微分中值定理

微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。

微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。

拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。

具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。

也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。

高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。

高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。

也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。

微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。

证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。

微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。

它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。

此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。

在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。

微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。

其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。

一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。

希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。

意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。

1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。

费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。

当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。

2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。

这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。

现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。

微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。

（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。

（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。

（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。

3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。

微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下存在某个点，该点的导数与函数在两个端点的斜率相等。

本文将介绍微分中值定理的三种形式，以及它们的应用和证明过程。

一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一种形式，它表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)上至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

拉格朗日中值定理的证明依赖于罗尔中值定理。

首先，由于函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在[a, b]上一定存在最大值M和最小值m。

若M=m，则f(x)是一个常数函数，此时拉格朗日中值定理显然成立。

若M≠m，则根据罗尔中值定理，存在某个点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。

于是，可以将区间[a, b]分成两个子区间：[a, ξ]和[ξ, b]。

在两个子区间上分别应用拉格朗日中值定理，可得：f(ξ) - f(a) = f'(c1)(ξ - a)， f(b) - f(ξ) = f'(c2)(b - ξ)其中，c1∈(a, ξ)，c2∈(ξ, b)。

因此，通过简单的变形，我们可以得到f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a, b)。

证明完毕。

拉格朗日中值定理的经典应用是利用导数来研究函数的增减性和极值问题。

通过该定理，我们可以找出函数在某一区间上的极值点，并且可以了解函数在该区间上的增减性。

二、柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的另一种形式，它用于描述两个函数在给定区间内的导数之间的关系。

柯西中值定理的表述为：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)≠0，则在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)。

罗尔定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导；
(3)在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()'0f ξ=. 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导； 那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使等式
()()()()f b f a f b a ξ-=- 成立.
柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导；
(3)对任一(),x a b ∈，()'0F x ≠， 那么在(),a b 内至少有一点ξ使等式
()()()()()()''f b f a f F b F a F ξξ-=- 成立
泰勒(Taylor)中值定理：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内具有直到()1n +阶导数，则对任一(),x a b ∈，有 ()()()()()()()()()()20000000'''2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+
-+-++-+ ， 其中
()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=-+， 这里ξ是0x 与x 之间的某个值.。

第一节 微分中值定理一、罗尔(Roll)定理1．费马引理： 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有)()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥），那么0)(0/=x f 。

2．罗尔定理：如果函数)(x f y =满足：（1） 闭区间[]b a ,上连续，（2） 在()b a ,内可导，（3） 且在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =。

那么在()b a ,内至少存在一点ξ（b a <<ξ），使得0)(/=ξf 。

注：罗尔定理的条件是充分条件,即如果函数)(x f y =不满足定理的任何一个条件，定理的结论可能成立，也可能不成立。

例1：试分析下列函数在各自指定区间上的性态：（1）函数x y =，区间[]2,1；（2）函数{2,121,=<≤=x x x y ，区间[]2,1 （3）函数x y =，区间[]1,1-；（4）函数Sinx y =，区间[]43,0π（5）函数Sinx y =，区间[]ππ,-；（6）函数⎩⎨⎧=<≤=4343,00,ππx x Sinx y ，区间[]43,0π；函数Sinx y =，在区间[]π,0上连续，在区间()π,0内可导，且0)()0(==πy y ，()ππξ,02∈=∃，使得()0/=ξy 。

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2：如果函数)(x f y =满足：（1） 在闭区间[]b a ,上连续，（2） 在()b a ,内可导，那么在()b a ,内至少存在一点ξ（b a <<ξ），使等式))(()()(/a b f a f b f -=-ξ成立。

注：显然，当)()(b f a f =时，)拉格朗日中值定理即为罗尔定理，故罗尔定理为拉格朗日中值定理的特殊情形。

()1,021∈=ξ，使得()0/=ξy 。

第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F 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ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . 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