第三章 微分中值定理与导数的应用答案
§3.1 微分中值定理
1． 填空题
（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值
定理结论成立的ξ是ππ
-4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．
2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件
（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
A . x
e x
f =)( B. ||)(x x f = C. 2
1)(x x f -= D.
⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0
,00 ,1sin )(x x x
x x f
（３）若)(x f 在),(b a 内可导，且2
1
x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．
A ． ),()()()()(2
112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ
B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12
,x x 之间 C ． 2
11221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 2
11212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ
3．证明恒等式：)(2
cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011
11)(2
2
=+-
+='x
x
x f ，
所以)(x f 为一常数．
设c x f =)(，又因为(1)2
f π=， 故 )
(2
cot arctan ∞<<-∞=
+x x arc x π
．
4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(3
2
1
x f x f x f ==，其中1
2
a x x << 3
x b <<，证明:在),(3
1x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．
证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(2
1x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(2
11x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[2
1ξξ上
符合罗尔定理的条件，故有),(3
1x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．
5． 证明方程06213
2=+++x x x 有且仅有一个实根．
证明：设
621)(3
2x x x x f +
++=， 则03
1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得
0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,2
1
+∞-∞∈x x ，且2
1
x x <，使0)()(2
1
==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(2
1
x x ∈η使0)(='ηf ，
即02112=++ηη，这与02
1
12
>++ηη矛盾．故方程06213
2
=+++x x x 只有一个实根．
6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<>
7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使
()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-
证明： 只需令2
)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式
（１）当π<x
cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'
()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即
0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<因此， 当π<x
cos sin >． （２）当
>>b a 时，b
b
a b a a b a -<
<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉
格朗日中值定理得条件，有
'
()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<
因为'
1()f x x
=，所以1
ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以1
11
a b
ξ<<，从而 b
b
a b a a b a -<<-ln ．
