广东省东莞市南开实验学校初中部2020-2021学年第一学期12月考九年级数学试卷

2020～2021学年度第二学期南开区九年级模拟数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页.试卷满分120分. 考试时间100分钟.答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回.祝你考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点. 2．本卷共12题，共36分.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）计算)3()6(-÷- 的结果是（A ）2 （B ）－2 （C ）-9 （D ）－3（2）︒30cos 2的值等于（A ）33（B （C ）1 （D ）3 （3）今年“五一”假期前三日，我市五大道文化旅游区共接待游客23.5万人次，将“23.5万”用科学计数法表示为（A ）310235⨯ （B ）4105.23⨯（C ）51035.2⨯（D ）610235.0⨯(4）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ） (B) (C) (D)（5）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（A ） （B ）（C ） （D ） （6）估计29的值在（A ）2和3之间 （B ）3和4之间 （C ）4和5之间 （D ）5和6之间（7）方程组⎩⎨⎧=-=+52332y x y x ，的解是（A ）⎩⎨⎧==32y x ， （B ） ⎪⎩⎪⎨⎧==212y x ，（C ）⎩⎨⎧==11y x ， （D ）⎩⎨⎧-==11y x ， （8）已知分式A ＝442-x ，B ＝xx -++2121，其中2±≠x ，则A 与B 的关系是 （A ）A ＝B（B ）A ＝﹣B（C ）A ＞B（D ）A ＜B（9）若点)2(1y ，-，)1(2y ，-，)3(3y ，在反比例函数6y x=-的图象上，则321y y y ，，的大小关系是（A ）321y y y ＜＜ （B ）123y y y ＜＜ （C ）312y y y ＜＜（D ）213y y y ＜＜（10）如图，在平面直角坐标系xOy ，四边形OABC 为正方形，若点B （1,3），则点C 的坐标为 （A ）)2,1(-（B ）)25,1(-（C ）)2,23(- （D ）)23,1(-（11）如图，在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝9，点D 为BC 边上的中点，将△ACD 沿AD 对折， 使点C 落在同一平面内的点C '处，连接BC '， 则BC '的长为 （A ）29 （B ）527 （C ）23 （D ）32 （12）二次函数5)1(2+--=x y ，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为5m ，最大值为5n ，则m +n 的值为（A ）0 （B ）－1 （C ）－2 （D ）－32020～2021学年度第二学期南开区九年级模拟数学试卷第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B 铅笔）. 2．本卷共13题，共84分.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（13）计算23)2(y -的结果是 ．（14）计算)37)(37(-+的结果等于 ．（15）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，则它是白球的概率为 ． （16）已知函数b kx y +=（k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等式kx +b ＞0的解集 为 ．（17）如图，菱形ABCD 和菱形EFGH 的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD 落在EF 上， ∠A ＝∠E ，若△BCF 的面积为4cm 2， 则△BDH 的面积是 2cm ． （18）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，C 为格点，点B 为所在小正方形 边长的中点．（Ⅰ）BC 的长为 ；（Ⅱ）若点M 和N 在边BC 上，且∠BAM ＝∠MAN ＝∠NAC ，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺作图，并简要说明点M 和N 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） （19）（本小题8分）解不等式组组⎪⎩⎪⎨⎧-≥--+②①，＞423117)1(5x x x x请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．（20）（本小题8分）某校为了解学生每周参加家务劳动的情况，随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 ，图①中m 的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）根据统计的这组每周参加家务劳动时间的样本数据，若该校共有800名学生，估计该校每周参加家务劳动的时间大于1h 的学生人数．3-032-1-12已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.（22）（本小题10分）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．（I）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（II）求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，≈1.4，≈1.7）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示．（I）根据图象信息填表：加工时间t（时） 3 4 8甲组加工零件的数量（个）a＝（Ⅱ）填空：①甲组工人每小时加工零件个；②乙组工人每小时加工零件个；③甲组加工小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个；（Ⅲ）分别求出y甲、y乙与t之间的函数关系式．（24）（本小题10分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A（3,0），B（0,4）．（I）点C的坐标是（，）；（II）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求△OPF的面积；（III ）在（II ）的情形下，若再将平行四边形OFDE 沿y 轴正方向平移，设平移的距离为d ，当平移后的平行四边形''''E D F O 与平行四边形OABC 重叠部分为五边形时，设其面积为S ，试求出S 关于d 的函数关系式，并直接写出d 的取值范围．（25）（本小题10分）在平面直角坐标系中，抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=（k 为常数）. （I ）当k ＝2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标； （II ）若抛物线经过点)1(2k ，，求k 的值；（III ）若抛物线经过点)2(1y k ，和点)2(2y ，，且21y y ＞，求k 的取值范围； （IV ）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当21≤≤x 时，新抛物线对应的函数有最小值23-， 求k 的值.2020～2021学年度第二学期南开区九年级阶段练习数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABCADDBBDABD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（13）64y （14）4 （15）21 （16）2＜x （17）217（18）（I ）265（II ）取格点G 、H ，分别连结AG 、AH 交边BC 于 点M 、点N ，即为所求．三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19．（本小题8分）解： （Ⅰ）3＜x ； 2分（Ⅱ）2-≥x ； 4分 （Ⅲ） 6分（Ⅳ） 32＜x ≤-． 8分3-032-1-1220．（本小题8分）解：（Ⅰ）40，25； 2分 （Ⅱ）观察条形统计图，∵x =5.1310158425.2102155.18145.0=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4分∴ 这40个样本数据的平均数是1.5 .∵在这组样本数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多，∴ 这组样本数据的众数是1.5 . 5分 将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是1.5，有5.125.15.1=+， ∴这组样本数据的中位数是1.5. 6分 （Ⅲ） ∵在40名学生中，每周参加家务劳动的时间大于1h 的学生比例为（37.5%+25%+7.5%）∴800×（37.5%+25%+7.5%）＝800×70%＝560，答：该校800名学生中每周参加家务劳动的时间大于1h 的学生有560人． 8分21．（本小题10分）（I ）解：连接OB 1分 ∵P A 、PB 与圆O 相切于点A,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° 2分 ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° 3分 ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34°∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68° 4分又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC =62)56180(21=-∴∠APB =68°，∠BDC=62 5分（II ）连接OB ∵BC ＝CE∴∠CBE ＝∠CEB 6分 ∵∠BCP ＝28°∴∠CBE ＝76228180=- 7分∵OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° 8分 ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° 9分 ∵P A 与圆O 相切于点A ∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42° 10分22．（本小题10分）（I ）由已知得：∠AEP ＝18°，AP ＝BP ＝AB ＝17， 2分 在Rt △APE 中， ∵AEAP AEP =∠sin ，∴573.01718sin sin ≈≈︒=∠=AP AEP AP AE ，答：眼睛E 与显示屏顶端A 的水平距离AE 约为57cm ； 4分 （II ）如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， 5分 ∵∠EAB +∠BAF ＝90°，∠EAB +∠AEP ＝90°， ∴∠BAF ＝∠AEP ＝18°， 6分 在Rt △ABF 中，AF ＝AB •cos ∠BAF ＝34×cos18°≈34×0.95≈32.3，BF ＝AB •sin ∠BAF ＝34×sin18°≈34×0.3≈10.2， 8分 ∵BF ∥CD ，∴∠CBF ＝∠BCD ＝30°，∴CF ＝BF •tan ∠CBF ＝10.2×tan30°＝10.2×≈5.78， 9分∴AC ＝AF ＋CF ＝32.3＋5.78≈38．答：显示屏顶端A 与底座C 的距离AC 约为38cm ． 10分（23）（本小题10分） （Ⅰ）3分（II ） ① 40； ② 120； ③ 7 6分 (III ) （1）当03t 时，t y 40=甲; 当43≤t ＜时，120=甲y ;当84≤t ＜时，140b t y +=甲加工时间t （时） 3 4 8 甲组加工零件的数量（个）120120a ＝280∵图象经过（4,120），则1440120b +⨯=， 解得：401-=b∴ 当84≤t ＜时，4040-=t y 甲.∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤=)84(404043(120)3040t t t t t y ＜）＜（甲 9分（2）设2b kt y +=乙把(5,0)，(8,360)分别代入，得⎩⎨⎧+=+=22836050b k b k解得⎩⎨⎧-==6001202b k ∴y 乙与时间t 之间的函数关系式为：）乙85(600120≤≤-=t t y . 10分 24.（本小题10分）解：（Ⅰ）（﹣3，4）； 2分 （Ⅱ）由旋转的性质，可得：OF ＝OA ＝3，OB ＝OD ＝4 ∵∠DFO ＝∠BAO ＝∠C ， ∴∠DFO ＋∠BOC ＝90°， ∴∠FPO ＝90°，由sin ∠BOC ＝53，cos ∠BOC ＝54∴PF ＝53OF ，OP ＝54OF∴S△OPF＝PF •OP ＝255435354212=⨯⨯⨯；7分（III ）当1＜d ＜413时， ∵OF ’＝d+3，OO ’＝d ，BF ’=d+3-4∴S ＝222)43(3421545321)3(545321-+⨯-⨯⨯-+⨯⨯x x d 7511275208322++-=d d ．10分25.（本小题10分）解：（I ）当k ＝2时，1254)12(222--=-+--=x x x x y ， 1分 2)1(1222--=--=x x x y ，∴此抛物线顶点坐标为（1，－2）; 2分（II ）把)1(2k ，代入抛物线解析式，得k k k k 25)1(2122-+--=，解得：32=k 3分 (III )依题意，有k k k k k k k y 23252)1(202(2221+=-+⋅--=，8213252)1(222222+-=-+⨯--=k k k k k y 5分∵21y y ＞， ∴82132322+-+k k k k ＞， 解得：1＞k 6分 （IV ）∵ )12()1(25)1(2222--++-=-+--=kk x k k x k x y 将抛物线向右平移1个单位长度得到的新解析式为 )12()(2--+-=kk x y 7分 ① 当1＜k 时，21≤≤x 时对应的抛物线部分位于对称轴右侧，∴当1=x 时y 有最小值，k k k k y 25121)1(22-=---=最小 ∴23252-=-k k 解得231=k （舍），12=k （舍） 8分② 当21≤≤k 时，顶点为图象最低点 ∴当k x =时y 有最小值，121--=k y 最小 ∴23121-=--k 解得：1=k 9分 ③ 当2＞k 时，21≤≤x 时对应的抛物线部分位于对称轴左侧， ∴当2=x 时y 有最小值，329121)2(22+-=---=k k k k y 最小 ∴233292-=+-k k 解得231=k （舍），32=k综上，1=k 或3=k 10分。

2021-2022学年度第一学期南开区期末试卷九年级数学一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A ．射击运动员射击一次，命中靶心B ．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球C ．班里的两名同学，他们的生日是同一天D ．经过红绿灯路口，遇到绿灯3．下列函数中，其图象经过点（2，﹣2）的反比例函数关系式是（ ）A ．y ＝﹣x 4B ．y ＝x 4C ．y ＝x 2D ．y ＝x2 4．如图，转盘的A 扇形、B 扇形和C 扇形的圆心角分别为90°、120°、150°，让转盘自由转动1次，指针落在A 区域的概率是（ ）A ．21B ．31C ．41D ．125第4题 第5题 5．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，DF ＝（ ）A ．7B ．7.5C ．8D ．4.56．如图，AB 为⊙O 的切线，点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，连接AD 、CD ，OA ，若∠ADC ＝35°，则∠ABO 的度数为（ ）A ．25°B ．20°C ．30°D ．35°第6题 第7题7．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O 的半径是R ，它的外切正六边形的边长为（ ）A ．332RB ．3RC ．23RD ．6R8．若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都是反比例函数y ＝xa 12--上的三点，若x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列关系式中正确的是（ ）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 1＜y 2＜y 3 9．若反比例函数y ＝x k 2+的图象在其所在的每一象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜﹣2 B ．k ＞﹣2 C ．k ＜2 D ．k ＞210．如图，在圆中半径OC//弦AB ，且弦AB=CO=2，则图中阴影部分面积为（ ）A ．π61B ．π31C ．π32D ．π第10题 第11题 第12题11．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△ADE ，点C 的对应点E 恰好落在BA 的延长线上，DE 与BC 交于点F ，连接BD ．下列结论不一定正确的是（ ）A ．AD ＝BDB ．AC ∥BD C ．DF ＝EF D ．∠CBD ＝∠E12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在点（0，2）与点（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝2．有下列结论：①abc ＜0； ②5a +3b +c ＞0；③﹣53＜a ＜﹣52；④若点M （﹣9a ，y 1），N （35a ，y 2）在抛物线上，则y 1＜y 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．已知⊙O 的半径为10，直线AB 与⊙O 相切，则圆心O 到直线AB 的距离为 ．14．在一个暗箱里放有m 个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m 的值大约是 ．15．已知反比例函数xk y 1的图象与正比例函数y ＝k 2x 的图象的一个交点坐标为（﹣3，4），则另一个交点坐标为 ． 16．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，对称轴为x ＝﹣1，与x 轴的一个交点为（1，0），则方程ax 2+bx +c ＝0的解为 ．第16题 第17题 17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，三个切点分别为D 、E 、F ，若BF ＝2，AF ＝3，则△ABC 的面积是（ ）18．如图，已知点A （2，0），B （0，4），C （2，4），若在所给的网格中存在一点D ，使得CD 与AB 垂直且相等．（1）直接写出点D 的坐标 ；（2）将直线AB 绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合，则这个旋转中心的坐标为 ．三．解答题（本大题共7小题，共66分）19．国庆节期间，电影“长津湖”热映．有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有这张电影票．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．20．如图，直线y 1＝x +b 交x 轴于点B ，交y 轴于点A （0，2），与反比例函数xk y2的图象交于C （1，m ），D （n ，﹣1），连接OC 、OD ．（1）求k 的值；（2）求△COD 的面积；（3）根据图象直接写出y 1＜y 2时，x 的取值范围．21．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE ＝∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB ＝6，AE ＝4，求AC ，CD 的长．22．如图，AC 是⊙O 的直径，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是点A 、B（1）如图1，若∠BAC ＝25°，求∠P 的度数．（2）如图2，若M 是劣弧AB 上一点，∠AMB ＝∠AOB ，BC =2，求AP 的长．23．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8﹣2x，CF＝x+2，DF＝3x﹣3．（1）x的取值范围是：；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）x若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（3）求矩形OFCH的面积S的取值范围．24．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），将Rt△AOB绕点B逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°）得到Rt△DCB．（1）求AB的长；（2）当旋转角α＝20°时，如图1，AB与CD交于点F，求∠BFC的度数；（3）当旋转角α＝60°时，如图2，连接OD，求OD的长．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020-2021学年广东省东莞中学初中部九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分并且是中心对称图形2．方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后，常数项为（）A．6B．﹣8C．2D．﹣43．在一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，我们随机从中取出一个记下颜色，不再放回，从中再摸出一个，摸出的两个球的颜色不同的概率是（）A．B．C．D．4．如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（）A．B．C．D．5．已知∠A是锐角，且tan A＝，则sin A的值是（）A．B．C．D．根据此条件无法计算出sin A的值6．下列说法正确的是（）A．相似多边形都是位似多边形B．有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似C．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似D．所有的菱形都相似7．自从国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富道路，据统计某地区2018年6月份有贫困人口2.85万人，通过社会各界的努力，2020年6月份统计贫困人口减少至0.73万人，若设2018年6月份到2020年6月份该地区贫困人口的年平均下降率为x，则根据题意可列方程为（）A．2.85（1﹣2x）＝0.73B．0.73（1+x）2＝2.85C．0.73（1+2x）＝2.85D．2.85（1﹣x）2＝0.738．如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.5）C．（0，3）D．（0，4）9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（）A．3B．4C．5D．10．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，则tan B的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知α是锐角，sin（α+15°）﹣2，则cosα＝．12．如图是王芳同学某一天观察到的一棵树在不同时刻的影子，请你把它们按时间先后顺序进行排列是．13．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6．点D和E分别在边BC和AC上，且∠ADE＝60°，BD＝2，则CE的长为．14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是cm．15．如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y＝的图象上，过点A作AD∥x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y＝，则k的值是．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．解方程．（1）﹣3x2﹣4x+4＝0；（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．17．随着信息技术的发展，人们在购物时的支付方式多样且便捷．可以用微信、支付宝、银行卡、现金四种方式在某商场购物的张老师可以随机的采用这四种方式中的任意一种结账．一天，他在这个商场有两次结账行为．请你用画树状图或列表格的方式，求出张老师两次结账采用不同方式的概率．18．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围．19．如图是某堤坝经过改造后的横断面梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，此处，堤坝的正上方有高压线通过，点P，D，H在一条直线上，点P是高压线上离堤面AD最近的点，酬得∠PCD＝26°．（1）求斜坡CD的坡角α．（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，此次改造是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）20．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．21．如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米．（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子．（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度．22．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．23．（1）问题发现如图1，在△ABC和△DEC中，AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠EDC＝60°，点D是BC的垂线AF上任意一点．填空：①的值为，②∠ABE的度数为．（2）类比探究如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，点D 是BC的垂线AF上任意一点，求的值和∠ABE的度数，并说明理由．（3）问题解决在（2）的条件下，若AB＝6，CD＝2，请直接写出BE的长．。

2020-2021学年东莞市九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 线段B. 等边三角形C. 五角星D. 等腰梯形2.点A(−5,4)关于原点的对称点A′的坐标为()A. (5,4)B. (5,−4)C. (−5,4)D. (−5,−4)3.若方程x2+ax−2a=0的一个根是1，则a的取值是()A. 1B. −1C. 0D. −24.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2+3=0的两实数根为x1，x2，设t=x1+x2，则t的k 最大值为()A. −2B. 2C. −4D. 45.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1,m)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，下列结论错误的是()A. a−b+c>0B. b2=4a(c−m)C. 2a+c<0D. 一元二次方程ax2+bx+c=m−1有两个不相等的实数根6.若抛物线y=(x+1)2先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式是()A. y=(x+2)2+2B. y=x2−2C. y=x2+2D. y=(x+2)2−27.下列说法不正确的是()A. 气象台预报“本市明天降水概率是30%”是指本市明天将有可能降水B. “神舟十一号”发射前检查零部件要普查C. 小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的频率是0.4D. 从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本8.如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是【】A. 2：3B. ：C. 4：9D. 8：279.在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升()A. 1分米B. 4分米C. 3分米D. 1分米或7分米10.如图，函数y=kx与y=−kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.如图，点A在双曲线y=−2x (x<0)上，连接OA，作OB⊥OA，交双曲线y=8x于点B，则OAOB的值为______．12.如图，在8×8的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”，设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，且AB=3√2，点A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A< x C<x B，那么符合上述条件的抛物线的条数是______．13.有五张形状完全相同不透明的卡片，每张卡片上分别写有0，√3，−1，√4，1，π，将无字一27面朝上洗匀后，从中任取一张，取到的是无理数的概率是______．14.若关于x的方程x2+bx+6=0有一根是x=2，则b的值是______ ．15.∠α的补角是它的2倍，则∠a的余角等于______度．16.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB′C′.若∠B=∠B′=90°，AB=1，BC=2，则旋转过程中弧CC′的长为______(结果保留π)．17.如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的半轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以AB长为半径作弧，两弧交于点C.若点C的坐标为(m−1,2n)，则m与n的点A，B为圆心，以大于12关系为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.解下列方程：①x2+3x−4=0；②6x2−x−12=0；③3(x−5)2=2(5−x)；④3x2+5(2x+1)=0．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．20.如图，已知AB是半圆O直径，点C为半圆上一动点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，得到△ACE，AE交半⊙O于点F．(1)求证：直线CE与⊙O相切；(2)若∠OCA=∠ECF，AD=8，EC=6，求CF的长．21.某超市销售一种饮料，平均每天可售出200箱，每箱利润12元，为尽可能多的减少库存，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出40箱．若要使每天销售该饮料获利2800元，则每箱应降价多少元？22.已知：如图，一次函数y=√33x+m与反比例函数y=√3x的图象在第一象限的交点为A(1,n)．(1)求m与n的值；(2)设一次函数的图象与x轴交于点B，连结OA，求∠BAO的度数．23.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(−4,1)，点B的坐标为(−1,1)．(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1；(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算C1C2的长．24.如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．(1)求证：CD是小半圆M的切线；(2)若AB=8，点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，设PD=x，CD2=y．①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当y=3时，求P，M两点之间的距离．25.已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．(1)当直线l：y=x+b与⊙O只有一个交点时，求b的值；(2)当反比例函数y=k的图象与⊙O有四个交点时，求k的取值范围；x(3)试探究当n取不同的数值时，二次函数y=x2+n的图象与⊙O交点个数情况．参考答案及解析1.答案：A解析：解：A、线段既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：B解析：解：点A(−5,4)关于原点对称点A′的坐标是A(5,−4)，故选：B．根据关于原点对称的点的坐标的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点对称的点的坐标的横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键．3.答案：A解析：解：根据题意，得12+a−2a=0，解得，a=1．故选A．将x=1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程即可求得a的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4.答案：D解析：解：∵关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2+3=0的两实数根为x1、x2，∴x1+x2=2(k−1)，∴t=x1+x2k =2(k−1)k=2−2k．∵关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2+3=0有实数根，∴△=[−2(k−1)]2−4(k2+3)=−8k−8≥0，解得：k≤−1，∴t=2−2k≤4．故选：D．根据根与系数的关系可得出x1+x2=2(k−1)，将其代入t=x1+x2k 中可得出t=2−2k，由方程有实数根，利用根的判别式△≥0可求出k的取值范围，进而即可求出t的最大值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用方程有实数根求出k的取值范围是解题的关键．5.答案：C解析：解：对称轴为x=1，且m>0，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在(−1,0)与(−2,0)之间，∴当−1≤x≤3，y>0，且△>0，开口向下，a<0(A)当x=−1时，y=a−b+c>0，故A正确，(B)∵顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)，∴4ac−b24a=m，∴b2=4a(c−m)，故B正确(C)∵−b2a=1，∴b+2a=0，∵a−b+c>0，∴3a+c>0，故C错误(D)当y<m时，抛物线与y=m有两个交点，∵y=m−1<m，∴一元二次方程ax2+bx+c=m−1有两个不相等的实数根，故D正确．故选：C．由题意可知：对称轴为x=1，且m>0，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在(−1,0)与(−2,0)之间，从而可判断出正确答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，△与0的大小关系，本题属于中等题型．6.答案：D解析：解：将抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y=(x+1)2−2，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y=(x+1+1)2−2，即y=(x+2)2−2，故选：D．根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．7.答案：D解析：解：A、气象台预报“本市明天降水概率是30%”是指本市明天将有可能降水，正确；B、“神舟十一号”发射前检查零部件要普查，正确；=0.4，正确；C、小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的频率是1025D、从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生的体考成绩是总体的一个样本，故本选项不正确；故选：D．根据概率公式和总体、个体、样本、样本容量的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了概率公式和总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握定义和公式是解题的关键．8.答案：C解析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，所以两个相似三角形面积的比是(2:3)²=4:9．故选C9.答案：D解析：解：连接OA.作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG=3分米，因为OA=5cm，根据勾股定理得到：OG=4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．此题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．本题容易忽视的是分情况讨论．10.答案：B解析：解：在函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)中，当k>0时，函数y=kx的图象在第一、三象限，函数y=−kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、D错误，选项B正确，当k<0时，函数y=kx的图象在第二、四象限，函数y=−kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．11.答案：12解析：解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∴S△AOC=12×|−2|=1；S△BOD=12×8=4，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∴S△AOCS△OBD =(OAOB)2，即(OAOB)2=14，∴OAOB =12，故答案为：12．过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可得出S△AOC=12×|−2|=1；S△BOD=12×8=4，由条件证得△AOC∽△OBD，从而得出S△AOCS△OBD =(OAOB)2，即(OAOB)2=14，即可求得OAOB=12．本题主要考查反比例函数系数k 的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．12.答案：10解析：解：过点(0,0)，(2,4)，(3,3)的抛物线为y =−x 2+4x ，将抛物线向上、向右平移一个单位，得到符合条件的新抛物线；可平移4次；∴开口向下共有5条符合条件的抛物线；同理，开口向上的也有5条；∴共有10条．故答案为10．由原点出发，寻找一条符合条件的抛物线，继而在8×8的网格中平移，最后的得到符合条件的抛物线．本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握抛物线在坐标系中的性质是解答本题的关键．13.答案：25解析：解：∵五个数0，√3，−1，√4，127，π中，无理数是√3，π，∴从中任取一张，取到的数是无理数的概率是：25，故答案为：25．0，√3，−1，√4，127，π中共有2个无理数，则从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的概率是25． 此题主要考查了概率的计算，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 14.答案：−5解析：解：∵一元二次方程x 2+bx +6=0的一个实数根为2，∴4+2b +6=0，解得b =−5．故答案为：−5．已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b 的值．此题主要考查了一元二次方程的解，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值． 15.答案：30解析：解：由题意得：180°−∠α=2∠α，解得：∠α=60°，则∠a 的余角=90°−60°=30°；故答案为：30．由题意得出180°−∠α=2∠α，解得∠α=60°，由余角定义即可得出答案．本题考查了余角和补角；熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．16.答案：√52π 解析：解：在Rt △ABC 中，AC =√AB 2+BC 2=√12+22=√5，CC′的弧长=90⋅π⋅√5180=√52π. 故答案为：√52π. 根据勾股定理可将斜边AC 的长求出，以点A 为中心，AC 长为半径逆时针旋转，点C 所形成的轨迹CC′是扇形．本题考查弧长的计算，圆周角定理，旋转变换等知识，解题的关键是记住弧长公式l =nπr 180．17.答案：m +2n =1解析：解：由作图可知，点C 在∠AOB 的角平分线上，∴点C 的横坐标与纵坐标互为相反数，∴m −1+2n =0，∴m +2n =1，故答案为：m +2n =1．由作图可知，点C 在∠AOB 的角平分线上，推出点C 的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．本题考查作图−基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.答案：解：①(x +4)(x −1)=0，x +4=0或x −1=0，所以x 1=−4，x 2=1；②(2x −3)(3x +4)=0，2x −3=0或3x +4=0，所以x 1=32，x 2=−43；③3(x −5)2+2(x −5)=0，(x −5)(3x −15+2)=0，x −5=0或3x −15+2=0，所以x 1=5，x 2=133； ④3x 2+10x +5=0，△=102−4×3×5=40，x =−10±√402×3=−5±√103所以x 1=−5+√103，x 2=−5−√103．解析：①利用因式分解法解方程；②利用因式分解法解方程；③先移项得到3(x −5)2+2(x −5)=0，然后利用因式分解法解方程；④先把方程整理为一般式，然后利用求根公式法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了公式法解一元二次方程．19.答案：解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，所以两次取出的小球标号相同的概率为13．解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20.答案：(1)证明：将△ACD 沿AC 翻折，得到△ACE ，∴△ACD≌△ACE ，∴∠EAC =∠DAC ，∵OA =OC ，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠EAC，∴OC//AE，∵∠AEC=90°，∴∠ECO=90°，∴OC⊥EC，∴直线EC是⊙O的切线；(2)解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴CD2=AD⋅BD，∵CD=CE=6，AD=8，∴BD=628=92，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CFE=∠DBC，在△CEF和△CDB中，{∠CFE=∠CBD∠E=∠CDB=90°CE=CD∴△CEF≌△CDB(AAS)，∴CF=BD=92．解析：(1)根据折叠的性质得到△ACD≌△ACE，求得∠EAC=∠DAC，推出OC//AE，根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据射影定理求得BD，然后通过证得△CEF≌△CDB即可得到结论．本题考查的是切线的判定、圆周角定理及图形翻折变换的性质，射影定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．21.答案：解：设每箱降价x元，则每天可售出(200+40x)箱，依题意，得：(12−x)(200+40x)=2800，整理，得：x2−7x+10=0，解得：x1=2，x2=5．∵为尽可能多的减少库存，增加利润，∴x=5．答：每箱应降价5元．解析：设每箱降价x元，则每天可售出(200+40x)箱，根据总利润=每箱的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.答案：解：(1)∵点A(1,n)在双曲线y=√3x上，∴n=√3，又∵A(1,√3)在直线y=√33x+m上，∴m=2√33；(2)过点A作AM⊥x轴于点M．∵直线y=√33x+2√33与x轴交于点B，∴√33x+2√33=0．解得x=−2．∴点B的坐标为(−2,0)．∴OB=2，∵点A的坐标为(1,√3)，∴AM=√3，OM=1，在Rt△AOM中，∠AMO=90°，∴tan∠AOM=AMOM=√3，∴∠AOM=60°，由勾股定理，得OA=2，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠BAO=12∠AOM=30°，∴sin∠BAO =12， ∴∠BAO =30°． 解析：(1)把点A(1,n)坐标代入y =√3x 即可求得n ，再把A(1,√3)坐标代入y =√33x +m 可求m ； (2)由直线y =√33x +2√33，求得点B 的坐标为(−2,0)，即OB =2，由点A 的坐标为(1,√3)，由三角函数可求得∠AOM =60°，由勾股定理求得得OA =2，得到OA =OB ，推出∠OBA =∠BAO ，于是求得∠BAO =30°，由正弦函数的定义可得结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角函数的定义，利用点的坐标得到∠BAO 的度数是解决本题的突破点．23.答案：解：(1)如图，Rt △A 1B 1C 1即为所求；(2)如图，Rt △A 2B 2C 2即为所求，C 1C 2=√12+52=√26．解析：(1)根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A 1的坐标即可；(2)根据网格结构找出点A 1、B 1、C 1绕点A 1顺时针旋转90°后的对应点A 2、B 2、C 2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出C 1C 2的长度．本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的计算公式，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．24.答案：解：(1)连接CO 、CM ，如图1所示．∵AO 是小半圆M 的直径，∴∠ACO =90°即CO ⊥AP ．∵OA =OP ，∴AC =PC ．∵AM =OM ，∴CM//PO ．∴∠MCD=∠PDC．∵CD⊥OP，∴∠PDC=90°．∴∠MCD=90°，即CD⊥CM．∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，∴直线CD是小半圆M的切线．(2)①∵CO⊥AP，CD⊥OP，∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．∴∠OCD=90°−∠DCP=∠P．∴△ODC∽△CDP．∴CDDP =ODCD．∴CD2=DP⋅OD．∵PD=x，CD2=y，OP=12AB=4，∴y=x(4−x)=−x2+4x．当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；∵点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，∴0<x<4．∴y与x之间的函数关系式为y=−x2+4x，自变量x的取值范围是0<x<4．②当y=3时，−x2+4x=3．解得：x1=1，x2=3．Ⅰ.当x=1时，如图2所示．在Rt△CDP中，∵PD=1，CD=√3．∴tan∠CPD=CDPD=√3，∴∠CPD=60°．∵OA=OP，∴△OAP是等边三角形．∵AM=OM，∴PM⊥AO．∴PM=√PO2−MO2=√42−22=2√3．Ⅱ.当x=3时，如图3所示．同理可得：∠CPD=30°．∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO=30°．∴∠POB=60°过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．∵sin∠POH=PHOP =PH4=√32，∴PH=2√3．同理：OH=2．在Rt△MHP中，∵MH=4，PH=2√3，∴PM=√MH2+PH2=√42+(2√3)2=2√7．综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2√3或2√7．解析：(1)连接CO、CM，只需证到CD⊥CM.由于CD⊥OP，只需证到CM//OP，只需证到CM是△AOP 的中位线即可．(2)①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP⋅OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P 与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，因此自变量x的取值范围为0<x<4．②当y=3时，得到−x2+4x=3，求出x.根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．25.答案：解：(1)∵y=x+b与⊙O只有一个交点，∴y=x+b与x轴，与y轴的交点坐标分别为：(±b,0)，(0,±b)，∴△AOB为等腰直角三角形，CO=AC=BC=1，∴b的值为：b=±√2；(2)∵反比例函数y=kx的图象与⊙O有四个交点，∵当图象与与⊙O有二个交点时，曲线与圆相切，得出DF=OF=√22，∴xy=k=12，∴−12<k<12(k≠0)；(3)①当n>1时，有0个交点；②当n=1时，有1个交点；③当−1<n<1时，有2个交点；④当n=−1时，有3个交点；⑤当−1.25<n<−1时，有4个交点；⑥当n=−1.25时，有2个交点；⑦当n<−1.25时，有0个交点；简解：∵x2+y2=1而y=x2+n即x2=y−n，代入得y−n+y2=1，即y2+y−n−1=0，要使二次函数图象与下半圆只有两个交点，根据对称性，y必须唯一，∴△=4n+5=0，n=−54．解析：(1)根据已知条件得出两种符合要求的解析，利用等腰三角形的性质，分别求出即可；(2)利用特殊点当反比例函数两曲线与圆相切时，求出DF=OF，从而得出xy的值，进而得出取值范围；(3)根据当n>1时，有0个交点；②当n=1时，有1个交点；③当−1<n<1时，有2个交点；④当n=−1时，有3个交点；⑤当−1.25<n<−1时，有4个交点；⑥当n=−1.25时，⑦当n<−1.25时，分别分析得出．。

2020-2021学年广东省东莞中学初中部九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列性质中，矩形具有而菱形不一定有的是()A. 对角线互相垂直B. 对角线互相平分C. 四个角是直角D. 四条边相等2.方程(x+√2)(x−√2)+(2x−3)2=3(3−4x)化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的积为()A. 5B. −10C. 0D. 103.一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 454.从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2.从正面看图2的几何体，得到的平面图形是图1 图2A. B. C. D.5.如果α是锐角，且sinα=35，那么cos(90°−α)的值为()A. 45B. 35C. 34D. 436.下列每组的两个图形不是位似多边形的是()A. B.C. D.7.国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得()A. 9(1−2x)=1B. 9(1−x)2=1C. 9(1+2x)=1D. 9(1+x)2=18.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上．如果矩形OAˈBˈCˈ与矩形OABC关于点O位似，且矩形OAˈBˈCˈ与矩形OABC的相似比为12，那么点Bˈ的坐标是()A. (−2,3)B. (2,−3)C. (3,−2)或(−2,3)D. (−2,3)或(2,−3)9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D为BC的中点，则线段AD的长为()A. 1.5B. 2C. 2.5D. 310.如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y=kx(k<0,<0)的图象上一点A作AB⊥x轴于B，连结AO，过点B作BC//AO交y轴于点C.若点A的纵坐标为4，且tan∠BCO=32，则k的值为()A. −6B. −12C. −24D. 24第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若sinα=√2cos60°，则锐角α=______．12.一天上午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么_______(填“甲”或“乙”)是参加400m比赛时照的．13.如图，在等边△ABC中，边长为9，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=3，则CD=____．14.在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是___________．15.已知反比例函数y=k在第一象限的图象如图所示，点Ax=3，则k=______．是在图象上AB⊥OB，且S△AOB三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.解方程：x2−3x=1．17. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字不同外其余均相同．小平从口袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，记下数字．用画树状图(或列表)的方法，求小平两次摸出的小球上的数字之和为奇数的概率．18. 已知关于x 的一元二次方程(1−k)x 2−2x −1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．19. 某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52米到达坡顶点B 处，然后在点B 处测得大楼顶点C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡度为i =1：2.4，点A 到大楼的距离AD 为72米，求大楼的高度CD ． (参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)20.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．(1)求证：四边形BPEQ是菱形；(2)若AB=6，F为AB中点，连接FO，OF+OB=9.求AE的长．21.如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高(线段AB)在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．(1)在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；(2)小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；(3)若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+1(m≠0)的图象与反比例函数y=1的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，点M在x轴负半轴上，x,n)．四边形OCMB是平行四边形，点A的坐标为(12(1)写出点B、C的坐标，并求一次函数的表达式；(2)连接AO，求△AOB的面积；−1的解集．(3)直接写出关于x的不等式mx<1x23.已知：如图，点P是等边△ABC内一点，连接PC，以PC为边作等边三角形△PDC，连接PA，PB，BD．(1)求证：∠APC=∠BDC；(2)当∠APC=150°时，试猜想△DPB的形状，并说明理由；(3)当∠APB=100°且DB=PB，求∠APC的度数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：矩形的性质有：四个角都是直角；对角线互相平分且相等；菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；矩形具有而菱形不一定有的是：四个角都是直角．故选：C．由矩形的性质和菱形的性质，容易得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的性质；熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】先把方程化为一般形式，分别求出二次项系数与一次项系数，再求出其积即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：∵原方程可化为：5x2−2=0，∴其二次项系数为5，一次项系数为0，∴二次项系数与一次项系数的积为0．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是列举法求概率(列表法与树状图法)的有关知识，根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色相同的情况，然后根据概率公式求解．解：画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有8种结果，∴两次取出的小球颜色相同的概率为820=25．故选B．4.【答案】D【解析】【分析】根据画三视图的具体画法及步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．【解答】解：图1的三视图如下图所示：故选D．5.【答案】B【解析】解：∵α为锐角，sinα=35，∴cos(90°−α)=sinα=35．故选：B．根据互为余角三角函数关系，解答即可．本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．【解析】【分析】本题主要考查位似图形的判定。

2020-2021学年广东省东莞中学初中部九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．﹣的相反数是（）A．﹣B．C．﹣2D．22．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．3﹣＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y23．2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只，4000亿用科学记数法表示为（）A．4×103亿B．4×107亿C．4×1010亿D．4×1011亿4．下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．若x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，则x1+x2的值是（）A．3B．﹣3C．5D．﹣56．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．37．不等式组的解集是（）A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣18．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为（）A．B．C．D．9．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则该等腰三角形的周长为（）A．12B．16C．12或16D．1510．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x ＝﹣2，给出四个结论：①c＞0；②抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0）；③4a﹣b ＝0；④若M（﹣3，y1）与N（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共7小题）.11．（4分）函数y＝自变量x的取值范围是．12．（4分）分解因式：2x2﹣18＝．13．（4分）方程＝的解为．14．（4分）若代数式a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a﹣8＝．15．（4分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C 在反比例函数y＝的图象上，则k的值为．17．（4分）已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：﹣|﹣3|+（π﹣2017）0﹣（）﹣2．19．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．20．（6分）如图，△ABC内接于⊙O．（1）作∠B的平分线与⊙O交于点D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；（2）在（1）中，连接AD，若∠BAC＝60°，∠C＝66°，求∠DAC的大小．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）在国家的调控下，某市商品房成交价由今年8月份的50000元/m2下降到10月份的40500元/m2．（1）问8、9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/m2？请说明理由．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1的图象交y轴于点D，与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点A．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．（1）点D的坐标为；（2）当四边形OBAC是正方形时，求k值．23．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD 的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A 的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）b＝，c＝，点B的坐标为；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．25．（10分）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△ODC，连接BC．（1）填空：∠OBC＝°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求y与x的函数关系式．参考答案一、选择题（共10小题）.1．﹣的相反数是（）A．﹣B．C．﹣2D．2解：﹣的相反数是，故选：B．2．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．3﹣＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y2解：A．2a+3a＝5a，因此选项A不符合题意；B．（﹣3a）2＝9a2，因此选项B不符合题意；C．3﹣＝（3﹣1）＝2，因此选项C符合题意；D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，因此选项D不符合题意；故选：C．3．2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只，4000亿用科学记数法表示为（）A．4×103亿B．4×107亿C．4×1010亿D．4×1011亿解：4000亿＝4×103亿，故选：A．4．下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．5．若x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，则x1+x2的值是（）A．3B．﹣3C．5D．﹣5解：∵x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，∴x1+x2＝﹣3．故选：B．6．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．3解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴＝4，解得：x＝3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．7．不等式组的解集是（）A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1解：，由①得：x＞4，由②得：x＞﹣1，不等式组的解集为：x＞4，故选：A．8．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为（）A．B．C．D．解：连接OA，如图：∵弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，∴OE＝OC＝1，AE＝BE，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE＝＝＝，∴AB＝2AE＝2，故选：D．9．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则该等腰三角形的周长为（）A．12B．16C．12或16D．15解：∵x2﹣8x+15＝0，∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，则x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为5+5+6＝16，故选：B．10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x ＝﹣2，给出四个结论：①c＞0；②抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0）；③4a﹣b ＝0；④若M（﹣3，y1）与N（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：由函数图象可得，c＞0，故①正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），故②错误，∵对称轴为x＝﹣＝﹣2，得4a﹣b＝0，故③正确，∵函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，∴点M（﹣3，y1）比点N（，y2）离对称轴近，∴y1＞y2，故④错误；故选：B．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将正确答案填写在答题卡相应的位置上11．（4分）函数y＝自变量x的取值范围是x≥5．解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥512．（4分）分解因式：2x2﹣18＝2（x+3）（x﹣3）．解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）13．（4分）方程＝的解为x＝1．解：两边同时乘2x（x+3），得x+3＝4x，解得x＝1．经检验x＝1是原分式方程的根．14．（4分）若代数式a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a﹣8＝﹣5．解：移项得：a2﹣a＝1，两边同时乘3得：3a2﹣3a＝3，∴3a2﹣3a﹣8＝3﹣8＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（4分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为12．解：多边形的边数：360°÷30°＝12，则这个多边形的边数为12．故答案为：12．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C 在反比例函数y＝的图象上，则k的值为﹣6．解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k＝﹣6．故答案为：﹣6．17．（4分）已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：﹣|﹣3|+（π﹣2017）0﹣（）﹣2．解：原式＝＝．19．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．解：原式＝•＝当x＝+1时，原式＝＝20．（6分）如图，△ABC内接于⊙O．（1）作∠B的平分线与⊙O交于点D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；（2）在（1）中，连接AD，若∠BAC＝60°，∠C＝66°，求∠DAC的大小．解：（1）如图所示，BD即为所求．（2）∵∠BAC＝60°、∠C＝66°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝54°，由作图可知BD平分∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABC＝27°．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）在国家的调控下，某市商品房成交价由今年8月份的50000元/m2下降到10月份的40500元/m2．（1）问8、9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/m2？请说明理由．解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x，根据题意得：50000（1﹣x）2＝40500，解得：x1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）不会跌破30000元/m2．40500（1﹣x）2＝40500×0.92＝32805＞30000，∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元/m2．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1的图象交y轴于点D，与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点A．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．（1）点D的坐标为（0，1）；（2）当四边形OBAC是正方形时，求k值．解：（1）由于点D是一次函数y＝kx+1的图象与y轴的交点，当x＝0时，y＝kx+1＝1，所以点D的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）；（2）正方形OBAC中，OB＝AB，设OB＝AB＝a，则点A（a，a），代入反比例函数解析式得，∴a2＝16，∴x＝4或x＝﹣4（不合题意，含去），∴A的坐标为A（4，4），代入一次函数y＝kx+1中，得4＝4k+1，解得．23．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD 的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG，∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD，∴AB＝AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠FAG＝60°，∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A 的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）b＝﹣2，c＝﹣3，点B的坐标为（﹣1，0）；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∴点B的坐标为（﹣1，0）．故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．（2）存在．理由：如图所示：①当∠ACP1＝90°．由（1）可知点A的坐标为（3，0）．设AC的解析式为y＝kx﹣3．∵将点A的坐标代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．∴直线CP1的解析式为y＝﹣x﹣3．∵将y＝﹣x﹣3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝1，x2＝0（舍去），∴点P1的坐标为（1，﹣4）．②当∠P2AC＝90°时．设AP2的解析式为y＝﹣x+b．∵将x＝3，y＝0代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3．∴直线AP2的解析式为y＝﹣x+3．∵将y＝﹣x+3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），∴点P2的坐标为（﹣2，5）．综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．（3）如图2所示：连接OD．由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴．∴点P的纵坐标是．∴，解得：．∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．25．（10分）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△ODC，连接BC．（1）填空：∠OBC＝60°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求y与x的函数关系式．解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°．故答案为：60；（2）如图1，∠BAP＝90°，OB＝4，∠ABO＝30°，∴，由旋转得：△BOC是等边三角形，BC＝OB＝4，∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，∴，∴＝×OP×AC，∴；（3）①当时，M在OC上运动，N在OB上运动，如图2，过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则，∴．∴；②当时，M在BC上运动，N在OB上运动，如图3，作MH⊥OB于H，则，∴；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．则MN＝12﹣2.5x，，∴；综上所述，y＝．。

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx 题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）试题2:下列计算正确的是（）A、 B、C、 D、试题3:若，则的值为（）A． B． C． D．试题4:下列根式中属最简二次根式的是（）评卷人得分A、B、 C、 D、试题5:已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－4x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A.a<2 B, a<2且a≠1 C.a<5 D. a<5且a≠1 试题6:用配方法解方程，下列配方正确的是（）A、 B、 C、 D、试题7:某商品经过两次降价，由单价100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（）A、8.5﹪B、9﹪C、 9.5 ﹪D、10﹪[试题8:点N关于原点对称的点M的坐标是（-1，3），则N的坐标是（）A.（1，-3）B.（1,3）C.（1，-3）D.（0，0）试题9:已知实数在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为（）A.1B.－1C.D.试题10:如图，⊙O的半径为2，弦AB =，E为弧AB 的中点，OE交AB于点F，则OF的长为（）．A. B.C. 1 D.试题11:等边三角形绕中心点至少旋转度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转度后能与自身重合试题12:摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了90张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是试题13:已知为两个连续整数，且，则试题14:如图, 某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。

设道路宽是X，则列方程为试题15:当实数的取值使得有意义时，函数中，的取值范围是_ _试题16:若，则__________.试题17:（试题18:当x为何值时,代数式的值与代数式的值相等?试题19:已知⊙O中，AD＝BC，求证：AB＝CD。

2018学年广东省东莞市南开实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2=1 B．x2+﹣9=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2=12．（3分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和133．（3分）在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）种．A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．30°B．40°C．46°D．60°5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上6．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC=110°，则∠ABC的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°7．（3分）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米 B．8米 C．7米 D．5米8．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞39．（3分）二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=x2﹣2 B．y=（x﹣2）2 C．y=x2+2 D．y=（x+2）210．（3分）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若α，β是方程x2﹣2x﹣5=0的两个实数根，则α2+β2=．12．（4分）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．13．（4分）若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．14．（4分）点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是（m，2），那么m=，n=．15．（4分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=度．16．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为．三、解答题（每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x（x+4）=﹣3（x+4）．18．（6分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问经过三轮传染后共有多少个人患流感？19．（6分）已知平面直角坐标系中三点的坐标分别为：A（4、4），B（﹣2，2），C（3，0）（1）画出它的以原点O为对称中心的△AˊBˊCˊ；（2）写出Aˊ，Bˊ，Cˊ三点的坐标．四、解答题（每小题7分，共21分）20．（7分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．（7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．22．（7分）如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF沿直线m向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG．猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想．五、解答题（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由．由此思考：△PBQ的面积最多为多少cm2？24．（9分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．2018学年广东省东莞市南开实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2=1 B．x2+﹣9=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2=1【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；B、该方程不是整式方程，故本选项错误；C、该方程中，当a=0时，它不是一元二次方程，故本选项错误；D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；故选：D．2．（3分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和13【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x1=2，x2=4，当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．故选：B．3．（3分）在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：正三角形是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形；矩形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：B．4．（3分）如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．30°B．40°C．46°D．60°【解答】解：∵根据题意得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，∴∠AC′C=∠C=70°，∴∠AC′B=180°﹣∠AC′C=110°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=40°．故选：B．5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上【解答】解：∵函数y=2（x﹣3）2的顶点为（3，0），∴顶点在x轴上．故选：C．6．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC=110°，则∠ABC的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三点，∠AOC=110°，∴∠ABC=∠AOC=55°．故选：B．7．（3分）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米 B．8米 C．7米 D．5米【解答】解：因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO﹣DO=13﹣5=8．故选B．8．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3【解答】解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．结合图象可见，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故选：D．9．（3分）二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=x2﹣2 B．y=（x﹣2）2 C．y=x2+2 D．y=（x+2）2【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为：（0，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=x2+2．故选C．10．（3分）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若α，β是方程x2﹣2x﹣5=0的两个实数根，则α2+β2=14．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两根是α，β，∴α+β=2，αβ=﹣5，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣5）=14．故答案为：14．12．（4分）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）π﹣2．【解答】解：S扇形===π，S△AOB=×2×2=2，则S阴影=S扇形﹣S△AOB=π﹣2．故答案为：π﹣2．13．（4分）若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为4．【解答】解：二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，求得x1=﹣1，x2=3，则AB=|x2﹣x1|=4．14．（4分）点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是（m，2），那么m=﹣3，n=﹣2．【解答】解：根据两点关于原点的对称，横纵坐标均变号，∴m=﹣3，n=﹣2．故答案为：﹣3；﹣2．15．（4分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=23度．【解答】解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA==67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°．故答案为：2316．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为x=3或x=﹣7．【解答】解：据题意得，∵（x+2）*5=（x+2）2﹣52∴x2+4x﹣21=0，∴（x﹣3）（x+7）=0，∴x=3或x=﹣7．故答案为：x=3或x=﹣7三、解答题（每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x（x+4）=﹣3（x+4）．【解答】解：x（x+4）+3（x+4）=0，（x+4）（x+3）=0，x+4=0或x+3=0，所以x1=﹣4，x2=﹣3．18．（6分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问经过三轮传染后共有多少个人患流感？【解答】解：设1个人传染x人，根据题意列方程得，（x+1）2=121，解得x1=10，x2=﹣12（不合题意，舍去），则第三轮传染后共有（10+1）3=1331人．故经过三轮传染后共有1331个人患流感．19．（6分）已知平面直角坐标系中三点的坐标分别为：A（4、4），B（﹣2，2），C（3，0）（1）画出它的以原点O为对称中心的△AˊBˊCˊ；（2）写出Aˊ，Bˊ，Cˊ三点的坐标．【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示；（2）A′（﹣4，﹣4），B′（2，﹣2），C′（﹣3，0）．四、解答题（每小题7分，共21分）20．（7分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．（7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．【解答】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD．22．（7分）如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF沿直线m向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG．猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想．【解答】解：（1）AB=AE，AB⊥AE；（2）将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合），理由如下：∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°，又∵AC=BC，DF=EF，∴∠DEF=∠D=45°，在△CEG中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE+∠DEF=90°∴∠CGE=∠DEF=45°，∴CG=CE，在△BCG和△ACE中，∵，∴△BCG≌△ACE（SAS），∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合）．五、解答题（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由．由此思考：△PBQ的面积最多为多少cm2？【解答】解：根据题意，知BP=AB﹣AP=5﹣t，BQ=2t．（1）根据三角形的面积公式，得PB•BQ=4，t（5﹣t）=4，t2﹣5t+4=0，解得t=1秒或t=4秒（舍去）．故1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．（2）根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2=（5﹣t）2+（2t）2=25，5t2﹣10t=0，∵t≠0，∴t=2．故2秒后，PQ的长度等于5cm．（3）根据三角形的面积公式，得PB•BQ=8，t（5﹣t）=8，t2﹣5t+8=0，△=（﹣5）2﹣4×1×8=﹣7＜0．故△PBQ的面积不能等于8cm2．∵t（5﹣t）=﹣（t﹣2.5）2+6.25，∴△PBQ的面积最多为6.25cm2．24．（9分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．【解答】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；（3）∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1∴A（﹣1，0）当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴∴，抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3∴B（3，0）．（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；∴当x=时，ME的最大值为．（3）答：不存在．由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣）∴MF=，BF=OB﹣OF=．设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥MF，BF∥PM．∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴P1不在抛物线上．当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴P2不在抛物线上．综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2025届广东省东莞市南开实验学校九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在AB CD 中，∠A=130°，则∠C-∠B 的度数为（）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°2、（4分）在“爱我汾阳”演讲赛中，小明和其他6名选手参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名同学成绩的（）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差3、（4分）某百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示。

该商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（）型号数量（件）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差4、（4分）能判定四边形是平行四边形的条件是()A ．一组对边平行，另一组对边相等B ．一组对边相等，一组邻角相等C ．一组对边平行，一组邻角相等D ．一组对边平行，一组对角相等5、（4分）已知点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）在反比例函数2019y x =-的图像上，当x 1＜x 2＜0＜x 3时，y 1、y 2、y3的大小关系（）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 16、（4分）如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，折痕为EF ，若AB=4，BC=8，则BE 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．67、（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =,MN 是边BC 上一条运动的线段(点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合)，且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM =x ，BMD ∆和CNE ∆的面积之和为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是()A ．B ．C ．D ．8、（4分）某商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示型号2222.52323.52424.525数量（双）261115734经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（）A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．众数二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）直线y ＝﹣3x+5与x 轴交点的坐标是_____．10、（4分）函数2(y kx k k =-+为任意实数)的图象必经过定点，则该点坐标为____．11、（4分）已知双曲线k y x =经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若S △OAC =3，则k =______．12、（4分）已知四边形ABCD 是平行四边形，且A ，B ，C 三点的坐标分别是()3,3，()8,3，()4,6则这个平行四边形第四个顶点的坐标为______．13、（4分）2x =-，则x 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）分解因式：（1）2242x x -+；（2）3()9()x y x y ---.15、（8分）某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9；乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032；（1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？（2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？16、（8分）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点．()1求证：PM PN =；()2四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．17、（10分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：（1）根据上图填写下表：平均数中位数众数甲班8.58.5乙班8.510（2）分别求甲乙两班的方差，并从稳定性上分析哪个班的成绩较好．18、（10分）如图抛物线y=x 2+bx ﹣c 经过直线y=x ﹣3与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求S △ABC 的面积．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．20、（4分）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y=kx+b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B 5的坐标是_____________。