函数三要素典型例题(教案用题)

第一讲 函数的概念及三要素

1．函数与映射

函数 映射

两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合

对应法则f：A→B 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应

名称 称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

考向一 函数、映射的判断

【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 【套路秘籍】---千里之行始于足下

（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )

A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x

C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x

【答案】（1）B （2）C

【解析】（1）A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].

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§函数题型方法总结

第一部分：必考内容与要求

函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）

（1）函数

①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

③了解简单的分段函数，并能简单应用.

④理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.

（2）指数函数

①了解指数函数模型的实际背景.

②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.

④知道指数函数是一类重要的函数模型.

（3）对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了

解对数在简化运算中的作用.

②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.

③知道对数函数是一类重要的函数模型；

④了解指数函数与对数函数互为反函数（）.

（4）幂函数

①了解幂函数的概念.

②结合函数的图像，了解它们的变化情况.

（5）函数与方程

①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的

个数.

②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.

（6）函数模型及其应用

①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函

数类型增长的含义.

②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型）的广泛应用.

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第二部分：题型方法总结

题型一：函数求值问题

★（1）分段函数求值→“分段归类”

例1．（2010湖北）已知函数3log,0

()

2,0xxx

fx

x，则1

(())

9ff( )

A.4 B. 1

4C.-4 D-1

《函数的概念及其表示》教案

第一课时： 函数的概念（一）

教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量变量之间有什么关系

.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，此时是的函数，是自变量，是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.

;

二、讲授新课：

.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

.一枚炮弹发射，经秒后落地击中目标，射高为米，且炮弹距地面高度（米）与时间（秒）的变化规律是21305htt.

.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书页图）

.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书页表）

②讨论：以上三个实例存在哪些变量变量的变化范围分别是什么两个变量之间存在着这样的对应关系 三个实例有什么共同点

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都与唯一确定的和它对应，记作：:fAB

》

③定义：设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么称:fAB为从集合到集合的一个函数（），记作：(),yfxxA.

其中，叫自变量，的取值范围叫作定义域（），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域（）.

1

教学内容概要

高中数学备课组 教师： 年级：高三 学生：

日期 上课时间

主课题：函数的概念、定义域、值域的求法

教学目标：

1、掌握函数的概念；

2、掌握函数定义域、值域及最值的求法；

3、掌握解析式的求解方法；

教学重点：

1、函数三要素；

2、定义域、值域的求法以及函数解析式的求解方法；

教学难点：

1、抽象函数定义域的求法；

2、函数值域及最值的求法；

3、函数解析式的求解；

家庭作业

1、完成拓展内容

2、复习知识点

2

教学内容

【知识精讲】

一、函数的概念

1、函数的定义：设AB、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数。记作：,yfxxA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxxA叫做函数的值域。

2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；

当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。

3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法

当图像满足和,xaaR的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。

分段函数：

在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。

4、函数的运算：

对于两个函数1Dxxfy，2Dxxgy，设21DDD

把函数Dxxgxf叫做函数1Dxxfy与2Dxxgy的和函数

把函数Dxxgxf叫做函数1Dxxfy与2Dxxgy的积函数

6、复合函数：

对于两个函数1Dxxfy，2Dxxgy，若满足1Dxg的x的取值范围为E，设2DED，把函数xgfy叫做函数1Dxxfy，2Dxxgy的复合函数，x是复合函数xgfy的自变量，定义域为D，xg叫做内函数，xf叫做外函数。