下载文档原格式
离散数学是数学的一个重要分支，研究的是离散结构和离散对象的性质。
代数系统和布尔代数是离散数学中的两个重要概念。
代数系统是研究集合上的运算的一种数学结构。
它由集合和一组运算所组成，其中运算可以是两个对象相互运算得到一个新的对象，也可以是一个对象自身经过某种运算得到一个新的对象。
代数系统包括了很多种类，例如群、环、域等等。
其中，布尔代数是代数系统的一种重要类型。
布尔代数是一种二元代数系统，它研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
在布尔代数中，我们考虑的对象是命题，而运算包括了与、或、非等等。
布尔代数主要用于逻辑运算和电路设计中。
布尔代数中的命题可以用真和假来表示，它们分别对应于数学中的1和0。
与、或、非等运算在布尔代数中也有对应的符号，分别是∧、∨、¬。
这些符号在逻辑运算中扮演重要角色。
布尔代数的运算有很多有趣的性质。
比如，与运算满足交换律、结合律、分配律等等；或运算满足交换律、结合律、分配律等等；非运算满足逆运算和恒等律。
这些性质使得布尔代数具有很强的推理和运算能力。
布尔代数在逻辑运算中有着广泛的应用。
在计算机科学中，布尔代数被用于电路设计和逻辑推理；在人工智能领域，布尔代数被用于知识表示和推理；在运筹学中，布尔代数被用于约束求解和优化问题。
布尔代数的应用广泛而深入，是离散数学中的重要工具之一。
总结起来，离散数学中的代数系统和布尔代数是两个重要的概念。
代数系统研究的是集合上的运算，而布尔代数研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
布尔代数具有许多有趣的性质和广泛的应用，是离散数学中的一个重要工具。
离散数学代数系统
离散数学代数系统（DMA）是一种非常重要的自然科学的数学工具，它的应用涉及到很多领域，尤其有助于理解和解释有关数学物理和技术实践的问题。
例如，它可以用来解决常微分方程的相关性、热传导的传递的关系和任何复杂系统的建模和仿真。
离散数学代数是一个全面的研究领域，它包括各种数学工具，比如数论，偏微分方程，微分动力学和控制论等，以及如何实际应用这些工具来解决数学物理和技术实践的问题。
离散数学代数的主要任务是解决与数值计算有关的科学问题，为此，他们开发了一系列数据结构，比如图，矩阵和线性代数。
重点也放在了提出有效的算法来解决离散问题，比如图像处理、机器人控制和递归算法等。
随着计算机技术和网络技术的发展，离散数学代数越来越重要，它们被广泛应用于新技术的研究中，包括经过计算机处理的信号、全局优化和分布式计算环境等。
因此，离散数学代数对计算机科学和技术的发展有着重要的作用，其重要性日益增强。
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。
( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。
( )8.循环群一定是阿贝尔群。
( )9.每一个链都是分配格。
( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod 3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a ,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21C. n m n m 2+=D. 22n m n m += 14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+， 分别是普通加法和乘法，则,,I + 是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *= ，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod 3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
(B) 非负整数集N ，关于数的加法。
(C) 整数集Z ，关于数的减法。
(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。
1. 在环中进行计算，则（a+b ）（a-b ）＝2. S 是一非空集合, P(S)是S 的幂集, 代数系统(),P S 中的幺元为3. 设群G ＝a 〈〉是15阶循环群，则子群H ＝3a 〈〉的元素是4. 在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是5. 在代数系统,N +中， (其中N 为自然数集，+为普通加法)，仅有 有逆元．6. 给定环{}5|,,x x I ∈+ ，其中I 是整数集，+和 是普通的加法和乘法，它 整环．因为 ．7. 设代数系统6,V Z =〈⊗〉，其中⊗为模6乘法，那么V 中的幂等元是 8. ,S *是独异点．对,a b S ∈，且,a b 均有逆元，则11()a --= ，9. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉 中，()P S 对 的么元为 ，零元为 ．10. ,G *是群，B G ⊆且B 是有限集，,B *是,G *的子群当且仅当 ·11. 设S 为非空有限集，代数系统2,SU 〈〉中么元为 ，零元为12.在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是13. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉 中， ()P S 对 的么元为 ，零元为 ．14. 三阶群有 个(不同构)，其运算表为15.半群(),A ρ 是独异点，因为有幺元A1. 设 ||2G >，且a G ∀∈，2a =e ，证明G 必含4阶子群．2. 己知G ＝｛1,2,3,4,5,6｝，7⨯为模7乘法．试说明7,G 〈⨯〉是否构成群?是否为循环群？若是，生成元是什么？3. 在乘法模7运算7*下，考虑群7,*G ，其中{}6,5,4,3,2,1=G ,（1）求出7*的乘法表， （2）求1116,3,2---， （3）7,*G 是循环群吗？4. 试证明若,G 〈*〉是群，H G ⊆，且任意的a H ∈，对每一个x G ∈，有a x x a *=*，则,H 〈*〉是,G 〈*〉的子群．5. 设S=R-{-1} (R 为实数集)，a b a b ab *=++．(1)说明,S 〈*〉是否构成群； (2)在S 中解方程237x **=．6. 若G 中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G 中所有元素可交换．7. 设代数系统V=A, 的运算表如表所列，表a b c d aa b c d bb c b d cc a b cd d a c c(1) 说明 运算是否满足交换律、结合律、幂等律;(2) 求出 运算的单位元和零元(如果存在)；(3) 求出所有可逆元素的逆元．8．设G={Q x x ∈且}1≠x ，定义xy y x y x -+= ，G y x ∈∀, 证明： ,G 是一个群。
9. 设,H 〈〉 和,K 〈〉 都是群,G 〈〉 子群，问,H K 〈⋂〉 和,H K 〈⋃〉 是否是,G 〈〉 的子群，并说明理由．10. 设2,G Z =〈⊕〉是模2加群(1) 给出直积G G ⨯运算表；(2) 说明G G ⨯与哪个4阶群同构．11. 试画出集合A ＝{1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出：(1)集合A 的最大元、最小元、极大元和极小元；(2)集合B ＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界．。
