离散数学第五章代数系统优秀课件

“＋”是普通加法，0∈A，并且对任意的自然 数x∈A，有x＋0＝0＋x＝x
2020/4/1
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单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
2020/4/1
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3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
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零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
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5.2 代数运算的性质
2．交换律

庄伯金 bjzhuang@
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同态与同构

定义：设两代数系统V1=<A,*>和V2=<B,•>，如果 存在映射f:A→B，对任意的x,y∈A，有 f(x*y)=f(x)•f(y)，则称f是V1到V2的同态映射，简 称同态，记为<A,*>∼<B,•>。

若f为满射，则称f为满同态； 若f为单射，则称f为单一同态； 若f为双射，则称f为同构，记作<A,*>≌<B,•>。
庄伯金 bjzhuang@
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子代数系统

定义：设有代数系统<A,*1,*2,...,*k>，B是A的非 空子集。如果A上的每个运算都在B上是封闭的，且A 与B含有相同的代数常数，则称代数系统 <B,*1,*2,...,*k>为代数系统<A,*1,*2,...,*k>的 子代数系统，或称代数B为代数A的子代数。
庄伯金 bjzhuang@
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逆元

定理：设•为A上的可结合二元运算，A中存在幺元e 且每个元素都有左逆元，则在A中，每个元素的左逆 元也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。
庄伯金 bjzhuang@
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代数系统


定义：由非空集合A以及A上的运算*1,*2,...,*n所组 成的系统称为一个代数系统，记作 <A,*1,*2,...,*n>。 定义：如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运 算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这 两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类 型的代数系统。
庄伯金 bjzhuang@
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单位元

西方：16世纪 意大利数学家 卡丹公式
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古典代数的发展过程
➢一元四次方程 Ferrari L(费尔拉里) 化为求一个三次方程和两个二次方程的根
➢ 一元五次方程 失败：欧拉(1707 --1783) 、范德蒙德、 鲁菲尼、高斯等。
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➢拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测:
这样的求根公式不存在。
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2. 代数运算的性质-等幂律
➢ 设 * 是集合S上的二元代数运算，a是S 中的元素，如果a*a=a, 则称a是关于运 算 * 的幂等元。如果S中每个元素都是 关于 * 的幂等元，则称运算*满足等幂 律。
➢ 结论：若a是关于运算 * 的幂等元，则 对于任意正整数n，an=a。
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2. 代数运算的性质-分配律
*
+
① 运算+对运算*满足分配律。因为：
x+(y*z)=(x+y)*(x+z); (y*z)+x=(y+x)*(z+x)
证：当x=, x+(y*z)=; (x+y)*(x+z)=
当x=, x+(y*z)=y*z; (x+y)*(x+z)=y*z
② 运算*对运算+不可分配。 证：∵*(+)=*=
➢可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他 因决斗去世11年后才开始得到数学界的 承认.
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➢伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊.
➢14岁那年因考试不及格而重上三年级.
➢15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学 的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进 入较普通的师范学校.
➢就是在这所学校, 伽罗华写出了他的第 一篇关于连分数的数学论文, 显示了他 的能力(17岁).

第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
6、逆元 、 是集合A上具有单位元 的二元运算， 设 * 是集合 上具有单位元 e 的二元运算，对于元 ， 素 a ∈ A，若 ∃一个元素 a l -1∈A，使得 a l -1* a = e ， ， 则称元素a 是左可逆的， 则称元素 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的 左逆元； 左逆元；若 ∃一个元素 a r -1∈A，使得 a * a r -1 = e ， ， 则称元素a 对于运算 * 是右可逆的，并称 r -1为a的 是右可逆的，并称a 则称元素 的 右逆元； 右逆元；若 ∃一个元素 a -1∈A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e ，则称元素 a 对于运算 * 是可逆的，并称 -1为 a 是可逆的，并称a 的逆元。 的逆元。 显然， 的逆元， 也为a 显然，若a -1为 a 的逆元，则 a 也为 -1的逆元
第五章 代数系统基础
例7：代数系统 (ρ( E), ∼) 与 (ρ( E),∪) 的类型不相同。 ： ∪ 的类型不相同。
第五章 代数系统基础
3、子系统（或子代数） 、子系统（或子代数） 定义： 定义：设 ( S ,
1
,
2
,⋯ ,
i
n
) 是代数系统， 是代数系统，
S ′ 是 S 的在每一运算
下 ( i = 1, 2, …，n ) ，
上述运算为 °( (x, y) ) = x · y (mod3)，其中 · 是普通乘法 ，
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A={0, 1}, 二元运算 * 的定义见下表。 的定义见下表。 * 0 1 0 0 0 1 0 1
上述运算*是集合 ， 上的逻辑合取运算 上述运算 是集合{0，1}上的逻辑合取运算 是集合