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离散数学--代数系统

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离散数学中的代数系统和布尔代数

离散数学中的代数系统和布尔代数

离散数学是数学的一个重要分支，研究的是离散结构和离散对象的性质。

代数系统和布尔代数是离散数学中的两个重要概念。

代数系统是研究集合上的运算的一种数学结构。

它由集合和一组运算所组成，其中运算可以是两个对象相互运算得到一个新的对象，也可以是一个对象自身经过某种运算得到一个新的对象。

代数系统包括了很多种类，例如群、环、域等等。

其中，布尔代数是代数系统的一种重要类型。

布尔代数是一种二元代数系统，它研究的是关于真值和逻辑运算的代数。

在布尔代数中，我们考虑的对象是命题，而运算包括了与、或、非等等。

布尔代数主要用于逻辑运算和电路设计中。

布尔代数中的命题可以用真和假来表示，它们分别对应于数学中的1和0。

与、或、非等运算在布尔代数中也有对应的符号，分别是∧、∨、¬。

这些符号在逻辑运算中扮演重要角色。

布尔代数的运算有很多有趣的性质。

比如，与运算满足交换律、结合律、分配律等等；或运算满足交换律、结合律、分配律等等；非运算满足逆运算和恒等律。

这些性质使得布尔代数具有很强的推理和运算能力。

布尔代数在逻辑运算中有着广泛的应用。

在计算机科学中，布尔代数被用于电路设计和逻辑推理；在人工智能领域，布尔代数被用于知识表示和推理；在运筹学中，布尔代数被用于约束求解和优化问题。

布尔代数的应用广泛而深入，是离散数学中的重要工具之一。

总结起来，离散数学中的代数系统和布尔代数是两个重要的概念。

代数系统研究的是集合上的运算，而布尔代数研究的是关于真值和逻辑运算的代数。

布尔代数具有许多有趣的性质和广泛的应用，是离散数学中的一个重要工具。

离散数学ch10[2]代数系统

离散数学ch10[2]代数系统

同态关系:同态
X Y
同态的图解
同态关系:同态
例: 给定代数系统<R,+>和<R,×>
设函数f:RR，f(x)=2z
则 f是从<R,+>到<R,×> 的同态，
证: 对于y,zR来说，
f(y+z) =2y+z =2y×2z =f(y)×f(z)
注: f(R)是R的一个子集 在f(R)中，原有的+运算关系得到保持
<ρ(S),∪,∩,~>也是代数系统, 其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算~。
代数系统:代数系统的实例
在某些代数系统中存在着一些特定的元素,它们对于系统 的一元或二元运算起着重要的作用, 例如二元运算的单位元和零元。 在定义代数系统的时候,如果把含有这样的特定元素也作 为系统的性质, 比如规定系统的二元运算必须含有单位元， 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统,也 可以把这些代数常数列到系统的表达式中,
这样 * 和×可被分别运载到运算 ⊙ 和⊕，则： (4)如果运算 * 对于×运算是可分配的， 则运算 ⊙ 对于运算⊕也必定是可分配的。
同态关系:同态与同构
同态关系:同态与同构
定理
给定代数系统 U=<X,*,×> 和 V=<Y, ⊙, ⊕>,
其中的 * 和×以及 ⊙ 和⊕都是二元运算。 设 f:XY 是从 U 到 V 的满同态，
这样 * 和×可被分别运载到运算 ⊙ 和⊕，则： (3)对于运算 *，如果每一个元素 xX 都有一个逆元x-1，
则对于运算⊙,每一个f(x)Y,也都会具有一个逆元 f(x-1),

离散数学之代数系统篇

离散数学之代数系统篇

第三篇代数系统篇第3-1章代数结构本章将从引入一般代数系统出发，研究如群、环、域等这样一些代数系统，而这些代数系统中的运算所具有的性质确定了这些代数系统的数学结构。

§3-1-1 代数系统的概念在计算机科学中，常用代数系统去描述机器可计算函数，研究运算的复杂性，分析程序设计语言的语义等。

由非空集合和该集合上的一个或多个运算所组合的系统，常称为代数系统，有时简称为代数。

在研究代数系统之前，首先考察一个非空集合上运算的概念，如将有理数集合Q上的每一个数 a 的映射成它的整数部分［a］；或者将Q上的每一个数a 映射成它的相反数-a，这两个映射可以称为集合Q上的一元运算；而在集合Q上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法都是集合Q上的二元运算，也可以，x2 ，x3，看作是将Q中的每两个数映射成一个数；至于对集合Q上的任意三个数x１代数式x12+x22+x32和x1+x2+x3分别给出了Q上的两个三元运算，它们分别将Q中三个数映射成Q中的一个数。

上述这些例子有一个共同的特征，那就是其运算的结果都是在原来的集合中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。

相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的。

很容易举出不封闭运算的例子，设N是自然数集，Z是整数集，普通的减法是N×N到Z的运算，但因为两个自然数相减可以不是自然数，所以减法运算不是自然数集N上的闭运算。

定义3-1-1.1设A和B都是非空集合，n是一个正整数，若Φ是A n到B的一个映射，则称Φ是A到B的一个n元运算。

当B=A时，称Φ是A上的n元运算（n-ary operation），简称A上的运算。

并称该n元运算在A上是封闭的。

例3-1-1.1（1）求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算。

（2）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是。

（3）S是一非空集合，S S是S到S上的所有函数的集合，则复合运算○是S S上的二元运算。

离散数学代数系统

离散数学代数系统

离散数学代数系统
离散数学代数系统（DMA）是一种非常重要的自然科学的数学工具，它的应用涉及到很多领域，尤其有助于理解和解释有关数学物理和技术实践的问题。

例如，它可以用来解决常微分方程的相关性、热传导的传递的关系和任何复杂系统的建模和仿真。

离散数学代数是一个全面的研究领域，它包括各种数学工具，比如数论，偏微分方程，微分动力学和控制论等，以及如何实际应用这些工具来解决数学物理和技术实践的问题。

离散数学代数的主要任务是解决与数值计算有关的科学问题，为此，他们开发了一系列数据结构，比如图，矩阵和线性代数。

重点也放在了提出有效的算法来解决离散问题，比如图像处理、机器人控制和递归算法等。

随着计算机技术和网络技术的发展，离散数学代数越来越重要，它们被广泛应用于新技术的研究中，包括经过计算机处理的信号、全局优化和分布式计算环境等。

因此，离散数学代数对计算机科学和技术的发展有着重要的作用，其重要性日益增强。

离散数学第六章代数系统

离散数学第六章代数系统

6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而

离散数学-代数系统

离散数学-代数系统

代数系统
环的性质
• 设〈A，+， • 〉是一个环，则对任意的 • a, b,c∈A, 有 (1) a • θ= θ • a= θ（加法的幺元是乘法的零元） (2) a •(-b)=(-a) •b=-(a •b) (3) (-a) •(-b)=a •b (4) a •(b-c)=a •b-a •c (5) (b-c) •a=b •a-c •a 其中， θ是加法幺元，-a是a的加法逆元，并记 a+(-b)为a-b.
拉格朗日定理
• 设〈H，*〉是群〈G，*〉的一个子群， 那么 （1）R={〈a, b〉| a∈G, b∈G, a-1*b∈H} 是G中的一个等价关系；而且由R所确定 的等价类[a]R=aH。 （2） 如果G是有限集，|G|=n, |H|=m, 则 m|n (m整除n）。
代数系统
具有两个二元运算的代数系统
代数系统
代数系统的引入
• 设 f1, f2, …, fk 是在非空集合A上定义的运 算，这些运算与集合组成一个代数系统， 记作 <A, f1, f2, …, fk >. • 当运算只有一种时，通常写作<A, f>， • 而运算 f 通常表示成 *，•, ★, △, ◇, ⊕, ⊙等。
代数系统
封闭性与唯一性
代数系统
等幂性
• *是集合A上的一个二元运算，如果对于 任意的 x∈A, 都有 x*x=x, 则称运算*是等 幂的。
代数系统
运算表
• *是定义在集合A上的二元运算，A是有 限集，A={x1, x2, …, xn},那么对于任意的 xi, xj∈A, xi* xj 的结果放在以 xi 为行、xj 为列所组成的一个表格内。 • 例如
代数系统
子群

离散数学 第五章 代数系统


5.1 代数系统的基本概念
• 当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元 运算，等等。
• 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是 命题集合上的一元运算，合取和析取是命题集合 上的二元运算；在集合论中，集合的补是集合上 的一元运算，并与交是集合上的二元运算；在实 数算术中，加、减、乘、除运算都是二元运算。
可交换的二元运算，如果对于任意的x，yA，都
有
x*(x⊙y)=x 和 x⊙(x*y)=x
• 即(x)(y)(x，yA→x*(x⊙y)=x∧x⊙(x*y)=x),则称 运算*和运算⊙满足吸收律，或称*对于⊙以及⊙ 对于*是可吸收的。
5.2 运算及其性质
• 例5.9 给定<N，*，⊙>，其中N是自然数集合，* 和⊙定义如下： 对任意a，bN有a*b = max(a，b)，a⊙b = min(a， b)，试证，*和⊙互为吸收的。
1*(0⊙1)=1*0=1，而 (1*0) ⊙(1*1)=1⊙0=0
5.2 运算及其性质
• 形如表5-3的表常常称为运算表或复合表，它由运 算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部 分组成。对于集合的基数很小，特别是2或3时， 代数系统中运算常常用这种表给出。优点是简明 直观，一目了然。
• 性质5：吸收律 设*，⊙是定义在集合A上的两个
（1）x+yZ，
（封闭性）
（2）x+y=y+x
（交换律）
（3）(x+y)+z=x+(y+z)
（结合律）
• 容易找到与<Z，+>具有相同运算规律的一些代数 系统，如表5-2所示。
5.1 代数系统的基本概念
集合

离散数学PPT教学代数系统

在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造 数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究 的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统： 半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离 不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式 语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数 学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代 数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件 设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算 的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、 描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代 数知识。
试证：*，△满足吸收律
证明：x，y∈N，
x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y =x
∴*满足吸收律
x x<y
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y =x
∴△满足吸收律
x x<y
12
§7.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
3
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
20
三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，

离散数学几个典型的代数系统


{ a, b, c, e, f }是 L2的子格, 并且同构于五角格；
{ a, c, b, e, f }是 L3的子格, 也同构于钻石格.
25
全上界与全下界
定义 设L是格, 若存在 a∈L 使得 x∈L 有 a ≼ x, 则称 a 为 L 的全 下界； 若存在 b∈L 使得 x∈L 有 x ≼ b, 则称 b 为 L 的全 上界. 说明：
对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
10
格的定义
定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个
格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.
由 a ≼ a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼ a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨(a∧b) = a 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 得证.
18
格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, >是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则 可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗b, a∨b = ab.
4
零因子的定义与存在条件
设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子 环. 实例 <Z6,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子.

《离散数学》 第10章 代数系统

例10.1.8 实数集R上的乘法对加法是可分配的，但加法对 乘法不满足分配律。

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.7 设 ，*为集合A上的两个可交换二元运算， 若对任意x，y∈A，都有x （x*y）=x和x* （x y）=x，则 称运算 和运算*是可吸收的，或称运算 和运算*满足
例如，A=｛所有整数｝，B=｛所有不等于零的整
数｝，C=｛所有有理数｝，则
f： A×B→C，
(a,b) a b
是一个A×B到C的代数运算，也就是普通的除法。
10.1 二元运算及其性质
10.1.1 二元运算
定义10.1.2 设A为集合，如果f是A×A到A的代数运算，则称f 是A上的一个二元运算，也称作集合A对于代数运算f来说是 封闭的。

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律
吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，2 3≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23+32）×44）=（=223+，2×（32）3+）2×44≠=216（，3而42）（，3故4）该运
算也不满足结合律。

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.6 设 ，*为集合A上的两个二元运算，若对任意 x，y，z∈A，有x（y*z） = （x y）*（x z）和（y*z） x的=，（或y称x运）算*（z对x）运成算立*满，足则分称配运律算。 对运算*是可分配
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计算机科学学院
刘芳
第三部分 代数结构
引言 代数系统 群与环 格与布尔代数
2014-8-11 1
计算机科学学院
刘芳
引言
数学的三大核心领域 代数学：数学中研究数的部分 几何学：数学中研究形的部分 分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分 总体来说： 数学的三大类数学构成了整个数学的本体与核心。 在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与
古代中国: 算筹法 算筹计数
筹算开方法（九章算术 ）
2014-8-11 4
计算机科学学院
刘芳
1 文字叙述阶段
而古希腊则借助于几何图形的变换方法
最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras公元前585—497) 几何数论方法。
1+3+5+……+(2n-1)=n2
不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数 结论，恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重 要的代数结论
无
有 无
22
2014-8-11
对 不分配
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刘芳
9.1.3 二元运算的性质
定义9.7 设 ∘为集合S上二元运算，如果对于任意元 素 x, y, zS, x θ，都有 x ∘ y = x ∘ z y = z, y∘x=z∘xy=z 成立，则称 ∘ 运算满足消去律.
例如：
1. 2. 3. 4.
2014-8-11


{1} {2} {1,2}

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计算机科学学院
刘芳
9.1.2 运算的表示方法
例2： Z5＝ { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法
与乘法的运算表。 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
2014-8-11
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1
1553《综合算术》; 用 1 0进制小数表示实数
法国数学家 F.Viete(1540-1603)
2014-8-11
是第一个系统使用字母表示数的人，韦达在代数方程、三角学等许多方面都 作了杰出的贡献。 7
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刘芳
4结构代数阶段
结构代数（抽象代数、近世代数） 代数学的研究对象不再是个别的数字运算，而是
f(x1,x2,……,xn)
2.算符
用 ○ · * 等符号表示n元运算，称为算符。 几种形式，如：
前缀形式:
○ (x1,x2,…,xn)
中缀形式: x1○x2○…○xn
2014-8-11
后缀形式: (x1,x2,…,xn) ○
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刘芳
9.1.2 运算的表示方法
2014-8-11
10
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刘芳
9 .1 二元运算及其性质
9.1.1 运算的定义 9.1.2 运算的表示方法 9.1.3 二元运算的主要性质 9.1.4 二元运算的特殊元素 小结
2014-8-11 11
计算机科学学院
刘芳
9.1.1 运算的定义
定义9.2 (P166 )
设S是一个集合，函数f:S→S称为S上的一个一元
2014-8-11
普通加法和乘法满足消去律 矩阵加法满足消去律 矩阵乘法不满足消去律. 集合的并和交运算也不满足消去律
23
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刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
1.单位元 定义9.8： 设 ∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）S，使得 对任意 x∈S 都有 el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘运算的 左 ( 或右 ) 单位元. 若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位元，则 称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的单位元（幺元）.
2014-8-11 25
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刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
3.零元
定义 9.9 设 ∘为 S 上的二元运算, 如果存在θl ( 或θr)∈S，使 得对任意 x∈S 都有 θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右) 零元. 若θ∈S关于 ∘ 运算既是左零元又是右零元，则称θ 为 S 上关于∘运算的零元.
2014-8-11 26
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刘芳
实例：
集合 Z, Q, R
9.1.4 二元运算的特异元素
运算 普通加法+ 普通乘法 单位元 0 零元 无 逆元 x 的逆元 x
1
0
无
x 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X 逆元X
Mn(R)
矩阵加法+
矩阵乘法

E


B
X的逆元 X1 （X是可逆矩阵）
的逆元为
P(B)
并 交 对称差
B


无
B的逆元为B
X的逆元为X
27
2014-8-11
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刘芳
9.1.4 二元运算的特异元素
单位元的惟一性
定理9.1：设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关
于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于∘ 运算 的惟一的单位元. 证： ∵ el = el ∘ er = er ∴el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S 中的单位元，则有 e’ = e ∘ e’ = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理5.2.
定义9.1 (P165 )
设S是一个集合，函数f:S×S→S称为S上的一个二
元运算，简称为二元运算。
问题：
如何验证一个运算是否为S上的二元运算？
S中任意两个元素可以进行这种运算，且结果唯一。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是
封闭的 。
2014-8-11 13
计算机科学学院
2014-8-11
计算机科学学院
刘芳
9.1.3 二元运算的性质
定义9.6~9.7
设 ∘和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算
如果对于任意的 x, y, z∈S 有
(x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. 如果 ∘ 和 ∗ 都可交换, 并且对于任意的 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘和 ∗ 运算满足吸收律.
抽象的运算系统(如群、环、域 等)的代数结构。 事实上 不管是连续的还是离散的数学结构，常常是对 研究对象（自然数,实数,多项式,矩阵,命题,集合,图等） 定义种种运算（加,减,乘;与,或,非；交,补等） 然后讨论这些对象及运算的有关性质。
2014-8-11 8
计算机科学学院
刘芳
4结构代数阶段
2014-8-11 19
计算机科学学院
刘芳
例:
集合
Z, Q, R Mn(R)
9.1.3 二元运算的性质
运算
普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 交换律 有 结合律 有 幂等律 无
有
有 无 有 有 无 有
有
有 有 有 有 无 有
无
无 无 有 有 无 无
20
P(B)
并
交 相对补 对称差
其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
现在已经拥有100多个主要分支学科。
2014-8-11 2
计算机科学学院
刘芳
引言
代数学
代数学是建立在集合论基础上以代数运算为研究
对象的学科。
其范畴包括：
一门科学的历史是那门科学中最宝 贵的一部分，因为科学只能给我们 知识，而历史却能给我们智慧。
2014-8-11 21
计算机科学学院
刘芳
9.1.3 二元运算的性质
集合 运算 普通加法 + 与乘法 分配律 对 + 可分配 + 对 不分配 吸收律 无
Z,Q,R
Mn(R)
P(B)
矩阵加法 + 与乘法
并 与交 交 与对称差
对 + 可分配
+ 对 不分配 对 可分配 对 可分配 对 可分配
18
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
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刘芳
9.1.3 二元运算的性质
定义9.3~9.5
设 ∘为 S 上的二元运算,
如果对于任意的 x, yS 有x ∘ y = y ∘ x, 则称运算∘在 S 上满 足交换律. 如果对于任意的 x, y, zS 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),则称运 算∘在 S 上满足结合律. 如果对于任意的 xS 有 x ∘ x = x, 则称运算∘在 S 上满足 幂等律. (若S中某些x满足x ○ x ＝ x,则称x是运算○的幂等 元 )。
2014-8-11 6
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刘芳
3 符号代数阶段
符号代数阶段 用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的
这种符号演算形式。
代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学
公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代 数学公理系统。 代表数学家 德国数学家 M.Stiefel(1486-1567)