通常，主要的临
界点是驻点，即，使得
0dQ
dx
=的点；
步骤 6 计算()Q x 在所有临界点的取值，利用本章的定理去判断哪个临界点是最大值 （或最小值）。
A Summary of the Method in Max-min Problems
Step 1 Draw a picture for the problem and assign appropriate variables to the key quantities; Step 2 Write a formula for the quantity ()Q x to be maximized (minimized) in terms of those variables;
Step 3 Use the condition of the problem to eliminate all but one of these variables, and thereby express ()Q x as a function of a single variable, such as ()Q x ;
Step 4 Determine the set of possible values for x , usually an interval (),a b ;
Step 5 Find the critical points (end points, stationary points, singular points) of ()Q x in
(),a b . Frequently, the key critical points are the stationary points where 0dQ dx =;
Step 6 Compute the value of ()Q x at the critical points, and use the theory of this chapter
to decide which critical point gives the maximum (minimum).
3.6 函数图形的描绘(Graphing Functions)
函数图形描绘的方法(Method of Graphing Functions) 步骤 1 预分析 (a) 判定函数的定义域和值域，去掉平面区域中不在其中的点；
(b) 验证函数是否关于y 轴或原点对称（即函数是否为奇函数或偶函数）； (c) 求出截距；
步骤2 微积分学的分析
（a ） 利用函数的一阶导数找出图形的临界点，判断图形的增减性； （b ） 判断哪些临界点是最大值点或最小值点；
（c ） 找出函数的二阶导数判断函数图形的凹凸性，找出拐点； （d ） 找出函数的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势； 步骤 3 绘出一些点（包括所有的临界点和拐点）； 步骤 4 勾画出图形。 Step 1 Precalculus analysis
(a) Check the domain and range of the function to see if any regions of the plane are
excluded; (b) Test for symmetry with respect to the y -axis and the origin (Is the function even or odd?); (c) Find the intercepts.
Step 2 Calculus analysis
(a) Use the first derivative to find the critical points and to find out where the graph is increasing and decreasing.
(b) Test the critical points for local maxima and minima.
(c) Use the second derivative to find out where the graph is concave upward and concave downward and to locate inflection points.
(d) Find the asymptotes.
Step 3 Plot a few points (including all critical points and inflection points). Step 4 Sketch the graph.
3.7 曲率(Curvature)
一、弧微分（Arc Differential ）
设函数()f x 在区间(),a b 内具有连续导数，且曲线()y f x =上点()(),x f x 的弧长为 ()s x
，则弧长的微分是ds =
。
Let ()f x have continuous derivative on the open interval (),a b , and ()s x is the
function of arc length at point ()(),x f x , then
ds =
,
Which is called the arc differential of the curve.
二、曲率及其计算公式(Curvature and its Computation Formula)
曲率(Curvature)
设曲线C （平面曲线或空间曲线）是光滑的，在曲线C 上选定一点0M 作为度量弧s 的
基点。设曲线上点(),M x y 对应弧s ，在M 点处切线的倾角为α，曲线上另外一点M '对
应弧s s + ，在点M '处切线的倾角为αα+ ，则弧段M M '的平均曲率为K s
α= ，而曲
线C 在点M 处的曲率为0
lim
s K s
α→= 。
Let C be a smooth curve (in plane or in space). α is the angle between the tangent line of C at point M and x -axis, and αα+ is the angle between the tangent line of C at point M 'and x -axis. The arc length from M to M ' is s . Then the average curvature of M M '
is K s
α= , and the curvature of the curve C at M is 0
lim
s K s
α→=
.
设平面曲线的参数方程为()()
x t y t ?ψ=???
=??，则曲率K 为
()()()()()()3
2
2
2
t t t t K t t ?ψ?ψ?ψ''''''-=
''??+?
?
Consider a plane curve with parametric equation ()
()
x t y t ?ψ=???=??. Then the curvature K is
given by
()()()()()()3
2
2
2
t t t t K t t ?ψ?ψ?ψ''''''-=
'
'??+?
?
三、曲率圆和曲率半径（Circle of Curvature and the Radius of Curvature ）
设曲线()y f x =在点(),M x y 处的曲率为K
()0K ≠。在点M 处的曲线的法线上，
在凹的一侧取一点D ，使得1D M K
ρ==，以D 为圆心，半径为ρ的圆叫做曲线在点M
处的曲率圆，曲率圆的圆心D 叫做曲线在点M 处的曲率中心，曲率圆的半径ρ叫做曲线在点M 处的曲率半径。
Let (),M x y be a point on a curve ()y f x = where the curvature 0K ≠. Consider the
circle that is tangent to the curve at M and has the same curvature there. Its center will lie on
the concave side of the curve. This circle is called the circle of curvature (or osculating circle). Its radius 1K
ρ=
is the radius of curvature, and its center is the center of curvature.
四、曲率中心的计算公式，渐屈线与渐伸线（Computation Formula of the center of Curvature, Evolute and Involute ）
设已知曲线的方程是()y f x =，且其二阶导数在点x 不为0，则曲线在对应点()
,M x y 的曲率中心(),D αβ的坐标为
()2
2
11y y x y y y y αβ?''+?=-''
??
'+?
=+?''?
Consider the plane curve with equation ()y f x =, and ()0y x ''≠. Let (),M x y be the
center of Curvature at (),M x y . Then
()22
11y y x y y y y αβ?''+?=-''
??
'+?
=+?''?
当点()(),x f x 沿曲线C 移动时，相应的曲率中心D 的轨迹曲线G 称为曲线C 的渐屈
线，而曲线C 称为曲线G 的渐伸线。
Denote the center of Curvature at ()(),x f x by D . When the point ()(),x f x moves
along the plane curve C , the trace curve of the point D is called the evolute of the curve C , denoted by G , and C is called the involute of the curve G .
3.8 方程的近似解（Solving Equation Numerically ）
一、二分法（Bisection Method ）
二、切线法（T angent Line Method ）
微分中值定理与导数 的应用
第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ）
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是
第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6． 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理 如()x f 满足： （1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==， 证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。 证： 设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。 解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理
存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη， 亦即()()0f f /=η+η 例 习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理 如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续， 则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。 推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减） 例 对任意满足1x <的x ， 都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例 设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明 作业：见各章节课后习题。
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．
第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0
根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条
第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<
(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；
第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x
2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；
(C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( )
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件 （2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故． ４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使 证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、 ８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (） 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则 １. 填空题 (１) (２)０ （3）= (4)１ 2.选择题 第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 第三章 微分中值定理及其应用 3.1 中值定理 3.1.1 费马引理 设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。 备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。 3.1.2 罗尔定理 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至 少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。 （1）罗尔定理的三个条件缺一不可。 （2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。 （3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。 例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。 例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ， 0)()('' b f a f 。证明： （1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf （2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。 例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i n n ,2,1,,01 2)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2 ,0(π内至少有一个实根。 第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),() ()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x , 第三章 微分中值定理与导数的应用 §1 微 分 中 值 定 理 一、 罗尔定理 1. 费马定理:设f (x )在U (x 0)内有定义,且在x 0处可导,若?x 0∈U (x 0),有 f (x )≤f (x 0)[或f (x )≥f (x 0)], 则 f ′(x 0)=0. 证明:不妨设x ∈U (x 0)时,有f (x )≤f (x 0).则对x 0+?x ∈U (x 0),有 f (x 0+?x )≤f (x 0) 即 当?x >0时, x x f x x f ?-?+)()(00≤0; 当?x <0时, x x f x x f ?-?+) ()(00≥0; 从而: f ′(x 0)= f ′+(x 0)=+ →?0 lim x x x f x x f ?-?+) ()(00≤0; f ′(x 0)= f ′-(x 0)=+ -→?0 lim x x x f x x f ?-?+) ()(00≥0; 于是 f ′(x 0)= 0 定义:称满足f ′(x )=0的点为驻点(或稳定点,或临界点). 2. 罗尔定理:如果函数y =f (x )满足： 1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b ) 3) f (a )=f (b ) 那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξm .由于f (a )=f (b ),所以M 和m 中至少有一个不等于f (x )在[a ,b ]上的 函数值.不妨设:M ≠f (a ).则在(a ,b )内必有ξ使得f (ξ)=M . 即?x ∈[a ,b],有f (x )≤f (ξ). 有费马定理得: f ′(ξ)=0. 例1. 验证罗尔定理对函数y =lnsin x 在区间[π/6,5π/6]上的正确性. 证明:显然函数在区间[π/6,5π/6]上连续,在(π/6,5π/6)上可导,且有:微分中值定理与导数的应用练习题
第三章中值定理与导数的应用答案
微分中值定理与导数的应用习题
第四章.中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理及其应用
3第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答
《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
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