φ2： Z→A，对于每一个n∊Z，若n是偶数，φ2(n)=1； 若n是奇数，φ2(n)=-1。
显然φ2是Z到A的满射。对于Z中的任意的二个数n和m来说： 若n和m均是偶数，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。 若n和m均是奇数，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。 若n和m一个奇数，一个偶数，不失一般性设n是奇数，
可逆元素及其逆元
yl ∘ x = e且x ∘ yr = e
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11.2 代数系统和半群
(一) 代数系统 (二) 同态映射、同构映射 (三) 半群 (四) 含幺半群 (五) 子半群
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代数系统
定义1 设A是一个集合，*1，*2，…，*n是A上的n个代数运 算，而
（A，*1，*2，…，*n） 表示集合A，以及A上的n个代数运算*1，*2，…，*n 组成的一个代数系统。
主要研究内容：只有一个代数运算的代数系统 （A，*）
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例
• （N，+）表示自然数集带着数 的加法。
• （N， ·）表示自然数集带着数 的乘法。
• （N，－）表示自然数集和数 的减法运算。
• （N， +, ·）表示自然数集带着 数的加法与乘法。
+是N×N到N 的代数运算
·是N×N到N 的代数运算
m是偶数， 那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。
所以φ2是满同态映射。 即（Z，+）与（A，·）是两个满同态代数系统。
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例(p177)
φ3： Z→A={1，-1}，对于每一个n∊Z，φ3(n)=-1。 取n=2，m=3时， φ3(n)= φ3(m)=-1， 而
φ3(n+m)= φ3(5)=-1 并且有
分别定义三个Z到A的函数如下
φ1： Z→A，对于每一个n∊Z，φ1(n)=1。
φ2： Z→A，对于每一个n∊Z，若n是偶数，φ2(n)=1； 若n是奇数，φ2(n)=-1。
φ3： Z→A，对于每一个n∊Z，φ3(n)=-1。
则 φ1是同态函数 ， φ2是满同态函数， φ3不是同态函数。
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例(p176)
于是
φ3(n)· φ3(m)=1
φ3(n+m) ≠ φ3(n)· φ3(m) 所以φ3不是同态映射。
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定理1
（A1，*）和（A2，·）是两个代数系统， 且 （A1，*）与（A2，·）满同态。 若“*”适合交换律，则“·”也适合交换律； 若“*”适合结合律，则“·”也适概念
1.二元运算 （封闭）
2.运算的表示 （运算表）
x ∘y = y ∘x
3.二元运算的性质
(x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z)
交换律、结合律、幂等律、消去律
分配律、吸收律
4.二元运算的特异元素
单位元 零元
el ∘ x = x 且x ∘ er = x θl ∘ x =θl 且x ∘θr =θr
－是N×N到Z 的代数运算
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实例
<N,+>, <Z,+,·>, <R,+,·>是代数系统， + 和 ·分别表示普通加法和乘法.
<Mn(R),+,·>是代数系统， + 和 ·分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法.
<Zn,,>是代数系统，Zn＝{0, 1, … , n-1}， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,y∈Zn， xy = (x＋y) mod n，xy = (xy) mod n
<P(S),∪,∩,~> 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补
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同态函数
定义2：设（A，*），（A1，·）是两个代数系统， *是A上的一个二元运算， ·是A1上一个二元运算。 一个函数f：A→A1是A到A1的同态函数，若对于 A中的任意两个元素a，b，有 f（a*b）=f（a）·f（b）
■ 若f是单射，说f是单一同态函数； ■ 若f是满射，说f是满同态函数； ■ 若f是双射，说f是同构函数。
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单同态、满同态、同构
• 两个代数系统之间若存在单一同态函数，说 这两个代数系统是单同态的；
• 两个代数系统之间若存在满同态函数，说这 两个代数系统是满同态的；
• 两个代数系统之间若存在同构函数，说这两 个代数系统是同构的。
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例(p176)
Z是整数集，Z上的二元运算是数的加法，即(Z，＋)。 A={1，-1}，A上的二元运算是数的乘法，即(A，·)。
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含幺半群
定义5 称含有幺元的半群为含幺半群。 也叫做 独异点.
例 ■ 0是半群（N，+）的么元， （N，+）是含幺半群。 ■ 1是半群（N，·）的么元，（N，·）是含幺半群。
可记为（N，+，0） （N， ·，1）
φ1： Z→A={1,-1}，对于每一个n∊Z，φ1(n)=1。
显然，对于Z中的任意二个数n和m，有
(Z，＋) (A，·)
φ1(n)=1， φ1(m)=1， φ1(n+m)=1， ∴ φ1(n+m)=φ1(n) ·φ1(m) 故φ1是同态函数。
f（a*b）=f（a）·f（b）
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例(p176)
定义3：设（A，*）是一个代数系统， A是一个非空集， *是A上的一个二元运算。 若*是A上的闭运算， 且*适合结合律， 则称（A，*）是一个半群。
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实例
（1）<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是 普通加法.
（2）设 n 是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半 群，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.
（3）<P(B),>为半群，其中为集合的对称差运算. （4）<Zn, >为半群，其中 Zn={0,1, …, n1}，为模 n 加法. （5）<AA, >为半群，其中 为函数的复合运算. （6）<R*,>为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义
如下：x, y∈R*, x y =y
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例
对于任意二个自然数m和n，定义“ * ”运算： m*n=m+n+m·n
不难验证，（N，*）也是一个半群。
(a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc
a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc
在自然数集上还可以定义许多的二元运算，使它们 构成半群。
