【数学】广东省东莞市南开实验学校2016-2017学年高二(下)2月月考试卷(理)(解析版)

广东省东莞市南开实验学校 2016—2017学年度下学期期初考高二数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 2.A ．B ．C ．D ． 3.若，则A. 1B. -1C. 0D. 0或-14.某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（ ） A. B. C. D.5．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有件、件、件、件．为了调查产品的情况，需从这件产品中抽取一个容量为的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为，设此次抽样中，某件产品被抽到的概率为，则，的值分别为（ ） 25， 20， 25， 25， 6. 已知为数列的前项和，若，且，则等于 A. 6 B. 12 C. 16 D. 247. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位移，得到函数的图象，则当时，函数的值域为 （ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 0,1⎡⎢⎣⎦D ． 8.数列满足，其前项的积为，则的值为（ ）A ．-3B ．1C ．2D ．9.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()12100,3cos 1004y t y t πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即）的声波的振幅为A. B. C. D. 310．中，，，则的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．11.若变量满足的约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且，则仅在点处取得最大值的概率为A. B. C. D. 12.设，，若对任意实数都有)sin()33sin(2c bx a x +=-π，则满足条件的的组数为（ ）A ．1组B ．2组 C.3组 D ．4组二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（下）期初数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+等于（）A．2+2i B．2 C．2﹣i D．2i2．设函数f（x）在x处导数存在，则=（）A．﹣2f′（2）B．2f′（2） C．﹣f′（2）D．f′（2）3．已知{a n}为等差数列，若a1+a2+a3=，a7+a8+a9=π，则cosa5的值为（）A．B．﹣ C．﹣D．4．已知p：|x﹣3|＜1，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．若直线ax+2by﹣2=0（a≥b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．1 B．3+2C．4 D．67．若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．函数y=的图象是（）A．B．C．D．10．设F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A．4 B． C．8 D．12．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣++…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数的所有零点均在[a，b]（a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．命题“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：．14．设点P在曲线y=e x上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为．15．下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④函数的最小值是1．正确的有．（请将你认为正确的说法的序号都写上）16．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共计70分．17．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．18．已知数列{a n}满足a l=﹣2，a n=2a n+4．+1（I）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．19．如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．21．设k∈R，函数f（x）=lnx﹣kx．（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（下）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+等于（）A．2+2i B．2 C．2﹣i D．2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由复数z=1﹣i（i是虚数单位），得，然后由复数代数形式的除法运算化简+，则答案可求．【解答】解：由复数z=1﹣i（i是虚数单位），得，则+==1+i+i﹣1=2i．故选：D．2．设函数f（x）在x处导数存在，则=（）A．﹣2f′（2）B．2f′（2） C．﹣f′（2）D．f′（2）【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义即可得出．【解答】解：=•=﹣f′（2）．故选：C．3．已知{a n}为等差数列，若a1+a2+a3=，a7+a8+a9=π，则cosa5的值为（）A．B．﹣ C．﹣D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差的性质，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差，从而可得a4+a5+a6的值，根据等差中项可得a5的值【解答】解：由题意，{a n}为等差数列，则a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差，∴a4+a5+a6=，那么3a5=，a5=，cosa5=cos=故选D4．已知p：|x﹣3|＜1，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由|x﹣3|＜1得2＜x＜4，即p：2＜x＜4由x2+x﹣6＞0，得x＞2或x＜﹣3，即q：x＞2或x＜﹣3则p是q的充分不必要条件，故选：C5．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．19【考点】进行简单的合情推理．【分析】要想求得单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．【解答】解：依题意，首先找出A到B的路线，①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4=7个．②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个．③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量是3+4+6+6=7+12=19个．故选：D．6．若直线ax+2by﹣2=0（a≥b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．1 B．3+2C．4 D．6【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线与圆的位置关系求出a，b的关系，就所求表达式，通过函数的单调性，求解最值即可．【解答】解：因为直线ax+2by﹣2=0（a≥b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，所以直线直线ax+2by﹣2=0过圆的圆心（2，1），则2a+2b﹣2=0，即a+b=1；则+==3．令t=，（0＜t≤1），则f（t）=t+在（0，1]上单调递减，f min（t）=f（1）=1+2+3=6，故+的最小值为6．故选：D．7．若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．8．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A9．函数y=的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法，即可判断【解答】解：∵y=为偶函数，∴图象关于y轴对称，排除A，C，当x=时，y=＜0，排除D，故选：B10．设F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．11．在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A．4 B． C．8 D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ①，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，化简tanA+tanB+tanC，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．∵a=2bsinC，∴sinA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，化简可得tanB+tanC=2tanBtanC ①．∵tanA=﹣tan（B+C）=＞0，∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，且tanB•tanC﹣1＞0．则tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC=•tanBtanC，令tanB•tanC﹣1=m，则m＞0，故tanA+tanB+tanC=•（m+1）=•（m+1）=•（m+1）==4+2m+≥4+2=8，当且仅当2m=，即m=1时，取等号，此时，tanB•tanC=2，故tanA+tanB+tanC的最小值是8，故选：C．12．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣++…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数的所有零点均在[a，b]（a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点，同理可得函数g（x）在[0，1]上有一个零点；即可得出结论．【解答】解：f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+ (x2014)x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）=2015＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，同理，g′（x）=﹣1+x﹣x2+ (x2014)x＞﹣1时，g′（x）＜0，g′（﹣1）=﹣2015＜0，x＜﹣1时，g′（x）＜0，因此g（x）是R上的减函数，∵g（0）=﹣1＜0，g（1）=（1﹣1）+（﹣）+…+（﹣）＞0∴函数g（x）在[0，1]上有一个零点；∴函数g（x﹣4）在[4，5]上有一个零点，∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点均在区间[a，b]，（a，b∈Z）内，∴a max=﹣4，b min=5，∴（b﹣a）min=5﹣（﹣4）=9．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．命题“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：∃x＞0，使得sinx＜﹣1．【考点】命题的否定．【分析】先否定题设，再否定结论．【解答】解：∵“∀x＞0”的否定是“∃x＞0”，“都有sinx≥﹣1”的否定是“使得sinx ＜﹣1”，∴“∀x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定是“∃x＞0，使得sinx＜﹣1”．故答案为：∃x＞0，使得sinx＜﹣1．14．设点P在曲线y=e x上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．【分析】设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=e x相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系，再由平行线的距离公式可得最小值．【解答】解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=e x相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，设直线y=x+b与曲线y=e x的切点为（m，e m），则由切点还在直线y=x+b可得e m=m+b，由切线斜率等于切点的导数值可得e m=1，联立解得m=0，b=1，由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=．故答案为：．15．下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④函数的最小值是1．正确的有①④．（请将你认为正确的说法的序号都写上）【考点】命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点判定定理，判断①是否正确；根据不等式恒成立的条件，判断②是否正确；利用三角函数线与角的弧度数的大小，判断③是否正确；用换元法求得三角函数的最小值，来判断④是否正确．【解答】解：对①，f（1）=﹣3，f（2）=ln2＞0，∵f（﹣1）×f（2）＜0，且f （x）在（1，2）上是增函数，∴函数在（1，2）内只有一个零点．故①正确；对②关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立⇒a=0或⇒0≤a＜1．故②不正确；对③根据正弦线|sinx|≤|x|当且仅当x=0取“=”，∴只有一个交点，故③不正确；对④设t=sinx+cosx=sin（x+），∴t∈[1，]，y=+t=（t+1）2﹣1，∴函数的最小值是1．故④正确．故答案是①④16．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F （1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题：本大题共6个小题，共计70分．17．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用．【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根∴∴|x1﹣x2|==∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．①当a＞0时，显然有解．②当a=0时，2x﹣1＞0有解③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．又命题q是假命题，∴a≤﹣1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a≤﹣1．18．已知数列{a n}满足a l=﹣2，a n=2a n+4．+1（I）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}满足a l=﹣2，a n+1=2a n+4，a n+1+4=2（a n+4），即可得出．（II）由（I）可得：a n+4=2n，可得a n=2n﹣4，当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，a n ≥0，可得n≥2时，S n=﹣a1+a2+a3+…+a n．【解答】（I）证明：∵数列{a n}满足a l=﹣2，a n+1=2a n+4，∴a n+1+4=2（a n+4），∴数列{a n+4}是等比数列，公比与首项为2．（II）解：由（I）可得：a n+4=2n，∴a n=2n﹣4，∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，a n≥0，∴n≥2时，S n=﹣a1+a2+a3+…+a n=2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n﹣4）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴S n=2n+1﹣4n+2．n∈N*．19．如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1，由此能证明AM⊥平面AA1B1B （Ⅱ）分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC，∴△ACD为等边三角形，又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB得，∴AM⊥AB，∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1，又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面AA1B1B解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2，∴DM=1，，∠AMD=∠BAM=90°，又∵AA1⊥底面ABCD，分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A1（0，0，2）、B（2，0，0）、、，∴，，，设平面A1BD的一个法向量，则有，令x=1，则，∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值：．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．【分析】（1）根据题意的离心率及点B的坐标，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面积；（2）①k1•k2为定值，证明，由（1）得a2=2b2，即可得到结论；②设直线AB的方程为y=k1（x﹣a），直线AC的方程为y=k2（x﹣a），令x=a+1得，求出△AEF的面积，结合①的结论，利用基本不等式，可求△AEF的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得解得a2=2b2=8，则△ABC的面积S=；（2）①k1•k2为定值，下证之：证明：设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），且，而由（1）得a2=2b2，所以；②设直线AB的方程为y=k1（x﹣a），直线AC的方程为y=k2（x﹣a），令x=a+1得，y E=k1，y F=k2，则△AEF的面积，因为点B在x轴上方，所以k1＜0，k2＞0，由得（当且仅当k2=﹣k1时等号成立）所以，△AEF的面积的最小值为．21．设k∈R，函数f（x）=lnx﹣kx．（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数f（x）的导数，当k=2时f'（1）=﹣1，帖点斜式写出切线方程即可；（2）当k＜0时，由f（1）•f（e k）＜0可知函数有零点，不符合题意；当k=0时，函数f（x）=lnx有唯一零点x=1有唯一零点，不符合题意；当k＞0时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；（3）设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，则lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，两式作差可得，lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2）即lnx1+lnx2=k（x1+x2），由可得lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，，设上式转化为（t＞1），构造函数，证g（t）＞g（1）=0即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，当k=2时，f'（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0；（2）①若k＜0时，则f'（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=﹣k＞0，f（e k）=k﹣ke a=k（1﹣e k）＜0，∴f（1）•f（e k）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点；②若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；③若k＞0，令f'（x）=0，得，在区间上，f'（x）＞0，函数f（x）是增函数；在区间上，f'（x）＜0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为，由于f（x）无零点，须使，解得，故所求实数k的取值范围是；（3）证明：设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，∴lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），lnx1+lnx2=k（x1+x2），∵，故lnx1+lnx2＞2，故k（x1+x2）＞2，即，即，设上式转化为（t＞1），设，∴，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，∴，∴lnx1+lnx2＞2．22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，即可求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，．故点P到直线l的距离的最小值为．（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，故a的取值范围为．2017年4月26日。

2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）10月期初数学试卷（文科）一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案．每题5分，满分60分1．若a＞b，则下列正确的是（）A．a2＞b2B．ac＞bc C．ac2＞bc2D．a﹣c＞b﹣c2．在△ABC中，A=60°，，则∠B等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．30°3．已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n+3，若a n=2 017，则n=（）+1A．667 B．668 C．669 D．6734．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5．若实数x，y满足，则S=2x+y﹣1的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．26．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式42﹣36+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．C．2，71，21，4xxx2，82，8）D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先求出关于的不等式的解集，然后根据新定义得到x的范围即可．【解答】解：由42﹣36+45＜0，得，又表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．故选C【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．8．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．9．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，∴cosC=，∴sinC=，==，∴S△ABC故选D．【点评】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC=的值是解题的关键．10．已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数ax+y的最小值为3，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分△ABC如右图），通过直线方程联解，可得A（1，0），B（3，4），C（1，2），设z=F（x，y）=ax+y，可得F（1，0）=a，F（3，4）=3a+4，F（1，2）=a+2，显然，实数a不是零，接下来讨论：①当a＞0时，z=ax+y的最小值为F（1，0）=a=3，符合题意；②当a＜0时，z=ax+y的最小值为F（1，0），F（3，4），F（1，2）中的最小值，∵F（1，0）=a为负数，说明z的最小值为负数∴找不到负数a值，使z=ax+y的最小值为3．综上所述，得a=3．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．同时考查了分类讨论的思想方法．11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【考点】基本不等式．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y 是关键，考查配方法求最值，属于中档题．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a8＞0，a9＜0，d＜0，即a n递减，前8项中S n递增，即当S n最大且a n取最小正值时，有最大值，从而可得答案．【解答】解：∵等差数列前n项和S n=•n2+（a1﹣）n，由S15=15a8＞0，S16=16×＜0可得：a8＞0，a9＜0，d＜0；故Sn最大值为S8．又d＜0，a n递减，前8项中S n递增，故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，即最大．故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式即等差数列的性质，分析得到当S n最大且a n取最小正值时，有最大值是关键，考查推理与运算能力，属于难题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据sin2A的值确定A的范围，然后把已知条件两边都加上1，利用同角三角函数间的基本关系把等式右边的“1”变为sin2A+cos2A，并利用二倍角的正弦函数公式把sin2A化简，等式的左边就变成一个完全平方式，根据A的范围，开方即可得到sinA+cosA 的值．【解答】解：因为A为三角形的内角且，所以2A∈（0，180°），则A∈（0，90°）把已知条件的两边加1得：1+sin2A=1+即1+2sinAcosA=sin2A+2sinAcosA+cos2A=（sinA+cosA）2=所以sinA+cosA==故答案为：【点评】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值．本题的突破点是“1”的变换，做题时应注意角度的范围．14．观察下列等式12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=．【考点】归纳推理．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…++n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=，故答案为：【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为米，则旗杆的高度为30米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先画出示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN=AN•s in∠NAM求得答案．【解答】解：如图所示，依题意可知∠NBA=45°，∠BAN=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠BNA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA，∴AN==20米∴在Rt△AMN中，MN=AN•sin∠NAM=20×=30米所以：旗杆的高度为30米故答案为：30．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．16．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈及任意y∈恒成立，则实数a取值范围是（﹣∞，1，21，41，21，4，4．【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，注意运用基本不等式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）.17．（10分）（2013秋•浦口区校级期中）某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设公司应该把楼建成x层，可知每平方米的购地费用，已知建楼5层时，每平方米的建筑费用为400元，从中可以得出建x层的每平方米的建筑费用，然后列出式子求最小值，就知道平均综合费用了．【解答】解：设该楼建成x层，则根据题意得，每平方米的购地费用为：1000000÷1000x=（元），每平方米的建筑费用为：400+400（x﹣5）×5%（元），∴每平方米的平均综合费用为：y=400+400（x﹣5）×5%+=+20x+300=20（x+）+300≥20×2+300=200+300，当且仅当x=，即x=，当x≈7时，y最小，∴公司应把楼层建成7层，综合费用最低．【点评】此题是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一，解决此题的关键要读懂题意，列出合适的式子，进而求解．18．（12分）（2016秋•东莞市月考）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a22=a1a5（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】（1）设出数列的公差，利用a22=a1a5建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（2）利用（1）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成等比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或d=4．当d=0时，a n=2；当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2，从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4a﹣2．（2）当a n=2时，S n=2n．显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立．当a n=4n﹣2时，S n==2n2．令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41．综上，当a n=2时，不存在满足题意的n；当a n=4n﹣2时，存在满足题意的n，其最小值为41．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2016秋•东莞市月考）设函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；基本不等式；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据二倍角公式、两角和与差的正余弦公式进行化简，可得f（x）=，再利用三角函数的周期公式加以计算，可得f（x）的最小正周期；（2）由得，结合B为三角形的内角算出B=．然后根据余弦定理与基本不等式，推出当且仅当a=c时，ac有最大值为25．由此利用三角形的面积公式，即可算出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵cos2x=1﹣2sin2x，cos（2x﹣）==，∴==，因此，函数f（x）的最小正周期；（2）∵f（x）=，∴，又∵B∈（0，π），可得B+∈（，），∴B+=，可得B=．因此，根据余弦定理得=，整理得：a2+c2﹣ac=b2=25．又∵根据基本不等式，得a2+c2≥2ac，∴ac≤a2+c2﹣ac=25，当且仅当a=c时，等号成立．由此可得：，当a=c=5时，△ABC面积的最大值为．【点评】本题将一个三角函数式进行化简，求函数的最小正周期并依此求三角形面积的最大值．着重考查了三角恒等变换公式、基本不等式、余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．20．（12分）（2013•宿迁一模）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式．【分析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y=25x﹣﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•东莞市月考）△ABC中，角A，B，C的对分别为a，b，c，且a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）求cosB的最小值．【考点】等差数列的性质；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，结合条件，即可证明a，b，c成等差数列；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求cosB的最小值．【解答】（1）证明：由正弦定理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB⇒sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB⇒sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB⇒sinA+sinC=2sinB．由正弦定理知a+c=2b，所以a，b，c成等差数列．…（2）解：cosB===•﹣≥﹣=，所以当a=c时，（cosB）min=．…（12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2013秋•天元区校级期中）实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a，b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）（a﹣1）2+（b﹣2）2的取值范围．【考点】简单线性规划的应用；函数零点的判定定理；直线的斜率；两点间的距离公式．【分析】（1）设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，在aob坐标系内作出相对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，利用三角形的面积公式即可算出该区域的面积；（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=表示D、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=的取值范围；（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，由两点的距离公式可得（a﹣1）2+（b﹣2）2表示点D、E之间距离的平方，再运动点E并观察D、E的距离变化，即可算出（a﹣1）2+（b﹣2）2的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=x2+ax+2b，∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，∴可得，即．作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0），∴，即为点（a，b）对应的区域的面积．（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率∵，结合图形可知：，∴的取值范围是；（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，可得|DE|2=（a﹣1）2+（b﹣2）2，表示区域内的点D、E之间距离的平方运动点E，可得当E在C点时满足|DE|2=（﹣1﹣1）2+（0﹣2）2=8，在当E在A点满足|DE|2=（﹣3﹣1）2+（1﹣2）2=17．由此可得（a﹣1）2+（b﹣2）2取值范围为：（8，17）．【点评】本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．。

南开实验学校2015-2016学年第二学期期初考试高二数学（理科）2016.3本试卷共2面，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，收卷时只交答题卷。

一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。

每题5分，满分60分） 1、若'0()3f x =-，则=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 2．'0()0=f x 是函数()f x 在点0x 处取极值的（ ）A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A12B 1C 2D 3 4、函数3239y x x x =--(22)x -<<有（ ）A ．极大值5，无极小值B ．极小值﹣27，无极大值C ．极大值5，极小值﹣27D ．极大值5，极小值﹣1122522π=--⎰-dx x x m、，则m 等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．14 B ．15 C ．16 D ．177、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角8、设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是( ) A. B. C. D.9、已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln =++f x x xf x ，则'(2)f 的值等于（ ）A ．2 B ．﹣2 C ．49-D ．4910、已知是奇函数的导函数，，当时，， 则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11、给出命题：若b a ,是正常数，且),,(,,+∞∈≠0y x b a 则yx b a y b x a ++≥+222)((当且仅当y b x a =时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数)),(()(2102192∈-+=x x x x f 的最小值及取最小值时的x 值分别为（ ）A ．1162+，132 B ．1162+， C ．25，132 D ．25，1512、设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e，1） (B)[-错误!未找到引用源。

南开实验学校2015-2016学年第二学期期初考试高二文科数学本试卷共2页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

说明：1、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

3、答案必须写在答题卡上，收卷时只交答题卡。

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1、表示旅客搭乘火车的流程正确的是 ( )A.买票→候车→检票→上车B.候车→买票→上车→检票C. 买票→候车→上车→检票D.修车→买票→检票→上车2．(1－i)2·i ＝（ ）A ．2－2iB ．2+2iC ． 2D ．－2 3. 复数534+i的共轭复数是： （ ） A ．34-i B ．3545+i C ．34+i D ．3545-i 4．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限5．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ． a ，b ，c 中至少有两个偶数B ． a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ． a ，b ，c 都是奇数D ． a ，b ，c 都是偶数7．数列﹛a n ﹜的前n 项和S n =n 2a n （n≥2）．而a 1=1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n =（ ）A ．B ．C ．D ．8．如果执行如图的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p 等于( ) 开 始 k=1，p=1输入n ，mA.720B. 240C. 360D.1209. “∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形10．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A ．①—综合法，②—分析法B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法11．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝ ( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…… A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 11312、如果复数Z 满足|Z+i|+|Z ﹣i|=2，那么|Z+i+1|最小值是（ ）A ．1B ．C ．2D ．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．回归直线方程为81.05.0ˆ-=x y ，则25=x 时，y 的估计值为_____________14、若3+2i 是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，则q 的值是_______.15、若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积1()2s r a b c =++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V=16．已知函数f （x ）满足：，4f （x ）f （y ）=f （x+y ）+f （x ﹣y ）（x ，y ∈R ），则f （2010）= ．三、解答题：本大题共6个小题；共70分．17.（11分）已知复数z=（2m 2﹣3m ﹣2）+（m 2﹣3m+2）i ． （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是：①实数； ②纯虚数； （Ⅱ）当m=0时，化简．18. （11分）求证：(1)222a b c ab ac bc ++≥++; (2) +>+19. （12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x （个） 2 3 4 5加工的时间y （小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程y=x+；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）20.(12分) 30．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本.（1）根据所给样本数据完成下面2×2列联表；（2）请问能有多大把握认为药物有效？不得禽流感 得禽流感 总计67225服药 不服药总计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；n a b c d =+++ P (K 2>k )0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8321．（12分）已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根.求实数a 的取值范围.22.（12分）从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为d 1，d 2，d 3，且相应各边上的高分别为h 1，h 2，h 3，求证：++=1．类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明．1-5 ACBAD 6-10 BBCBA 11-12 BA13. 11.69 14. 26 15. 12341()3R S S S S +++ 16.17.解答： 解：（Ⅰ）①当m 2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z 为实数． ②当时，解得，即m=﹣时，复数z 为纯虚数． （Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i ，∴．18. 证明：（1） ∵222a b ab +≥,222a c ac +≥，222b c bc +≥将此三式相加得2222()222a b c ab ac bc ++≥++,∴原式成立（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2即证402422>。

2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高一（下）期初数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．化简sin690°的值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．D．﹣2．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于（）A．﹣2 B．0 C．2 D．43．下列说法的正确的是（）A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示4．已知圆的半径为πcm，则120°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣16．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．外离7．已知cosθ=，且θ是第四象限角，则sinθ的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．8．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在9．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过的定点是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（1，﹣）D．（﹣2，0）10．已知点A（+1，0），B（0，2）．若直线l：y=k（x﹣1）+1与线段AB相交，则直线l倾斜角α的取值范围是（）A．[，]B．[0，]C．[0，]∪[，π）D．[，π）11．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0．设该圆过点（﹣1，4）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．30 C．45 D．6012．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则cosα=．14．若直线a2x+y+7=0和直线x﹣2ay+1=0垂直，则实数a的值为．15．若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为．16．点A（0，2）是圆O：x2+y2=16内定点，B，C是这个圆上的两动点，若BA ⊥CA，求BC中点M的轨迹方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）.17．已知tanα=﹣2，计算：（1）（2）．18．（1）已知角α终边上一点P（m，1），cosα=﹣，求tanα的值；（2）扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3cm2，求圆心角的大小．19．根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点（2，1）且与直线2x+3y=0平行；（2）与圆C：x2+y2=9相切，且与直线x﹣2y=0垂直．（3）经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等．20．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x﹣3y=0上，且截直线l2：x﹣y=0的弦长为2，求圆C的方程．21．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线方程为2x+y﹣3=0（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程．22．已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．（1）求圆C的方程；（2）求证：|AN|•|BM|为定值．2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高一（下）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．化简sin690°的值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式计算即可．【解答】解：sin690°=sin=﹣sin30°=﹣0.5，故选：B．2．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】三点共线．【分析】利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出a【解答】解：∵三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），∴=（a﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∵三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，∴2（a﹣2）=﹣2×（﹣2），∴a=4，故选：D．3．下列说法的正确的是（）A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示【考点】直线的两点式方程；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程．【分析】逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确的选项，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．【解答】解：选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0（x0，y0）的直线不可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示．选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A（0，b）的直线不可以用方程y=kx+b表示．选项C不正确，当直线和x 轴垂直或者与y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程表示．选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示．故选D．4．已知圆的半径为πcm，则120°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【考点】弧长公式．【分析】根据弧长公式：l=，进行运算即可．【解答】解：l==cm．故选：D．5．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考点】两条平行直线间的距离．【分析】化简直线l2，利用两直线之间的距离为d=，求出m，即可得出结论．【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选C．6．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，求得|C1C2|的值，根据2﹣2＜|C1C2|＜2+2，得到两圆相交．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0 即（x+1）2+（y+1）2=4，表示以C1（﹣1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，表示以C2（2，1）为圆心，以2为半径的圆．两圆的圆心距|C1C2|==，2﹣2＜|C1C2|＜2+2，故两圆相交，故选C．7．已知cosθ=，且θ是第四象限角，则sinθ的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限中的符号，求得sinθ的值．【解答】解：∵知cosθ=，且θ是第四象限角，则sinθ=﹣=﹣，故选：B．8．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在【考点】三角函数值的符号．【分析】根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．【解答】解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2＞0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3＜0∵4弧度小于弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4＞0∴sin2cos3tan4＜0故答案选A9．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过的定点是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（1，﹣）D．（﹣2，0）【考点】恒过定点的直线．【分析】直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P即得．【解答】解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）=0，对于a为任意实数时，此式恒成立有得，故定点坐标是（﹣2，3）．故选B．10．已知点A（+1，0），B（0，2）．若直线l：y=k（x﹣1）+1与线段AB相交，则直线l倾斜角α的取值范围是（）A．[，]B．[0，]C．[0，]∪[，π）D．[，π）【考点】直线的斜率．【分析】直线l：y=k（x﹣1）+1=kx﹣k+1经过C（1，1）点，斜率为k，k BC=k==﹣1，k AC=k==﹣，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．【解答】解：直线l：y=k（x﹣1）+1经过C（1，1）点，斜率为k，讨论临界点：当直线l经过B点（0，2）时，k BC=k==﹣1，结合图形知k∈（﹣1，+∞）成立；当直线l经过A（+1，0）时，k AC=k==﹣，结合图形知k∈（﹣∞，﹣）．综上a∈[0，]∪[，π）．故选：C．11．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0．设该圆过点（﹣1，4）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【考点】圆的一般方程．【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点（﹣1，4）的最长弦是圆的直径，最短弦是过该点与最长弦垂直的直线与圆相交得到的弦．【解答】解：圆的方程可化为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25…①则圆心O（3，4），半径r=5AC长为过点（﹣1，4）和点O的圆的直径d=2×5=10，斜率k=0，BD为最短弦，所以应与AC垂直为x=﹣1…②②代入①得：y2﹣8y+7=0解得：x=1或x=7∴BD=7﹣1=6，则四边形ABCD面积=AC×BD=×10×6=30．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A 与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．14．若直线a2x+y+7=0和直线x﹣2ay+1=0垂直，则实数a的值为0或2．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】由直线垂直可得a2•1+1•（﹣2a）=0，解方程可得．【解答】解：∵两条直线a2x+y+7=0和直线x﹣2ay+1=0互相垂直，∴a2•1+1•（﹣2a）=0，解得a=0或a=2故答案为：0或2．15．若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为．【考点】直线的斜率；直线与圆的位置关系．【分析】利用的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值．【解答】解：=，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设=k，则kx﹣y=0．由=，得k=±，故（）max=，（）min=﹣．故答案为：16．点A（0，2）是圆O：x2+y2=16内定点，B，C是这个圆上的两动点，若BA ⊥CA，求BC中点M的轨迹方程为x2+y2﹣2y﹣6=0．【考点】轨迹方程．【分析】设M（x，y），连接OC，OM，MA，则由垂径定理，可得OM⊥BC，OM2+MC2=OC2，即可求BC中点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），连接OC，OM，MA，则由垂径定理，可得OM⊥BC，∴OM2+MC2=OC2，∵AM=CM，∴OM2+AM2=OC2，∴x2+y2+x2+（y﹣2）2=16，即BC中点M的轨迹方程为x2+y2﹣2y﹣6=0．故答案为：x2+y2﹣2y﹣6=0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）.17．已知tanα=﹣2，计算：（1）（2）．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数间的基本关系，将所求关系式转化为关于tanα的式子，代入计算，可得结论．【解答】解：（1）∵tanα=﹣2，∴===﹣；（2）====﹣5．18．（1）已知角α终边上一点P（m，1），cosα=﹣，求tanα的值；（2）扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3cm2，求圆心角的大小．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用三角函数的定义即可求出，（2）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．【解答】解：（1）根据任意角的三角函数定义得，cosα==﹣，解得m=﹣由正切函数的定义得，tanα==﹣2，（2）由题意可得解得，或∴α==或α=6．19．根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点（2，1）且与直线2x+3y=0平行；（2）与圆C：x2+y2=9相切，且与直线x﹣2y=0垂直．（3）经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等．【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【分析】（1）过点（2，1）且与直线2x+3y=0平行，设直线方程为2x+3y+c=0，则4+3+c=0，即可得出结论；（2）与圆C：x2+y2=9相切，且与直线x﹣2y=0垂直，设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，则=3，即可得出结论；（3）经过点（3，2），设直线方程为y﹣2=k（x﹣3），利用在两坐标轴上的截距相等，即可得出结论．【解答】解：（1）设直线方程为2x+3y+c=0，则4+3+c=0，c=﹣7，∴所求直线方程为2x+3y﹣7=0．（2）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，∴=3，得b=±3，∴所求直线方程为y=﹣2x±3．（3）由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0．设直线方程为y﹣2=k（x﹣3），令x=0，则y=﹣3k+2；令y=0，则x=3﹣．由题设可得﹣3k+2=3﹣，解得k=﹣1或k=．故l的方程为y﹣2=﹣（x﹣3）或y﹣2=（x﹣3）．即直线l的方程为x+y﹣5=0或2x﹣3y=0．20．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x﹣3y=0上，且截直线l2：x﹣y=0的弦长为2，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：∵圆心C在直线l1：x﹣3y=0上，∴可设圆心为C（3t，t）．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径r=|3t|．∴，解得t=±1，∴所求的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9 …21．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线方程为2x+y﹣3=0（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；【解答】解：（1）∵AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，其斜率为，∴直线AB的斜率为2，且过A（0，1）所以AB边所在的直线方程为y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0；（2）联立直线AB和BE的方程：，解得：，即直线AB与直线BE的交点为B（，2），设C（m，n），则AC的中点D（，），由已知可得，解得：，∴C（2，1），BC边所在的直线方程为，即2x+3y﹣7=0．22．已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．（1）求圆C的方程；（2）求证：|AN|•|BM|为定值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为，且，C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离，即可求圆C 的方程；（2）分类讨论，求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，即可证明结论．【解答】（1）解：知点C在线段AB的中垂线y=x上，故可设C（a，a），圆C的半径为r．∵直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为，且，∴C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离，∴a=0，或a=170．又圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，∴a=0，圆C的方程x2+y2=4．（2）证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|•|BM|=8．当直线PA与直线PB的斜率存在时，设P（x0，y0），直线PA的方程为，令y=0得．直线PB的方程为，令x=0得．∴=，故|AN|•|BM|为定值为82017年5月8日。

广东省东莞市南开实验学校2014-2015学年高二下学期期初考试数学（理）试题2015.4本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项）1.已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒2.函数33y x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ．(1,)+∞3.曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°4.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－195.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如右图所示，则函数 f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3537. 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 38.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x x f x '+⋅<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A (4,0)(4,)-⋃+∞B (4,0)(0,4)-⋃C (,4)(4,)-∞-⋃+∞D (,4)(0,4)-∞-⋃二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9.211(2)x dx x+=⎰10.设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________. 11.函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．12.若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 13.点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 14.已知1()sin f x x =，1()()n n f x f x -'=，2n ≥，则20081(0)ii f ==∑三．解答题（解答请写出必要的文字说明、推理计算过程，只写结果不得分）15.函数3()65f x x x =-+，.x R ∈ ⑴求函数()f x 的单调区间和极值；⑵若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实根，求实数a 的取值范围。

高二下学期期初考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1.2x y =在1=x 处的导数为 （ ） A. x 2 B.2x ∆+ C.2 D.12.函数33x x y -=的单调增区间是 （ ）A.(0,+∞)B.(－∞,－1)C.(－1,1)D.(1,+∞)3.函数a x x x f +-=2332)(的极大值为6，那么a 等于 （ ） A.6 B.0 C.5D.1 4.下列求导运算正确的是（ ）（ ）A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ．(x 2cos x )′=－2x sin x5..函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ( )A 1个B 2个C 3个D 4个6.已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为 （ ） A.3B 2C 1D 127.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）. A 假设三内角都不大于60度； B 假设三内角都大于60度；C 假设三内角至多有一个大于60度；D 假设三内角至多有两个大于60度。

8..当x ≠0时，有不等式 ( ).1x Ae x <+ .1x B e x >+.01,01x x C x e x x e x ><+<>+当时当时 .01,01x x D x e x x e x <<+>>+当时当时 设。

二．填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9.=⎰.10.函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是 ;最小值是 .11.质点M 按规律223s t =+作匀加速直线运动,则质点M 在2t =时的瞬时速度为 , 12.由抛物线223y x x =-+与直线3y x =+所围成的图形的面积是 .13. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

广东省东莞市南开实验学校2014-2015学年高二下学期期初考试数学（文）试题本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

5.0.150.100.050.0250.010.0050.0012.07 22.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．设为虚数单位，则复数（）A． B． C． D．2．双曲线的离心率的值为（）A．B．C．D．3. 独立性检验中，假设：变量X与变量Y没有关系．则在成立的情况下，（可参照卷首独立性检验临界值表）表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为1% B．变量X与变量Y有关系的概率为99%变量X与变量Y没有关系的概率为99% D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%4．在中，若，，，则=（）A． B． C． D．5.运行如右图所示的程序框图，则输出的的值是( )A.120B.105C.15D.56．设且则的最小值是（）A. B. C. D.7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()成绩性别不及格及格总计男 6 14 20女10 22 32总计16 36 52视力性别好差总计男 4 16 20女12 20 32总计16 36 52智商性别偏高正常总计男8 12 20女8 24 32总计16 36 52阅读量性别丰富不丰富总计男14 6 20女 2 30 32总计16 36 52 A．成绩B．视力 C．智商D．阅读量8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时） 2.534 4.5由表中数据算的线性回归方程=bx+a中的b≈0.7，试预测加工10个零件需_________个小时。

广东省东莞市南开实验学校2013-2014学年高二数学下学期起初考试试题 理 新人教A 版注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，收卷时只交答题卷。

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于 ( ) A 1 B -i C ±1 D ±i2. 若f(x)为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则过曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线方程的斜率为（ ）A -2B -1C 1D 23. 已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为 ( ) A.－3B.2C.－3或2D.12 4. 函数f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t 在(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围是 ( )A ．t >5B ．t <5C ．t ≥5D ．t ≤55.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21 f (－x )d x 的值等于 ( ) A.56 B.12 C.23 D.166. 函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为 ( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <127. 定积分ʃ10[1－x －2－x ]d x 等于 ( )A.π－24 B.π2－1 C.π－14 D.π－128. 已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为 ( )A.2 0112 012B.20152014C.2 0122 013D. 20142013 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。