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●备课资料在近几年的高考题中，我们发现考查函数思想方法的题目较多，选用的题目经常源自生产、生活的实际，也经常用到函数的知识、方法及思想，这就要我们在对函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，强化函数的应用意识.1.对函数知识、方法及思想的应用［例1］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t 的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t ）＝－31t +3109（t ∈N *，0＜t ≤100)，在前40天内价格为f （t ）＝41t ＋22（t∈N *，0≤t ≤40），在后60天内价格为f （t ）＝－21t ＋52（t ∈N *，40＜t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式.解：前40天内日销售额为：S ＝（41t ＋22）（－31t ＋3109） ＝－121t 2＋47t ＋77931 ∴S ＝－121（t －10.5）2＋4837849 后60天内日销售额为：S ＝（－21t ＋52）（－31t ＋3109） ＝61t 2－6213t ＋35668 ∴S ＝61（t －106.5）2－2425 ∴得函数关系式S ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧N ∈≤<--N ∈≤<+--*)10040(2425)5.106(61*)400(4837849)5.10(12122t t t t t t 且且 由上式可知：对于0＜t ≤40且t ∈N *，有当t ＝10或11时，S max ≈809对于40＜t ≤100且t ∈N *，有当t ＝41时，S max ＝714.综上所述得：当t ＝10或11时，S max ≈809答：第10天或11天日售额最大值为809元［例2］某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg ，时间单位：天)(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f （t ）＝⎩⎨⎧≤≤-≤≤-)300200(,3002)2000(,300t t t t 由图二可得种植成本间接函数关系式为g （t ）＝2001（t －150）2＋100，（0≤t ≤300） (2)设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－ｇ（t ）即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-)300200(,21025722001)2000(,217521200122t t t t t t 当0≤t ≤200时，得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100 ∴当t ＝50时，h (t )取得在t ∈[0，200]上的最大值100； 当200＜t ≤300时，得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100 ∴当t ＝300时，h （t ）取得在t ∈（200，300]上的最大值87.5 综上所述由100＞87.5可知，h (t )在t ∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.二、“应用数学”的能力训练季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P 与周次t 之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q ＝－0.125（t －8）2＋12，t ∈[0，16]，t ∈N *.试问该服装第几周每件销售利润L 最大?解：(1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ ,240*]10,5[,20*[0,5) , 210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q 。
第二章函数高考导航知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f (x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f (x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f (x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f (x)＝x2－x ＋1. (2)由f (x)＋2f (－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f (－x)＋2 f (x)＝3x2－5x ＋3，解得f (x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f (x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f (x x +-11)＝2211x x +-，求f (x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f (t)＝22)11(1)11(1t t tt +-++--＝212t t +， 所以f (x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3).(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l. 即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( )【解析】由题意得y ＝10x (2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0. 所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C. 总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
人教版函数知识点总结一、函数的定义1.1 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量映射到唯一的因变量上。
在数学中，我们通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
1.2 函数的符号表示在函数的定义中，我们通常通过符号来表示函数。
例如，y=f(x)、y=g(x)等。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
在函数的图像中，定义域通常对应横坐标的取值范围，值域对应纵坐标的取值范围。
1.4 函数的判定确定一个关系是否为函数，可以通过水平线测试或者垂直线测试来进行判断。
如果任意一条垂直线只与图像相交一次，则该关系是函数。
1.5 函数的表示方法函数可以通过一张表格、一条曲线、一个公式等方式进行表示。
在实际应用中，我们通常通过表格、曲线等方式来描述函数的性质和特点。
二、函数的性质2.1 奇函数与偶函数奇函数指的是满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数指的是满足f(-x)=f(x)的函数。
奇函数通常以原点对称，偶函数通常以y轴对称。
2.2 单调递增与单调递减单调递增指的是当自变量增大时，因变量也随之增大；单调递减指的是当自变量增大时，因变量却减小。
单调递增函数通常在定义域内是一个递增的曲线，单调递减函数则是一个递减的曲线。
2.3 周期函数周期函数指的是具有周期性的函数，它在一个周期内重复自身。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2.4 反函数函数f(x)的反函数通常表示为f^(-1)(x)，它满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的性质。
反函数是原函数的镜像，它的定义域和值域与原函数互换。
三、函数的图像3.1 直角坐标系中的函数图像在直角坐标系中，函数的图像通常用曲线来表示。
曲线的形状与函数的性质密切相关，通过观察曲线的变化可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
3.2 参数方程中的函数图像在参数方程中，函数的图像通常用参数的取值来表示。
高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作函数及其表示方法【学习目标】(1) 会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f:A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 .记作： y=f(x)，x A．其中， x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x A} 叫做函数的值域.要点诠释：（ 1）A、 B 集合的非空性；（ 2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等( 或为同一函数 ) ；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1) 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2) 无穷区间；(3) 区间的数轴表示．区间表示：{ x | a x b} ( a, b);{x|a≤ x≤ b}=[a，b]；{ x | a x b}a,b ；{ x | a x b}a, b ；{ x | x b}- ,b ;{ x | a x}a,.要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1. 映射定义：设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f ，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f ：A→ B.象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象 .要点诠释：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2. 如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象. 对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3. 函数与映射的区别与联系：设 A、B 是两个非空数集，若 f ： A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的函数，记为 y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合 =定义域，值域 =象集合 .4. 函数定义域的求法(1) 当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合. 具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件 .(2) 当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示 .5. 函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点” 和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域 .求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等 . 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例 1：下列式子是否能确定y 是x的函数？（ 1）x2 y2 2;（ 2）x 1 y 1 1;（ 3）y x 2 1 x .【答案】（ 1）不能（2）能（3）不能【解析】（1）由x2 y2 2, 得 y 2 x2 ，因此由它不能确定y 是x的函数，如当 x 1 时，由它所确定的y 值有两个，即 y= 1 .（ 2）由x 1 y 1 1, 得 y (1 x 1) 2 1 ，当 x 在 x | x 1 中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x的函数 .（ 3）由x 2 0,得 x ，1 x 0故由它不能确定y 是x的函数 .【总结升华】判断由一个式子是否能确定y 是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x 的取值的集合中任意一个x 的值，由式子是否可确定唯一的一个y 的值与之对应，也可以看由式子解出的x 的解析式是否唯一. 也就是“取元的任意性，取值的唯一性” . 即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值 .【高清课程：函数的概念与定义域356673 例 2】例 2．下列函数 f （ x）与 g（ x）是否表示同一个函数，为什么？（ 1）f (x) ( x 1)0； g( x) 1（ 2）f (x) x ；g( x) x 2（ 3）f (x) x 2； g(x ) (x 1)2（ 4）f ( x) | x | ；g(x ) x 2【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】（ 1）不是（ 2）不是（ 3）不是（ 4）是【解析】(1) f ( x)与 g( x) 的定义域不同，前者是x | x 1, x R ，后者是x | x 0, x R ，因此是不同的函数；(2) g (x)| x |，因此 f (x)与 g( x) 的对应关系不同，是不同的函数；(3) f ( x)与 g( x) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) f ( x)与 g( x) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.系的本质特征. 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 .举一反三：【变式 1】判断下列命题的真假x 2 1(1)y=x-1 与y 是同一函数；x 1(2)y x 2与y=|x|是同一函数；(3) y (3 x ) 3与 y ( x ) 2 是同一函数；(4) f (x ) x 2 x (x 0)2 -|x| 是同一函数 . x 2 x(x与 g(x)=x0)【答案】 (1) 、 (3) 是假命题，(2) 、 (4) 是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1) 、 (3) 是假命题， (2) 、 (4) 是真命题 . 类型二、函数定义域的求法例 3. 求下列函数的定义域( 用区间表示 ).(1) f (x) x -1(2) f ( x) 3x -8 ；(3) f ( x) 2 - x1.；x 6 x2 -3【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1) 是分式，只要分母不为0 即可； (2) 是二次根式，需根式有意义；(3) 只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（ 1）( , 3) ( 3, 3) ( 3, )（2）8, （ 3）6,23【解析】(1) f ( x) x 1的定义域为 x2-3 ≠ 0，x 3，定义域为：( , 3) ( 3, 3) (3, )；x2 3(2) f ( x) 3x -8，由 3x -8 0得， x 8 , 定义域为8 , ；3 3(3) f ( x) 2 x 1 2 x 0 x 2定义域为6,2. x 6，由6得x -6x 0【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负. 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1) f (x) 3 ；(2) f (x) 1 x 3 ；（3） f ( x) 1 x x .| x 1| x 12【解析】(1) 当 |x-1|-2=0 ，即 x=-1 或 x=3 时， 3 无意义，当 |x-1|-2 ≠0，即 x≠ -1 且 x≠ 3 时，分式有意义，1| 2| x所以函数的定义域是(- ∞， -1) ∪ (-1 ，3) ∪ (3 ，+∞ ) ；(2)要使函数有意义，须使(3)要使函数有意义，须使x 1 0x且13,1 (1, ) ；，即，所以函数的定义域是x 3 0 3 x1 x 0,x 0. ，所以函数的定义域为 0,1 .【总结升华】小结几类函数的定义域：(1) 如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果 f(x) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果 f(x) 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4) 如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；( 即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义 .类型三、求函数的值及值域例 4. 已知 f(x)=2x 2-3x-25 ， g(x)=2x-5 ，求：(1)f(2) ，g(2) ；(2)f(g(2)) ， g(f(2)) ；(3)f(g(x)) ， g(f(x))【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2)) 表示的是函数f(x) 在 x=g(2) 处的函数值，其它同理可得．【答案】（ 1） -23 ，-1 ；（ 2） -20 ， -51 ；（ 3）2 2．8x -46x+40 ， 4x -6x-55【解析】(1)f(2)=2 × 22-3 × 2-25=-23 ； g(2)=2 × 2-5=-1 ；(2)f(g(2))=f(-1)=2 × (-1) 2-3 × (-1)-25=-20 ；g(f(2))=g(-23)=2 × (-23)-5=-51 ；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2 × (2x-5) 2-3 ×(2x-5)-25=8x 2-46x+40 ；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2 × (2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)( 这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如 f(g(x)) ，里层函数就是g(x) ，外层函数就是 f(x) ，其对应关系可以理解为x g g( x) f f ( g( x)) ，类似的g(f(x)) 为 x f f ( x) g g( f ( x)) ，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4 ，①x；②x2 ,；4 , 1 3(2)f ( x) x2 - 2x 3; (3) f (x) x - 2 .x 3【答案】（1） [7 ，28] [3 ，12] ；（ 2）2, ；（3）(- ∞， 1) ∪(1 ，+∞) ．【解析】(1)法一：配方法求值域．y x22x 4 ( x 1)2 3 ，①当x4, 1 时，y max28, y min7 ，∴值域为[7，28]；②当x2,3 时， y max12, y min 3 ，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为x 1 ，所以函数在区间,1 上单调递减，在区间1, 上单调递增．所以①当x4, 1 时，值域为[7，28]；②当 x2,3 时，值域为[3，12]．(2) y x2 - 2 x 3 ( x -1)2 2 2, 值域为2,；(3) y x - 2 x 3 - 5 1- 5 , 5 0, y 1 ，∴函数的值域为(- ∞， 1) ∪ (1 ，+∞ ).x 3 x 3 x 3 x 3【总结升华】（ 1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．举一反三：【变式 1】求下列函数的值域：（ 1）y x 1；（2）y 2x 1；（ 3）y1 x2 ；（ 4）y 5 4x x2 ．x3 1 x2【答案】（1）1, ；（ 2）y | y 2 ；（ 3）1,1 ；（4） 0,3 ．【解析】（1）x 0, x 1 1，即所求函数的值域为1, ；（ 2）y 2x 1 2x 6 7 2(x 3) 727，70 ， y 2 ，即函数的值域为y | y 2 ；x 3 x 3 x 3 x 3 x 31 x212（ 3）yx2 x21 1函数的定义域为Rx2 1 1, 0 2 2， 1 1 2 1 ，y 1,1 ，即函数的值域为1,1 ．1 x2 1 x2（ 4）y 5 4 x x2 ( x 2)2 90 (x 2)2 9 9所求函数的值域为0,3 ．类型四、映射与函数【高清课程：函数的概念与定义域例 1】例 6. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？应．（ 2） A={平面内的三角形 } ， B={平面内的圆 } ，对应法则是：作三角形的外接圆；（ 3） A=N ， B={0， 1} ，对应法则是：除以 2 的余数；（ 4） A={0 ， 1，2} ， B={4， 1， 0} ，对应法则是 f ： x y x 2 （ 5） A={0 ， 1，2} ， B={0， 1， 1 } ，对应法则是 f ：x1 y2x【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．【解析】(1) 是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2) 是映射，集合 A 中的任意一个元素 ( 三角形 ) ，在集合 B 中都有唯一的元素 ( 该三角形的外接圆 ) 与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3) 是映射，也是函数，函数解析式为f ( x)0,( x 2n)．1,(x 2n1)（ 4）是映射，也是函数．（ 5）对于集合 A 中的元素“ 0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．【总结升华】 判断一个对应是不是映射和函数， 要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射， 反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．举一反三：【变式 1】下列对应哪些是从 A 到 B 的映射？是从 A 到 B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ， B={1 ，-1} ， f ：x y=(-1) x ； (2)A=N ， B=N +， f ： x y=|x-3| ； (3)A=R ， B=R ， f : xy 1 x ;(4)A=Z ， B=N ， f ： x y=|x| 1 x； (5)A=N ， B=Z ， f ： x y=|x| ； (6)A=N ， B=N ， f ： x y=|x|.【解析】 (1) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 是从 A 到 B 的映射也是从 A 到 B 的函数，但只有 (6) 是从 A 到 B 的一一映射；(2) 、 (3) 不是从 A 到 B 的映射也不是从 A 到 B 的函数 . 类型五、函数解析式的求法例 7. 求函数的解析式(1) 若 f ( x) x 2 2 x ，求 f (2 x 1) ；(2) 若 f ( x1) 2x21，求 f (x) ；(3) 已知 f ( x)2 f ( 1) 3x 2 ，求 f ( x) ．x2【答案】（ 1） f ( x) 4x 28x 3 ；（ 2） f (x) 2x 2 4x 3 ；（ 3） f (x)x2 ． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.x(1) 用代入法， f (2 x 1)(2 x 1)2 2(2 x 1) 4x 2 8x 3．(2) 法一：换元法22即： f ( x) 2x 2 4x 3 .法二：凑配法f ( x 1) 2x 2 1= 2( x 1)24( x 1) 3，所以 f (x) 2x 24x 3 ．(3)f ( x) 2 f ( 1 ) 3x 2 ①，用 1代替上式中的 x ，得 f ( 1 ) 2 f ( x)3 2 ②x f ( 1) ，得 x xx由①②联立，消去2xf ( x)x 2x22 ．故所求的函数为 f ( x)xx【总结升华】（ 1）由 yf ( x) 求 y fg ( x) ，一般使用代入法； （2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（ 3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出yf (x) 的解析式．举一反三：【变式 1】已知 f(x+1)=x 2+4x+2，求 f(x) ．【答案】 f(x)=x 2+2x-1【解析】 (1)( 法 1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1) 2+2(x+1)-1∴ f(x)=x 2+2x-1 ；( 法 2) 令 x+1=t ，∴ x=t-1 ，∴ f(t)=(t-1) 22+4(t-1)+2=t +2t-1∴ f(x)=x 2+2x-1 ；2( 法 3) 设 f(x)=ax +bx+c 则2f(x+1)=a(x+1) +b(x+1)+c ∴ a(x+1) 2+b(x+1)+c=x 2+4x+2a 1 a 12a b 4 b 2 f (x ) x 2 2x 1 ；a b c 2c1【总结升华】求函数解析式常用方法：(1) 换元法； (2) 配凑法； (3) 定义法； (4) 待定系数法等 . 注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围 .类型六、函数的图象例 8. 作出下列函数的图象 .（ 1） y1 x(x { 2， 1，0，1，2}) ；（2） y2x1；（ 3）y | x 22x | 1 ．x 1【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
函数的表示高一数学知识点函数的表示函数是数学中的一种重要概念，对于高一学生来说，理解和掌握函数的表示方法是非常关键的数学知识点之一。
本文将介绍常见的函数表示方式，包括文字描述、符号表示和图像表示。
一、文字描述法文字描述法是最基本的函数表示方式之一。
通过用自然语言来描述函数的特征和性质，可以简单明了地表达函数的规律。
例如，对于函数y = 2x + 1，我们可以用文字描述为：函数y等于2乘以x再加1。
二、符号表示法符号表示法是一种常用的函数表示方式，用数学符号和表达式来表示函数的关系。
常见的函数表示符号包括等式、不等式、代数式等等。
1. 函数等式表示函数等式表示是一种常见的函数表示方式，可用于表示函数的映射关系。
例如，函数y = 2x + 1就是一种函数等式表示。
其中，x表示自变量，y表示因变量，2x + 1表示函数的规律。
2. 函数不等式表示函数不等式表示常用于表示函数的定义域、值域以及不等式关系。
例如，对于函数y = x^2，我们可以用不等式|x| ≤ 1来表示其定义域为[-1, 1]。
3. 函数代数式表示函数代数式表示是基于代数式的表达方式，常用于表示函数的表达式和方程。
例如，函数y = ax^2 + bx + c就是一种函数代数式表示，其中a、b、c为常量。
三、图像表示法图像表示法通过绘制函数的图像来展示函数的特征和规律。
常用的图像表示方式包括直角坐标系上的函数图像、极坐标系上的函数图像等。
1. 直角坐标系上的函数图像直角坐标系上的函数图像是最常见的函数表示方式之一。
通过在平面直角坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以直观地展示函数的变化规律。
例如，对于函数y = sin(x)，我们可以在直角坐标系上绘制正弦曲线。
2. 极坐标系上的函数图像极坐标系上的函数图像常用于表示周期性函数，通过在极坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以更准确地展示函数的周期性特征。
例如，对于函数r = a + bcosθ，我们可以在极坐标系上绘制螺旋线。
《函数》全章复习与巩固【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象， 于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 2(2)(2)8, 2x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩， 32(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或32(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C D 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又2444y =+=+=+而02≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴2y ≤≤．∴M =m=2．∴2m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】（2016 上海青浦区二模）对于函数()f x ，其中b ＞0，若f （x ）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为________． 【答案】－4【解析】若a ＞0，由于20ax bx +≥，即x (ax +b )≥0， ∴对于正数b ，f （x ）的定义域为：(,][0,)b D a=-∞-+∞， 但f （x ）的值域[0,)A ⊆+∞，故D ≠A ，不合要求． 若a ＜0，对于正数b ，f （x ）的定义域为[0,]b D a=-． 由于此时max ()()2b f x f a =-=， 故函数的值域A =． 由题意，有b a -=， 由于b ＞0，所以a =－4． 故答案为：－4．例6．（2016秋 河南金水区期中）已知函数2()2f x x x a =--． （1）当a =0时，画出函数f （x ）的简图，并指出f （x ）的单调递减区间； （2）若函数f （x ）有4个零点，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）当a =0时，函数f （x ）=｜x (x －2)｜的图象如图所示，由函数的图象可得f （x ）的增区间和减区间．（2）由题意可得函数f （x ）的图象有4个零点，即函数22y x x =-的图象和直线y =a 有4个交点，结合（1）中函数的图象可得a 的范围．【答案】（1）增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）；（2）0＜a ＜1【解析】（1）当a =0时，函数2()2(2)f x x x x x =-=-的图象如图所示：由函数的图象可得f （x ）的增区间为[0，1]、[2，+∞）； 减区间为（－∞，0）、（1，2）．（2）若函数f （x ）有4个零点，则函数f （x ）的图象有4个零点， 即函数22y x x =-的图象和直线y =a 有4个交点，结合（1）中函数的图象可得0＜a ＜1．【总结升华】本题主要考查作函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想．举一反三：【变式1】直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】514a <<【解析】如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定 【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】二次函数2y ax bx c =++中，若ac ＜0，则函数的零点个数是 个．【思路点拨】有a •c ＜0，可得对应方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=->，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．【答案】2【解析】∵ ac ＜0，∴ 240b ac ∆=->，∴对应方程20ax bx c ++=有两个不等实根，故所求二次函数与x 轴有两个交点．故答案为：2【总结升华】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x 轴的交点的横坐标．根据偶函数的性质先求出a ，b ，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用例8. 已知函数2()a f x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()a f x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠，∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16．∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数．当a ＜0时，反比例函数a x 在[2，+∞）上为增函数， ∴2()a f x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x ∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+ =12121()(2)x x x x -+ 1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴< 所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用例9．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（Ⅰ）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为()f x 元()1540x ≤≤，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为()g x 元()1540x ≤≤．试求()f x 和()g x ．（Ⅱ）问：小张选择哪家比较合算？为什么？【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)甲家每张球台每小时5元；(2)乙家按月计费，有标准；(3)比较哪家更合算问题．解决本题可先分别求出两家的解析式，从中找出x 在不同的取值范围内，选择哪家的问题，建立函数模型，进而解决问题．【答案】（Ⅰ）()()51540f x x x =≤≤；()90,1530,230,3040.x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（Ⅱ）详见解析 【解析】由题意，（Ⅰ）()()51540f x x x =≤≤,()90,1530,230,3040.x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（Ⅱ）由()()f x g x =得1530,590x x ≤≤⎧⎨=⎩或3040,5230x x x <≤⎧⎨=+⎩ 即18x =或10x = (舍)．当1518x ≤<时，()()5900f x g x x -=-<,()()f x g x ∴<,即选甲家．当18x =时，()()f x g x ∴=,即选甲家和乙家都可以．当1830x ≤≤时，()()5900f x g x x -=->,()()f x g x ∴>,即选乙家．当3040x <≤时，()()()52303300f x g x x x x -=-+=->,()()f x g x ∴>,即选乙家．综上所述:当1518x ≤<时，选甲家;当18x =时，选甲家和乙家都可以；当1840x <≤时，选乙家．【总结升华】本题考查生活中的实际问题，需要建立数学模型，转化为数学问题．关键是分段进行讨论．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n =++=++250)4000c=++，=，即n=4时，y 取得最小值且y min =4000+c ． 所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。
练习主题函数的表示方法知识点一：函数的三种表示方法列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法.列表法：用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；解析法：用解析法表示函数关系，便于用解析式研究函数的性质；图象法：而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况.例1、已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f[g(1)]= ．不等式f[g(x)]＜g[f(x)]的解集是．对应练习：1、已知函数f(x)，g(x)分别由如表给出：则当f[g（x）]=2时，x= ．2、已知函数y=f(x)，部分x与f(x)的对应关系如表：则f(f(4))=（）A．-1 B．-2 C．-3 D．3例2、根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3；（2）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9；（3）已知f(x)满足f(x+1)=x 2+4x+1； （4）已知f(x)满足2f(x1)+f(x)=x （x ≠0）.对应练习：1、已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)表达式．2、已知函数f(x)满足：f(x -1)=x+2x ，求f(x)的解析式．3、已知函数f(x)满足：f(x)-2f(x1)=x ，求f(x)的解析式．知识点二：分段函数1、分段函数的概念：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫做分段函数。
例3、已知函数f(x)= ，若f(x)=5，则x的值是 .例4、已知函数f(x)= .（1）求f(f(1))的值；（2）若f(2)=2，求a的值；（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域对应练习：1、已知函数y=，若f(a)=10，则a的值是 .2、设f(x)= ，则f(5)的值为 .3、设函数f(x)= ，若f(a)＞a，则实数a的取值范围．4、已知函数f(x)=（1）求f(f((5)))的值；（2）若f(x)=4，求x的值；（3）画出f(x)的图像.巩固练习：1、设函数f(x+2)=2x+3，则f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=2x+1B ．f(x)=2x-1C ．f(x)=2x-3D ．f(x)=2x+72、列车从A 地出发直达500 km 外的B 地，途中要经过离A 地300 km 的C 地，假设列车匀速前进，5h 后从A 地到达B 地，则列车与C 地距离y （单位：km ）与行驶时间t （单位：h ）的函数图象为（ ）A. B. C. D.3、（多选）下列函数中，满足f （2x ）=2f （x ）的是（ ）A ．f(x)=∣2x ∣B ．f(x)=xC ．f(x)=xD ．f(x)=x1 4、已知函数f （x ）= 则f(f(1))=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5、已知函数f （x ）=则函数f （x ）的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数f （x ）= 使函数值为5的x 的值是（ ）A ．-2B ．2或25-C ．2或-2D ．2或-2或25- 7、已知函数f(x1+1)=2x+3，则f(2)的值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 8、函数f （x ）=的定义域为 ，值域为 .9、若函数y=f （x ）的图像如图所示，则其表达式为 .10、已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，则f(x)的解析式为 ．11、已知二次函数f(x)满足f （2x ）+f （x-1）=10x 2-7x+5，则f （f （1））= ． 12、已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x 的取值范围是 .13、若关于x 的方程x 2-2∣x ∣-3-a=0有四个实数根，则实数a 的取值范围是 ． 14、已知a ∈R ，f(x)=若f(f())=5，则a= ．15、若f(x)满足关系式f(x)+2f(x1)=3x ，则f(x)的解析式为 ． 16、已知函数F(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，F(31)=16，F(1)=8，则F(x)的解析式为 ．17、已知函数f （x ）=.（1）画出函数f （x ）的简图（不必列表）； （2）求f （f （3））的值；（3）当-4≤x ＜3时，求f （x ）取值的集合.18、已知函数f(x)=1+2-xx ∣∣（-2＜x ≤2）． （1）用分段函数的形式表示函数f(x)；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域．19、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数. 当0＜x≤4时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x＞20时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式.（2）当养殖密度x为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大?并求出最大值.20、某工厂的固定成本为4万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g(x)万元，并且销售收入满足r(x)= ，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律（总成本=固定成本+生产成本，利润=收入-成本）：（1）求利润f(x)的表达式;（2）工厂生产多少台产品时所获利润最大?最大利润是多少?。
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
人教版高中函数知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
数学上通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量能够取到的所有值的集合，而值域是函数得到的因变量的所有可能值的集合。
3. 函数的符号表示通常用f(x)和y来表示函数，其中y=f(x)。
此外，还有其他表示函数的方式，比如y=f(x), y=f(u), z=f(x,y)等。
4. 函数的图像函数的图像是函数在直角坐标系中的表示，可以通过图像的形状和特点来理解函数的性质和特点。
二、函数的性质1. 奇函数和偶函数奇函数满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数满足f(-x)=f(x)的函数。
2. 单调性当函数在定义域内的任意两点x1和x2满足x1<x2时，如果f(x1)<=f(x2)，则函数在此区间上是递增的；如果f(x1)>=f(x2)，则函数在此区间上是递减的。
3. 有界性函数在定义域内是否有上界和下界的性质。
4. 周期性如果对于任意的x，有f(x)=f(x+T)，其中T是一个正数，则称函数具有周期性，而T称为函数的周期。
三、函数的运算1. 函数的和、差、积、商两个函数的和、差、积、商分别定义如下：(f+g)(x) = f(x) + g(x)(f-g)(x) = f(x) - g(x)(f*g)(x) = f(x) * g(x)(f/g)(x) = f(x) / g(x)2. 复合函数给定两个函数f(x)和g(x)，我们可以定义它们的复合函数为h(x) = f(g(x))。
3. 函数的逆如果一个函数f(x)在定义域D上是单射的，即对于任意的x1和x2，如果f(x1)=f(x2)，则x1=x2，那么f(x)在D上就存在逆函数f^-1(x)。
四、函数的极限1. 函数在无穷远处的极限当自变量x趋于无穷大时，我们研究函数f(x)的极限：lim[f(x)] (x→∞)。
人教版高中数学知识与巩固·函数及其表示方法（基础）【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]{|},≤<=；x a x b a b{|},x a x b a b<≤=；[)(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222;x y +=（21;=（3）y =【答案】（1）不能 （2）能（3）不能【解析】（1）由222,x y +=得y =，因此由它不能确定y 是x 的函数，如当1x =时，由它所确定的y 值有两个，即y=1±.（21,得2(11y =+，∴当x 在{}|1x x ≥中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数.（3）由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ∈∅， 故由它不能确定y 是x 的函数.【总结升华】判断由一个式子是否能确定y 是x 的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x 的取值的集合中任意一个x 的值，由式子是否可确定唯一的一个y 的值与之对应，也可以看由式子解出的x 的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值.例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g =（2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g +=（4）|x |)x (f =；2x )x (g =【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是全体实数，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数；(3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则f ，其中核心是对应法则f ，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数； (2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域：（1）y =；（2）y = （3）0y = 【思路点拨】（1）要使函数y =有意义，则开偶次方根被开方数大于等于0，列出不等式组求出定义域；（2）要使函数y =0，分式的分母不等0，列出不等式组求出定义域；（3）利用x 0有意义需x ≠0，开偶次方根被开方数大于等于0，分母不为0，列出不等式组求出定义域．【答案】（1）[―8，3]；（2）{－1}；（3）（－∞，0）【解析】（1）要使函数y =有意义，则8030x x +≥⎧⎨-≥⎩ ， 解得：－8≤x ≤3．故函数的定义域为[―8，3]（2）要使函数y = 则22101010x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得：x =―1．故函数的定义域为{－1}．（3）要使函数0y = 则10||0x x x -≠⎧⎨->⎩， 解得：x ＜0．故函数的定义域为（－∞，0）．【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1)3f (x)|x 1|2=--； (2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞；(3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1. 【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2-46x+40，4x 2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x 2-46x+40；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2×(2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为()(())g f x g x f g x −−→−−→，类似的g(f(x))为()(())f gx f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；-2(2)()()3x f x f x x ==+.【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）)+∞；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．【解析】(1)法一：配方法求值域．2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．(2))22-23(-1)22,2,y x x x ⎡=+=+∴+∞⎣值域为； (3)-23-5551-,0,13333x x y y x x x x +===≠∴≠++++，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）1y x =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）254y x x =+- 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3．【解析】（1）0,11x x ≥≥，即所求函数的值域为[)1,+∞； （2）213x y x +=-2672(3)772333x x x x x -+-+===+---，703x ≠-，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠； （3）2211x y x -=+2211x =-++ 函数的定义域为R22211,021x x ∴+≥∴<≤+，221111x ∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-． （4）25(2)9y x =+=--+20(2)99x ≤--+≤∴所求函数的值域为[]0,3．类型四、映射与函数例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)x n f x x n =⎧=⎨=+⎩．（4）是映射，也是函数．（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.【变式2】（2015秋 湖南浏阳市月考）已知A ={1，2，3，k }，B ={4，7，a 4，a 2+3a }，a ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =3x +1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值．【答案】a =2，k =5【解析】若x ∈A ，y ∈B ，使B 中元素y =3x +1和A 中的元素x 对应，则当x =1时，y =4；当x =2时，y =7；当x =3时，y =10；当x =k 时，y =3k +1；又由a ∈N *，∴a 4≠10，则a 2+3a =10，a 4=3k +1解得a =2，k =5．类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．【答案】（1）2()483f x x x =++；（2）2()243f x x x =-+；（3）2()2f x x x=---． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.(1)用代入法，22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++．(2)法一：换元法令1t x =+，则1x t =-，所以22()2(1)1243f t t t t =-+=-+即：2()243f x x x =-+.法二：凑配法 2(1)21f x x +=+=22(1)4(1)3x x +-++，所以2()243f x x x =-+． (3)1()2()32f x f x x -=+ ①，用1x代替上式中的x ，得13()2()2f f x x x -=+ ② 由①②联立，消去1()f x，得 2()2f x x x=--- 故所求的函数为2()2f x x x =---． 【总结升华】（1）由()y f x =求[]()y f g x =，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出()y f x =的解析式．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x 2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+21x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；【总结升华】求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+． 【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
