微分中值定理与导数应用
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第三单元微分中值定理与导数应用
一、填空题 1、
lim xln x
x 0
。
2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增
3
、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。
4
、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间
是凸的。
5
、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是
6
、
曲线y xe 3x
的拐点坐标是 。
7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数,且 则f
X 。是f x 在a,b 上的最大值。
& y X 3 2x 1 在 内有
个零点。
1 1 9、 lim cot x(
)
。
sin x x
1
i
10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0
x xta n x
11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。
12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择
1、
函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0)
2,则lim
x 0
() (A) 不存在;(E) 0 ; (C) -1 ;
(D) -2
2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)(
f(x) x 2
x
2
(A)单调增凹的;(E)单调减凹的;
(A)不可导; (B)可导,且f'(0) 0 ;
(C)单调增凸的;
(D)单调减凸的
3、f(x)在(a,b)内连续,X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0,则 f (x)在 x x 。处
( )
(A)取得极大值; (E)取得极小值;
(C) 一定有拐点(x o ,f(x 。)); (D)可能取得极值,也可能有
拐点。
4、设f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f
(x) f (a)之间关系是(
)
(A)无实根;
(B)有唯一实根; (C)
有两个实根; (D)有三个
实根。
7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续,且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx
则在点x 0处f(x)(
)
(A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件;
(C) I 是H 的充分必要条件; 也不是必要条件。
5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时,则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a); (C)他他;
g(x) g(a)
6、 方程x 3
3x 1 0在区间(, (B)
I 是H 的必要但非充
(D) I 不是H 的充分条件,
f (x)g(x)
0,且 f (x)g(x) f(x)g (x),
)
(B) f(x)g(x) f (b)g(b);
(D)喪起。
f(x) f(a)
)内(
)
(C)取得极大值; (D)取得极小值
8、设f(x)有二阶连续导数,且f'(0) 0,佃匸凶1,则( )
x 0 | x |
(A) f(0)是f(x)的极大值;(E) f(0)是f(x)的极小值;
(C) (0, f (0))是曲线y f(x)的拐点;(D) f(0)不是f(x)的极
值点。
9、设a,b为方程f (x) 0的二根,f (x)在[a,b]上连续,在(a, b)内可导,
则f'(x)在(a,b)内( )
(A)只有一实根;(B)至少有一实根;(C)没有实根;(D)
至少有2个实根。
10、在区间[1,1]上满足罗尔定理条件的函数是( )
1
(A) f (x) -2 ;(B) f (x) | x | ;
x
(C) f(x) 1 x2;(D) f (x) x2 2x 1。
11、函数f(x)在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f'(x) 0是函数f(x)在
(a,b)内单调增加的()
(A)必要但非充分条件;(B)充分但非必要条件;
(C)充分必要条件;(C)无关条件。
12、设y f (x)是满足微分方程y" y' e sinx0 的解,且f'(x。) 0 ,则f(x)
在()
(A) X。的某个邻域单调增加;(B) x°的某个邻域单调减少;
(C)冷处取得极小值;(D) X。处取得极大值。
三、计算解答
(A)不可导; (B)可导,且f'(0) 0 ;
x);
证:在(0,1)内至少存在一个 ,使F"'( ) 0。
1、计算下列极限
2、证明以下不等式
等价无穷小。
(1) lim x 1
. x 1
.arccosx ln cot x .
lim x 0
ln x
x sin x
e e
lim x 0 x 2
ln(1 x) lim 丄 $ln(1 x 0
x x (5) x arcta n x
x m 0旷
(6)
ln tan(ax) lim x 0
ln tan(bx)
(1)、设b a e ,证明 a b
⑵、当
0 x
勺时’有不等式
tanx 2sinx
3、已知y x 3sinx ,利用泰勒公式求y (6)(0) 3x 。
4、试确定常数a 与n 的一组数,使得当x
0 时,ax n 与 ln(1 x 3) x
5、设f (x)在a,b 上可导,试证存在
(a
b),使