函数及其表示经典例题

(1)函数的定义：
设 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对 中的任意数x，在集合 中都有唯一确定的数y和它对应，则这样的对应关系叫做从 到 的一个函数，通常记为___y=f(x),x∈A
(2)函数的定义域、值域
在函数 中， 叫做自变量，x的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。例如：集合 和集合 是相同的集合。
2、集合的表示方法
列举法：
定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
描述法：
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
例9：函数 的值域是（）
A． Leabharlann Baidu． C． D．
（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
例10：
（5）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
4、课堂练习
1、已知 是一次函数且 （）
A． B． C． D．
2、函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3、设函数 的定义域为 ，值域为 ，那么（）
3、子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作： ，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.
空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作： . 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（2）判断两函数是否为同一个函数
方法：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1） ， ；
（2） ，
（3）求函数解析式
方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数 的解析式，则可用换元法或配凑法；
例5：已知二次函数 满足 ，求
题型3：求抽象函数解析式
例6：已知： ，求 表达式.
（4）求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
5．区间的表示：例如[a,b]
三、经典例题讲解
（1）映射的概念
设 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 ，对 中的任意一个元素x，在集合 中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射,记作f(x).
例1：下述两个个对应是 到 的映射吗？
（1） ， ， ；
（2） ， ， ．
变式训练：若 ， ， ，则 到 的映射有个， 到 的映射有个
.
Venn图如右表示.
2、函数及其表示知识点回顾
1．映射的概念
设 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 ，对 中的任意一个元素x，在集合 中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射,记作f(x).
注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例3：已知函数 是一次函数,且 ,求 表达式.
例4：二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x＋5.
题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
，
，
4、判断以下各组函数是否表示同一函数
（1） ， ；
（2） ，
（3） ， （n∈N*）；
5、已知 _____________。
6、已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．
一、教学目标
1. 巩固函数及其表示
二、上课内容
1、回顾上节课内容
2、函数及其表示知识点回顾
3、经典例题讲解
4、课堂练习
三、课后作业
见课后练习
1、上节课知识点回顾
1、集合中元素的三个特性
元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，
元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合，
4、交集、并集.
① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：
Venn图如右表示.
② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作： ，读作：A并B，用描述法表示是：
例7：函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例8：已知 的定义域是（-2，0），求 的定义域
（5）求函数的值域
求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例9：
(2)换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数
例9：
（3）分段函数:分别求函数值域，
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。