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函数及其表示教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题如何判定两个函数是否相同呢？判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.二、新课教学函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82班平均88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 分请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2 本例能否用解析法？为什么？ 巩固练习：课本P 27练习第2题例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.例3某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数． 注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．下面我们一起对例4进行分析，请大家再仔细看一遍题.［例4］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t 的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t ）＝－13 t ＋1093 （t ∈N *，0＜t ≤100)，在前40天内价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N *，0≤t ≤40），在后60天内价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N *，40＜t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式. 解：前40天内日销售额为：S ＝（14 t ＋22）（－13 t ＋1093 ）＝－112 t 2＋74 t ＋77913 ∴S ＝－112 （t －10.5）2＋3784948后60天内日销售额为： S ＝（－12 t ＋52）（－13 t ＋1093 ）＝16 t 2－2136 t ＋56683 ∴S ＝16 （t －106.5）2－2524∴得函数关系式S ＝⎩⎨⎧－112 （t －10.5）2＋3784948（0＜t ≤40且t ∈N +）16 （t －106.5）2－2524（40＜t ≤100且t ∈N +）由上式可知：对于0＜t ≤40且t ∈N *，有当t ＝10或11时，S max ≈809对于40＜t ≤100且t ∈N *，有当t ＝41时，S max ＝714，综上所述得：当t ＝10或11时，S max ≈809 答：第10天或11天日售额最大值为809元［例5］某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg ，时间单位：天)解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f （t ）＝⎩⎨⎧300－t （0≤t ≤200）2t －300（200＜t ≤300）由图二可得种植成本间接函数关系式为g （t ）＝1200 （t －150）2＋100 0≤t ≤300(2)设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－ｇ（t ） 即h （t ）＝⎩⎨⎧－1200 t 2＋12 t ＋1752（0≤t ≤200）－1200 t 2＋27 t －10252（200＜t ≤300）当0≤t ≤200时，得h （t ）＝－1200 （t －50）2＋100∴当t ＝50时，h (t )取得在t ∈[0，200]上的最大值100当200＜t ≤300时，得h （t ）＝－1200（t －350）2＋100∴当t ＝300时，h （t ）取得在t ∈（200，300]上的最大值87.5综上所述由100＞87.5可知，h (t )在t ∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.［例6］季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P 与周次t 之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q ＝－0.125（t －8）2＋12，t ∈[0，16]，t ∈N *试问该服装第几周每件销售利润L 最大?解： (1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ 240*]10,5[20*[0,5)210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q故有：当t ∈[0，5)且t ∈N *时，L ＝10＋2t ＋0.125（t －8）2－12＝18 t 2＋6即，当t ＝5时，L max ＝9.125当t ∈[5，10)时t ∈N *时，L ＝0.125t 2－2t ＋16即t ＝5时，L max ＝9.125 当t ∈[10，16]时，L ＝0.125t 2－4t ＋36即，t ＝10时，L max ＝8.5 由以上得，该服装第5周每件销售利润L 最大. 三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．。
《函数及其表示》教学设计教学目标1. 理解函数的概念；2.理解函数符号y = f (x)的含义.3. 回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.教学重、难点1.学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。
函数概念及符号y=f(x)2.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的使用解析式表示函数，但这是对函数很不全面认识。
课时安排：1课时教学过程：一、创设情境，引入新课(采取情景导入法)内容：函数的概念、表示方法函数是高中数学的重要内容。
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围。
解析:1.一般地，设非空A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作=,x∈Ay f(x)其中，x,叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{(x)f∣x A∈}叫做函数的值域。
2.初中已经接触过函数的三种方法表示：解析法、列表法和图像法。
高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于是学生面对实际情景时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
二、教学基本流程概述本节内容→本节学习要点→学习过程、实例分析→练习、小结1、问题与例题（1）对教科书中的实例1，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s时距地面多高吗？其中，t的变化范围是多少？设计意图：体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h范围。
（2）对教科书中的实例2，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为1500万平方千米？其中t的取值范围是什么？设计意图：体会用图像刻画变量之间的对应关系，关注t和s的范围。
教学课题函数及其表示----导学案
教学目标考点分析1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
教学重点1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
教学难点函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点．教学方法讲练结合法、启发式教学法
教学过程：
一、函数与映射的概念
名称函数映射
两集合
A、B
设A、B是两个设A、B是两个
对应关系f：A →B 如果按照某种确定的对应
关系f，使对于集合A中
的一个数x，
在集合B中有
的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应
关系f，使对于集合A中
的一个元素
x，在集合B中有
的元素y与之对应
称为
从集合A到集合B的一
个函数
称对应为
从集合A到集合B的一个
映射
记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射
二、函数的有关概念
1．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，
叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素：、和．
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有：、和．
四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1。
函数及其表示教案教案标题：函数及其表示教学目标：1. 了解函数的概念和特征；2. 掌握函数的表示方法，包括函数图、函数表和函数式；3. 能够根据给定的函数图、函数表和函数式进行函数的表示和分析；4. 能够解决与函数相关的实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和特征；2. 函数图的绘制和分析；3. 函数表的编制和分析；4. 函数式的表示和运算。
教学难点：1. 函数的概念和特征的理解；2. 函数图、函数表和函数式之间的转换和应用。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、白板、黑板、彩色粉笔、计算器等；2. 学生准备：教材、笔记本、作业本、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师简要介绍函数的概念和重要性，并引出本课的主题；2. 学生回顾之前学过的关于坐标系和图像的知识，为后续学习做准备。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图和实例，介绍函数的定义和特征，包括自变量、因变量、定义域、值域等；2. 教师引导学生思考函数在实际生活中的应用，并与学生进行讨论。
三、函数图的表示与分析（15分钟）1. 教师以具体的函数图为例，讲解如何绘制函数图；2. 学生通过绘制函数图，理解函数图与函数的关系；3. 学生根据给定的函数图，分析函数的特征，如单调性、奇偶性和周期性等。
四、函数表的编制与分析（15分钟）1. 教师以具体的函数表为例，讲解如何编制函数表；2. 学生通过编制函数表，理解函数表与函数的关系；3. 学生根据给定的函数表，分析函数的特征，如单调性、奇偶性和周期性等。
五、函数式的表示与运算（15分钟）1. 教师以具体的函数式为例，讲解如何表示函数式；2. 学生通过给定的函数式，理解函数式与函数的关系；3. 学生根据给定的函数式，进行函数的运算和变形。
六、综合应用（10分钟）1. 学生通过解决一些实际问题，应用所学的函数表示和分析方法；2. 教师引导学生思考函数在实际问题中的应用和意义。
七、小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调重要知识点；2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和意见。
高中数学人教A版必修1第一章《12函数及其表示通用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案高中数学人教A版必修1第一章《函数及其表示通用》优质课公开课教案一、教学目标1. 理解函数的定义，能够用恰当的方式描述函数的特点；2. 掌握用图象和方程表示函数的方法；3. 能够利用函数式关系解决实际问题。
二、教学重难点1. 函数的定义和特点；2. 函数图象和函数方程的表示方法；3. 实际问题转化为函数式关系的解决方法。
三、教学准备1. 教师准备（1）白板、黑板笔；（2）教材、教辅资料和多媒体资源。
2. 学生准备（1）预习上述知识点；（2）听课和做笔记。
四、教学过程1. 探究新课（15分钟）（1）引入新知识，谈论函数在什么情况下会出现；（2）引导学生讨论什么是自变量和因变量；（3）通过举例子，引导学生了解函数的定义。
2. 学习新知（30分钟）（1）教师讲解并示范如何用图象和方程表示函数；（2）指导学生进行练习，巩固理论知识。
3. 整合知识（20分钟）（1）教师通过例题展示如何将实际问题转化为函数式关系；（2）鼓励学生提问，并进行讨论。
4. 拓展延伸（15分钟）（1）教师展示一些有趣的数学问题，引导学生思考并解决；（2）鼓励学生独立思考和探索，发展数学思维。
五、课堂小结（10分钟）（1）教师对本节课进行总结，回顾重要概念和方法；（2）鼓励学生提问，解决疑惑。
六、作业布置（5分钟）（1）布置相关习题，巩固所学知识；（2）要求学生自主学习，并提出问题。
七、教学反思本节课通过启发学生的思维、解决实际问题，激发了学生的学习兴趣和积极性。
在教学过程中，我注意提问的方式和节奏的掌握，使得学生能够主动思考和回答问题。
同时，我也鼓励学生们互相合作，共同解决问题，培养了他们的团队合作精神。
总结起来，本节课培养了学生的数学思维和解决问题的能力，使他们对函数及其表示通用有了更深入的理解。
在今后的教学中，我将继续提倡学生自主学习和探索，培养他们的创造力和分析能力。
“函数及其表示——函数的概念”教学案例“函数”是中学数学的核心概念．在初中，学生已经学习过函数概念．初中建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系．从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．但这个概念好记，也好理解，所以在教学中我还是一再重复这个概念，目的是让学生强化两个变量之间的对应关系。
教课书给出的第一个实例就是与物理公式联系紧密，也充分体现了初中函数的概念，实例中给出了两个变量高度h与时间t的关系，当时间t变化时，按照给出的解析式都有唯一的高度h与之对之，这时再比对初中给出的函数概念，强调有这种对应关系的就是函数。
教课书还给出了时间范围与高度范围，我认为这时不必要强调这些，在后来的定义域教学中，还要对实际问题如何求定义域加以讲解，所以这里要抓住重点“对任一时间t，按给出的关系式，都有唯一的高度h与之对应。
”教课书给出的第二实例是大气层臭氧层空洞问题。
在教学时我特以提问了学生：臭氧层有什么用，为什么会造成大气层臭氧层空洞。
借此加强同学们的环保意识，我想教学新课改在此这样安排也有这方面的考虑，而且后面很多实例与作业都与现实问题联系比较紧密，这也是课改内容之一吧。
学生们对此也很感兴趣，这也扩展了他们的知识面。
此实例用图象形式给出了时间t与臭氧层空洞面积s的对应关系，同样对任一时间t，都有唯一的空洞面积s与之对应，这与初中定义还是相吻合的。
教课书给出的第三个实例我国城镇居民恩格尔系数变化情况表，也很有意义。
首先我要学生从公式了解恩格尔系数怎么计算的，这个公式反映了什么问题。
我用具体实例说明系数变化反映了居民生活水平的变化情况：当恩格尔系数变小时说明居民有更多的收入用于支配除食物之外的消费，也就是居民生活水平提高了。
《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。
教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。
“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
人教版高中必修11.2函数及其表示教学设计一、教学目标1.理解函数的定义与函数的解释。
2.掌握函数图像、导数、极值、单调性等表达形式的含义及其性质。
3.了解函数在自然、社会及其它领域的应用，并认识到数学是自然和社会科学的工具之一。
4.能够灵活运用所学方法解决课本上的问题，提高数学思维和解决实际问题的能力。
二、教学内容函数及其表示三、教学方法1.预习讲授2.学生自主探究3.分组合作4.课堂讨论5.学生互评四、教学步骤第一步：导入新课程导师介绍本课程的主题“函数及其表示”，简单介绍函数在自然、社会及其它领域的应用。
第二步：理解函数的定义1.引导学生思考“函数”是什么，以及变量和函数的区别。
2.通过举例子让学生理解函数、自变量、因变量的概念。
3.介绍函数的定义方式，通过图形、数值、解析式、题型等形式深入表达。
第三步：探索函数的图像表示1.利用已知函数的解析式来构造函数的图像。
2.通过变动参数，讨论函数图像的位移、缩放及其对应的函数形式或特征。
3.探索与函数形式相同、不同的图像间的异同。
第四步：导数、极值、单调性的表达及其性质讲解1.通过函数图像帮助学生理解导数、极值、单调性概念。
2.分讨导数、极值、单调性的表现形式及其性质。
3.利用图像验证定理，并运用几何直观等对定理的解释进行讲解。
第五步：练习应用同学们通过典型的例题、数列、函数及中国剩男等题目的解决，加强对函数的理解，并用函数帮助证明或解决数学上与函数有关的问题。
五、教学重点1.探索函数的定义方式，通过图形、数值、解析式、题型等形式深入表达。
2.探索导数、极值、单调性的表达形式及其性质。
3.运用函数解决数学上与函数有关的问题。
六、教学难点1.理解函数的定义。
2.探索导数、极值、单调性的表达及其性质。
3.运用函数解决数学上与函数有关的问题。
七、课堂展示学生自主制作函数图形3张，写出解析式、定义域、值域等，并发表自己的思路和解题方法。
八、课后作业1.完成课后练习。
1．理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.2．初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.3．了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法.4．会求简单函数的定义域和函数值重点：1.理解函数的概念；2.理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则教学过程知识点梳理1、回顾函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与对应. 那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量示例分析①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.图1-2-1-1根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t ∈A,S ∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y 随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001恩格尔系数y 53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表,可知时间t 的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y 的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:f:t→y,t ∈A,y ∈B.以上三个对应有什么共同特点？归纳以上三个实例，我们看到三个实例中的变量之间关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个元素x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作f:A→B.2、函数的概念（高中）：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain)；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域(range). 显然，值域是集合B 的子集。
函数及其表示（一）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、 函数的定义：P16定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）；注意记为y=f(x),x ∈A ；2、 构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。
3、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？练习：题1、2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
题2、求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域.4、 区间的概念：练习：1、用区间表示：函数y ＝x 的定义域 ，值域是 。
动手练习： 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授：【例题1】、如果函数(x)满足：对任意的实数m 、n 都有(m)+ (n)= (m+n)且(1003)=2，则(1)+ (3)+ (5)+…+(2019)=____(2019)思考题：已知函数（x ）对一切实数x 、y 均有（x+y ）-（y ）=（x+2y+1）·x 成立，且（1）=0 ①求（0）之值;②当（x ）+3<2x+a 且0<x <12恒成立时，求a 的取值范围解、①（0）=-2； ②化为a >(x-12)2+34从而有｛a | a ≥1｝为所求（函数的恒成立问题——函数思想去处理！）函数及其表示（二）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、下面可能表示函数的图象的是( )2、（07广东）客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）A. B. C. D.（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授：例题1：（2000年全国高考题）某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p 与上市时间t 的关系图是一条折线（如图(1)），种植成本Q 与上市时间t 的关系是一条抛物线（如图(2)）①、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).②、写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).pt(图1) （图2）函数的值域和映射概念（Ⅰ）、基本概念及知识体系：函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。
高中必修一数学教案《函数及其表示方法》教材分析本节内容是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第一节的内容。
学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，习惯用解析式表示函数，但这是对函数的不全面的认识。
本节中，从引进函数的概念开始，就注重函数的不同表示方法：解析法、列表法、图象法。
函数的不同表示方法能丰富学生对函数的认识，帮助学生理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合方面表现更加充分。
因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用，注意刻画代数，以求思考和表述的准确性。
学情分析学生基本可以掌握本节课的知识点，对于函数概念，有些学生理解的不透彻，可以通过课上小组讨论，合作学习加以掌握；函数的定义域对于学生而言是一个难点，可以通过讨论展示来理解。
教学目标1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
2、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域。
3、通过具体问题情境，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验。
教学重点用集合语言和对应关系刻画函数。
教学难点通过实例，归纳、概括、抽象出函数的概念。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、直接导入我们在初中已经学习过一些函数的知识，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，并了解了函数的一些简单应用。
但是，仅以初中的函数知识解决不了比较复杂的函数问题。
本节课我们就一起来学习《函数及其表示方法》。
二、学习新知1、函数的概念在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数。
是反比例函例如，y = 2x是正比例函数，y = -3x-1是一次函数，y = -2x数，y = x2+2x-3是二次函数，等等。
（1）函数一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y = f（x），x∈A（2）定义域其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。
教学准备1. 教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.2、过程与方法：(１)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2)了解构成函数的要素;(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(４)能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学习的积极性.2. 教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数;难点:符号“y＝ｆ(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；3. 教学用具多媒体４. 标签函数及其表示教学过程(一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想;2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(１)炮弹的射高与时间的变化关系问题;(2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点;4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;5、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.（二)研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念:设A、Ｂ是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合Ａ到集合B的一个函数(fｕnctｉon)．记作：y=f(ｘ)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(ｄomaｉn)；与x的值相对应的ｙ值叫做函数值,函数值的集合{ｆ(ｘ)｜x∈A ｝叫做函数的值域（range)．注意:①“y=ｆ(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示,如“y=ｇ(x）”；②函数符号“ｙ＝f(ｘ）”中的ｆ（ｘ)表示与ｘ对应的函数值,一个数,而不是f乘ｘ.(2)构成函数的三要素是什么?定义域、对应关系和值域(3)区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间;③区间的数轴表示.(4)初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么?通过三个已知的函数:y=ax+ｂ(a≠０)y=ax2+ｂx+c (a≠０）y= （ｋ≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义,谈谈体会.师：归纳总结（三）质疑答辩,排难解惑,发展思维。
第1讲函数及其表示基础巩固题组建议用时：40分钟一、选择题1．2021·广州调研若函数＝f的定义域为M＝{|－2≤≤2}，值域为N＝{|0≤≤2}，则函数＝f的图象可能是解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．答案 B2．2021·郑州模拟函数f＝错误!＋g3＋1的定义域是解析由错误!得错误!所以定义域为错误!答案 A3．设函数f＝2＋3，g＋2＝f，则g的表达式是A．2＋1 B．2－1 C．2－3 D．2＋7解析∵g＋2＝f＝2＋3＝2＋2－1，∴g＝2－1答案 B4．2021·合肥检测已知函数f＝错误!则f2 014＝A．2 014 029,2 C．2 015 031,2解析f2 014＝f2 013＋1＝…＝f0＋2 014＝f－1＋2 015＝2－1＋2 015＝错误!答案 D5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数＝[][]表示不大于的最大整数可以表示为A．＝错误!B．＝错误!C．＝错误!D．＝错误!解析法一取特殊值法，若＝56，则＝5，排除C，D；若＝57，则＝6，排除A，选B法二设＝10m＋α0≤α≤9，m，α∈N，当0≤α≤6时，错误!＝错误!＝m＝错误!，当6<α≤9时，错误!＝错误!＝m＋1＝错误!＋1，所以选B答案 B二、填空题6．下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方；②A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值，是从集合A到集合B的函数的为________．解析其中②，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；其中③，A中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A中的元素0在B中没有对应元素．答案①7．已知f 错误!＝错误!，则f的解析式为________．解析令t＝错误!，由此得＝错误!t≠－1，所以ft＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!/h的速度从A地到150 m远处的B地．在B地停留1 h后，再以50 m/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离m表示为时间t h从A地出发开始的函数，并画出函数的图象．解＝错误!其图象如图所示．。
普通高中课程标准实验教科书数学必修第一章集合与函数概念1. 2函数及其表示§1. 2.1函数概念的教案说明教学目标知识要求目标:1正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用2通过大量实例理解构成函数的三个要素3掌握判定两个函数是否相等的方法能力发展目标：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般” 的分析问题的能力，培养学生的抽象概括能力。
德育渗透目标：让学生体会现实世界充满变化，要用发展的眼光看待问题。
教学重点：函数的概念，函数的三要素。
教学导图：引出函数的概念Array与初中函数概念进行比较，明确现在函数的优越性大量例举生活实例深刻理解函数的概念了解函数的三要素判定两个函数是否相等例题处理课堂练习课堂小结课下作业教学难点：函数概念的本质及符号丫= f（X）的理解教学方法：建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。
教学手段:发挥计算机快捷，生动，形象，人脑延续的特点，提供直观的感性材料，帮助学生实施研究方法，激发并维持学习兴趣。
教学过程：创设情景：今天我们学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的观点，揭示了函数概念的本质，我国请代数学家李善兰在翻译《代数学》时，首先把“function”译成函数且给出定义“凡式中含天，为天之函数”。
所以我们今天学习的函数，要感谢这些为数学奉献的数学家们。
复习回顾：初中时我们已学过函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫定义域，y的取值范围叫值域。
下面我们来看这样一个实例新课讲授：实例（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m, 且炮弹距地面的高度h （单位：m）随时间t （单位：s）变化的规律是h=130t-5t2A={t 0WtW26},B={h 0WhW845}我们发现，对于数集A中的任意一个时间3按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。
高一数学必修1《函数及其表示》教案The teaching plan of function and its representation高一数学必修1《函数及其表示》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
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重点难点教学：1.正确理解映射的概念;2.函数相等的两个条件;3.求函数的定义域和值域。
一.教学过程：1.使学生熟练掌握函数的概念和映射的定义;2.使学生能够根据已知条件求出函数的定义域和值域;3.使学生掌握函数的三种表示方法。
二.教学内容：1.函数的定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数（）fx和它对应，那么称:fAB为从集合A到集合B 的一个函数（function），记作：（）,yfxxA其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{（）|}fxxA叫值域（range）。
显然，值域是集合B的子集。
注意：① “y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”;②函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域。
3、映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4.区间及写法：设a、b是两个实数，且a（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b];（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）;5.函数的三种表示方法①解析法②列表法③图像法-------- Designed By JinTai College ---------。
函数及其表示方法一、目标认知学习目标：(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．重点:函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点:对函数符号)(xy=的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方f法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．二、知识要点梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：)y=，x A．f(x其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注重：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注重：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注重定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注重讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注重到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注重自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注重定义域对值域的制约.学习成果测评基础达标一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是()A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是()A．1B．2C．3D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B 必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()A．(，1)B．(1，3)C．(2，6)D．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是()A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是()9．函数的图象与直线的公共点数目是()A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为()A．B．C．D．11．已知，若，则的值是()A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x22+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).水平提升一、选择题1．设函数，则的表达式是()A．B．C．D．2．函数满足则常数等于()A．3B．-3C．D．3．已知，那么等于()A．15B．1C．3D．304．已知函数定义域是，则的定义域是() A．B．C．D．5．函数的值域是()A．B．C．D．6．已知，则的解析式为()A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()2.如图所表示的函数解析式是()A.B.C.D.3．函数的图象是()4.如图，等腰梯形A B C D的两底分别为A D=2a，B C=a，∠B A D=45°，作直线M N⊥A D交A D于M，交折线A B C D于N，记A M=x，试将梯形A B C D位于直线M N左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.答案与解析：基础达标一、选择题1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或x≥1，∴x=±1，选D．3．B．法一：由y=，∴x=∴y≠，应选B．法二：4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选A．7．C．∵0≤x≤4，∴0≤x≤=2，应选C．8．C．9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值．10．D．按照对应法则，而，∴．11．D．该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴．12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即，左移．二、填空题1．.当，这是矛盾的；当.2．.提示：.3．. 4．.设，对称轴，当时，.5．..6．.．三、解答题1．解：∵，∴定义域为2．解：∵∴，∴值域为3．解：(1).提示：利用待定系数法；(2).提示：利用待定系数法；(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设；(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得水平提升一、选择题1．B.∵∴；2．B.3．A.令4．A.；5．C.；6．C.令．二、填空题1．..2．.令.3．..4．.当当，∴.5．得.三、解答题1．解：2．解：(1)∵∴定义域为；(2)∵∴定义域为．。
1.2 函数及其表示
[课标、大纲、考纲内容]：
函数的表示是本节的主要内容之一，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识，教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法。
函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，结合信息技术的使用，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思想方法。
1、重点：使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。
2、难点：对函数概念的整体性认识，对函数符号的理解。
第1课时 1.2.函数及其表示
【学习目标】
1、通过丰富的实例，使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型
2、学习用集合语言刻画函数
3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。
4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
【教学重难点】
1. 教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念
2. 教学难点：函数的概念及符号y=f(x)的理解
【教学过程设计】
(一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
(二)、教学过程
一、情境引入：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。
加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。
而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
二、合作交流
1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？
2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式
注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思
想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
3．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数（fun ction ）
． 记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．
注意：
（1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2） 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． （3） 函数是非空数集到非空数集的对应关系。
（4）“f ：A →B”表示一个函数有三要素：法则f （是核心），定义域A （要优先），值域C （上函数值的集合且C ∈B ） 4．区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x
三、精讲精练
例1：求函数ｙ＝x
x
x 1
2132+
--
+的定义域。
解：由条件知应满足２ｘ＋３≥０且２－ｘ＞０且ｘ≠０，解得－2
3
≤ｘ＜２且ｘ≠０，所以 定义域为［－
2
3
，０）∪（０，２）． ［点评］题中既有分母又有根式，要保证两种形式同时有意义 变式训练一：求函数ｙ＝
4
2
2
--x x 的定义域； 解：由ｘ2－４≠０解得ｘ≠２且ｘ≠－２ ∴定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２，ｘ∈Ｒ｝．
［点评］题中虽然分子分母有公因式，但是要保证原式有意义，不能约分后再求定义域；
例⒉求函数ｆ(ｘ)＝
11
2
+x ，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域． 解：5
1
121)2(,21111)1(,1101)0(222=+==+==+=f f f ．
容易看出，这个函数当ｘ＝０时，函数值取得最大值１，当自变量ｘ的绝对值逐渐变大时，函 数值随着逐渐变小且逐渐趋向于０，但永远不会等于０．于是可知这个函数的值域为集合： ｛R x x y y ∈+=
,1
1
|2｝＝（０，１］
． 变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，a 4，a 2＋３a ｝，a ∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数， 求a ，ｋ，Ａ，Ｂ．
解：由已知条件和函数的定义可知：
10＝a 4
10＝a 2＋３a
３ｋ＋１＝a 2＋３a ⑴ 或 ３ｋ＋１＝a 4
⑵ ⑴显然无解，∵a ∈Ｎ+，解⑵得：a ＝２，ｋ＝５ ∴Ａ=｛１，２，３，５｝，Ｂ=｛４，７，10，16｝．
点评：本题主要理解函数的定义，在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。
四、课堂小结：（可见“板书设计”） 【板书设计】
【作业布置】 一、选择题 ⒈函数x
x x y -+=
||)1(0的定义域是（ ）
Ａ．{10|≤≤x x } Ｃ．{11|->-<x x x 或}
Ｂ．{0|>x x } Ｄ．{0,1|≠-≠x x x }
⒉已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１，其定义域为｛－１，０，１，２｝，则函数的值域为（ ）
Ａ．［０，３］ Ｂ．｛０，３｝ Ｃ．｛０，１，２，３｝ Ｄ．｛ｙ｜ｙ≥０｝
⒊已知ｆ(ｘ)＝ｘ2＋１，则ｆ［ｆ(－１)］的值等于（ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
二、填空题 4.函数x x y -+-=
22的定义域是_______________________
5.已知ｆ(ｘ)＝２ｘ＋３，则ｆ(１)＝_________________，f(a)=______________, ｆ[ｆ(a)]＝______________________．
三、解答题
6. 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为２ｘ，求此框架围成的面积ｙ与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．
教学反思：学生对函数概念感觉很抽象，难于理解。
