高考数学2-3-3~4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质配套训练新人教A版必修

第二章 2.3 2.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是 ( C )A．平行B．异面C．垂直D．不相交[解析] ∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.又∵a∥α，∴b⊥a.2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面. ( C )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[解析] ∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C．3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么 ( C )A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PA≠PC[解析] ∵PM⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，∴PM⊥MC，PM⊥AB.又∵M为AB中点，∠ACB＝90°，∴MA＝MB＝MC.∴PA＝PA＝PC.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 ( B )A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ ⊥GED ．PQ ⊥FH[解析] 因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．下列命题正确的是 ( A ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③C ．②③④D ．①②④[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A ． 二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为__4__.[解析] 如图，设AB 的中点为M ，分别过A 、M 、B 向α作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1∥MM 1∥BB 1，四边形AA 1B 1B 为直角梯形，AA 1＝3，BB 1＝5，MM 1为其中位线，∴MM 1＝4.8．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是__23__. [解析] 如图，由已知得PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴PA ⊥平面PBC .又PB ⊥PC ，PB ＝PC ，BC ＝2， ∴PB ＝PC ＝ 2.∴V P －ABC ＝V A －PBC ＝13PA ·S △PBC ＝13×2×12×2×2＝23.三、解答题9．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.[解析] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.10.如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB ∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析] (1)连接C1D.∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)如图，连接AD1、AE、D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.B级素养提升一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 ( C )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是 ( D )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．3．如图所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC.其中正确的个数为 ( C )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC .∵PA 垂直于⊙O 所在的平面，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF ，∴③正确．又AF ⊥PC ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，∴①正确．又AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，∴EF ⊥PB ，∴②正确．若AE ⊥BC ，则由AE ⊥PB ，得AE ⊥平面PBC ，此时E 、F 重合，与已知矛盾，∴④错误．故选C ．二、填空题4．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__6π__.[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC .∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心．又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝6， ∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×(62)3＝6π.5．△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__3 cm__.[解析] 如图，设A 、B 、C 在平面α上的射影分别为A ′、B ′、C ′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ， 又设E 、G 在平面α上的射影分别为E ′、G ′，则E ′∈A ′B ′，G ′∈C ′E ′，EE ′＝12(A ′A ＋B ′B )＝52，CC ′＝4，CG ︰GE ＝2︰1，在直角梯形EE ′C ′C 中，可求得GG ′＝3.C 级 能力拔高1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点.(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值． [解析] (1)设点O 为AC 、BD 的交点． 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC . 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ，所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB ·sin60°＝ 3. 在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433. 所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋32＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155. 从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。

直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题； 2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题． 【要点梳理】要点一：直线与平面垂直的性质 1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ 图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒ 图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． 要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二：平面与平面垂直的性质 1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I 图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三：垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清． 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝． 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见． 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线． 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面． 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间． 【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）． （1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；（2）若a ，b 分别垂直于平面α，β，且c αβ=I ，求证：AB ∥c ．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB ⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c ．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为a ＇，设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为b ＇．∵a ∥α，b ∥α，∴a ∥a ＇，b ∥b ＇． 又∵AB ⊥a ，AB ⊥b ，∴AB ⊥a ＇，AB ⊥b ＇， ∴AB ⊥α．（2）如图，过B 作BB ＇⊥α，则AB ⊥BB ＇． 又∵AB ⊥b ，∴AB 垂直于由b 和BB ＇确定的平面．∵b ⊥β，∴b ⊥c ，∵BB ＇⊥α，∴BB ＇⊥c ． ∴c 也垂直于由BB ＇和b 确定的平面． 故c ∥AB ．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】 B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD ⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

α⊥ β α∩β＝l ⇒________ a⊥β a⊂α a⊥l
符号语言
图形语言 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线
作用
■名师点拨 对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面 垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转 化为线线垂直．
(3)因为 AB⊥AD，而且四边形 ABED 为平行四边形， 所以 BE⊥CD，AD⊥CD． 由(1)知 PA⊥底面 ABCD， 所以 PA⊥CD． 又 PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面 PAD． 所以 CD⊥PD． 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF.
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．3.3 2．3.4
直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
考点 直线与平 面垂直的 性质 平面与平 面垂直的 性质
学习目标 理解直线和平面垂直的性质定理，并
核心素养
能用文字、 符号和图形语言描述定理， 直观想象、 能应用线面垂直的性质定理解决有关 的垂直问题 理解平面和平面垂直的性质定理，并 能用文字、 符号和图形语言描述定理， 直观想象、 能应用面面垂直的性质定理解决有关 的垂直问题 逻辑推理 逻辑推理
面面垂直的性质定理的应用 已知 P 是△ABC 所在平面外的一点， 且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，求 证：BC⊥AC．
【证明】
如图，在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D，
因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC，AD ⊂平面 PAC，且 AD⊥PC， 所以 AD⊥平面 PBC，

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体ABCD A1B1C1D1中,对于①AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1⊂平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么( A )(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ解析:由m⊂α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l⊂γ,所以m⊥l.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.同理,平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.答案:17.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D ABC 是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )(A)①②④(B)①②③(C)②③④(D)①③④解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,则斜边BC=a,①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC,所以BD⊥AC,故①正确;②由A知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,所以BD⊥CD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=·a=a,又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥D ABC是正三棱锥,故③正确.④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a 的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。