普通高中学业水平合格考试数学模拟题及答案

2
【答案】B
【分析】
设幂函数 f x xa ，将点的坐标代入即可.
D． f x 1 x2
32
【详解】设幂函数
f
x
xa
，将点
4,
1 2
代入
y
xa
得
4a
1 2
，所以
a
1 2
,
所以幂函数的解析式为
f
x
1
x2
.
故选：B.
5．与 2024 角终边相同的角是（ ）
A． 24
B．113
C．136
D． 224
故选：BC.
17．下列各式不正确的是（ ）
A．若
a
2,
4
，
b
3,
4
，则
a
b
1,0
B．若
a
Байду номын сангаас
5,
2
，
b
2,
4
，则
b
a
3,2
C．若
a
1,
0
，
b
0,1
，则
a
b
0,1
D．若
a
1,1
，
b
1,
2
，则
a
b
2,1
【答案】ACD
【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．
【详解】对于
A，若
a
2,
2 AB AC
2 4 6 16
故选：C
14．将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的
是（ ）
A．至多一次正面向上
B．两次正面都向上
C．只有一次正面向上

2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.函数的定义域为()A. B. C. D.3.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，底面是BC的中点，则直线()A.与直线AC相交B.与直线AC平行C.与直线垂直D.与直线是异面直线5.如图，四边形ABCD是正方形，则()A. B. C. D.6.已知是定义在R上的奇函数，则()A. B.0 C.1 D.27.在下列各数中，满足不等式的是()A. B. C.1 D.28.命题“”的否定是()A. B.C. D.9.()A. B. C. D.10.在下列各数中，与相等的是()A. B. C. D.11.在下列函数中，在区间上单调递减的是()A. B. C. D.12.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，Ox为始边，终边在y轴上的角的集合为()A. B.C. D.14.在中，，则()A. B. C. D.315.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是()A. B. C. D.16.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.17.已知，则下面不等式一定成立的是()A. B. C. D.18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为()A. B. C. D.19.在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数()A.1B.2C.3D.420.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为()A.108B.162C.180D.189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学真题卷（答案在最后）本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B = {}1,2,3，故选：D2.设命题:p x ∃∈R ，10x -≥，则命题p 的否定为（）A.R x ∀∈，10x -≤B.R x ∀∈，10x -<C.R x ∃∈，10x -≤D.R x ∃∈，10x -<【答案】B 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为：R x ∀∈，10x -<．故选：B ．3.已知i 为虚数单位，()1i i 5i a +=+，则实数a 等于（）A.1-B.1C.5- D.5【答案】C 【解析】【分析】化简方程可得i 5i a -=+，由此可求a .【详解】因为()1i i 5i a +=+，即2i i 5i a +=+，可得i 5i a -=+，所以5a =-.故选：C.4.已知2= a，b =，a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（）A.π4B.34π C.6π D.56π【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义求解．【详解】由已知2cos ,2a b a b a b ⋅===，又,],0π[a b ∈ ，∴π,4a b = ，故选：A ．5.如图，在长方体，1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB =，则异面直线CD 与11A C 所成的角的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角．【详解】∵11//CD C D ，∴111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，在直角111AC D中，11111,A D AD C D AB ====，11111113tan 3A D A C D C D ∠==，所以11130AC D ∠=︒，所以异面直线CD 与11A C 所成的角是30︒，故选：A ．6.下列函数为奇函数的是（）A.2y x =B.e xy = C.tan y x= D.ln y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性.【详解】A.2y x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，故A 错误；B.e x y =是非奇非偶函数，故B 错误；C.tan y x =是奇函数，故C 正确；D.ln y x =的定义域是()0,∞+，是非奇非偶函数，故D 错误.故选：C7.已知扇形的半径是1cm ，圆心角为2，则该扇形的面积是（）A.21cmB.22cm C.24cm D.28cm 【答案】A 【解析】【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得2211··2·1122S r α===，故选：A.8.已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C9.从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：mm ），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（）A.5.40B.5.42C.5.44D.5.46【答案】A 【解析】【分析】根据众数的定义求解.【详解】根据众数的定义可得，该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值5.40.故选：A.10.为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果.【详解】对于A ，得πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭满足题意；对于B ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不满足题意；C ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意；D ，得π2cos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意.故选：A.11.函数()()lg 2f x x =-的零点是（）A.2B.3C.2,0D.()3,0【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，解方程可得结论.【详解】令()0f x =，可得()lg 20x -=，所以21x -=，故3x =.所以函数()()lg 2f x x =-的零点是3.故选：B.12.如图，在ABC V 中，2BO OC =，则AO 等于（）A.1133AB AC +B.1233AB AC +C.2133AB AC +D.2233AB AC +【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为2BO OC =，所以()2AO AB AC AO -=- ，即得2132,33AO AC AB AO AC AB =+=+ .故选：B.13.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M =“点数不大于2”，事件N =“点数大于1”，则下列结论中正确的是（）A.M 是不可能事件B.N 是必然事件C.M N ⋂是不可能事件D.M N ⋃是必然事件【答案】D 【解析】【分析】根据事件的定义判断．【详解】事件M 是点数为1或2，事件N 是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M N ⋂是点为2，是随机事件，是可能发生的，M N ⋃是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，故选：D ．14.函数23,0log ,0x x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数图象与x 非正半轴的交点个数及在(0,)+∞上单调性判断即可.【详解】当0x >时，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，排除AB ；当0x ≤时，由0y =，得0x =或1x =-，此时函数图象与x 非正半轴有2个交点，排除C ，选项D 符合题意.故选：D15.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a ，b ，则使log a b 为整数的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】由条件可知，得到不同的对数为2log 42=，2log 83=，4log 382=，41log 22=，82log 43=，81log 23=，共6个对数，其中为整数的有2个，所以概率2163P ==.故选：B16.设函数()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在区间[]2,1--上单调递减，则（）A.()()12f f ->-B.()()11f f -<C.()()12f f >-D.()()12f f <【答案】D 【解析】【分析】结合函数的单调性比较()()1,2f f --，结合偶函数性质可得()()()()11,22f f f f -=-=，由此确定结论.【详解】因为函数()f x 在区间[]2,1--上单调递减，21-<-，所以()()21f f ->-，A 错误；因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()()()11,22f f f f -=-=，B 错误；所以()()21f f >，()()21f f ->，D 正确，C 错误.故选：D.17.已知两条直线l ，m 与平面α，则下列结论中正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l α⊥，//m α，则l m ⊥C.若//l α，m l ⊥，则m α⊥D.若l α⊥，m l ⊥，则//m α【答案】B 【解析】【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.【详解】对于A ：若//l α，//m α，则//l m 或l 与m 相交或异面，故A 错误；对于B ；因为//m α，则存在直线a α⊂，使得//m a ，又l α⊥，所以l a ⊥，则l m ⊥，故B 正确；对于C ：因为//l α，m l ⊥，则m α⊥或//m α或m 与平面α相交（不垂直）或m α⊂，故C 错误；对于D ：因为l α⊥，m l ⊥，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B18.已知函数()22xxf x -=-，()22xxg x -=+，下列关于函数()f x 和()g x 的三个结论：①()g x 的值域是[)2,+∞；②存在0R x ∈，使得()03f x =，()04g x =；③任意x ，R y ∈，都有()()()()f x y f x y f x g y ++-=.其中所有正确结论的编号是（）A.①B.①②C.①③D.②③【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合122xx-=，判断②，根据指数运算，即可判断③.【详解】①()222x x g x -=+≥=，当22-=x x ，即0x =时等号成立，故①正确；②联立223224x x x x--⎧-=⎨+=⎩，解得：722x=，122x -=，显然这样122x x -=矛盾，故②错误；③()()2222x yx y x y x y f x y f x y +----+++-=-+-，()()()()22222222x x y y x y x y x y x y f x g y --+--+--=-+=+--，所以()()()()f x y f x y f x g y ++-=，故③正确.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.2cos 3π=________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解.【详解】2πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-.20.已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =________.【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.21.某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =________.【答案】300【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n 人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人，则每个学生被抽到的概率为1001600p =，可得114401600176016n =++，解得300n =（人），故答案为：300.22.如图，城市A 在观察站B 的北偏东40︒方向上且相距20km ，在观察站C 的北偏西20︒方向上相距30km .则观察站B 和C 相距________km.【答案】【解析】【分析】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理求.BC 【详解】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理可得2222·cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，所以21400900220307002BC =+-⨯⨯⨯=，故BC =故答案为：.三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.23.已知函数()1sin 2f x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】（1）πT =；（2）π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【小问1详解】因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）求证：1BD AC ⊥；（2）若2AB =，1AA =，求三棱锥1B DCC -的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得.（2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可.【小问1详解】证法一：由题意知，ABC V 为正三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，又因为1AC CC C = ，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.证法二：如图，取1CC 中点E ，连接DE ，BE ，则BDE ∠或其补角即为异面直线1AC 与BD 所成的角，在BDE V 中，3BD =，3DE =，6BE =则BDE V 为直角三角形，90BDE ∠=︒，即异面直线1AC 与BD 所成的角为直角，故1BD AC ⊥.【小问2详解】因为ABC V 为正三角形，2AB =，所以3BD =，所以BCD △的面积11322S BD DC =⋅=，又1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BC ⊥，1CC DC ⊥，所以1C CD 的面积21122S DC CC =⋅=1BC C △的面积31122S BC CC =⋅=，由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥，13C D =，所以1BC D 的面积4113322S BD DC =⋅=，所以三棱锥1B DCC -的表面积123432S S S S S =+++=.25.为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长72米，宽54米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x 米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中13x ≤≤.（1）若种植植物的区域面积不小于3640平方米，求x 的取值范围；（2）若修建观赏通道的总费用为11881199m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，种植植物的费用为m x元/平方米（m 为正常数）.当x 为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m 表示）.（完成此计划的总费用=修建观赏通道的总费用+种植植物的总费用）【答案】（1）[]1,2；（2）32x =，最低总费用3474m 元.【解析】【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论；（2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】由题意得种植植物的区域面积为()()7254x x --，所以()()72543640x x --≥，即21262480x x -+≥，解得2x ≤或124x ≥.又13x ≤≤，得12x ≤≤，所以x 的取值范围为[]1,2.【小问2详解】设完成此计划所需要的总费用为S 元，则()()1188997254119930041263004126m S x x m x m x m m x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=--⋅+-=+-≥⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36001263474m m m =-=，当且仅当94x x =即32x =时等号成立.所以，当32x =时，完成此计划所需要的最低总费用3474m 元.。

2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题（一）数学模拟试题一、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）在每小题给出的三个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂＝（）A.{}2 B.{3,4}C.{2,3,4,5}【正确答案】B【分析】根据交集运算法则即可计算得出M N ⋂.【详解】由{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，利用交集运算可得{}3,4M N ⋂=.故选：B2.已知函数3()23f x x x =-+，那么(2)f 的值（）A.3B.5C.7【正确答案】C【分析】把2x =代入解析式即可求解.【详解】3(2)22237f =-⨯+=.故选：C3.下列函数是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.ln y x=【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性定义判断.【详解】对()sin ,R f x x x =∈，()()sin f x x f x -=-=-，故()sin f x x =为奇函数，故A 正确；对()cos ,R g x x x =∈，()()cos g x x g x -==，故()cos g x x =为偶函数，故B 错误；对()()ln ,0,h x x x =∈+∞，因为定义域没有对称性，故()ln h x x =既不是奇函数也不是偶函数，故C 错误.故选：A4.22log l 00og 81-=（）A.70B.2log 70C.3【正确答案】C【分析】根据对数运算公式求解.【详解】2322228080108231log log log log 0log ====-.故选：C5.若实数a ，b ，c 满足a b >，0c <，则（）A.ac bc >B.ac bc< C.a c b c+<+【正确答案】B【分析】根据不等式性质判断.【详解】因为a b >，0c <，所以ac bc <，故A 错误，B 正确；根据不等式可加性知a c b c +>+，故C 错误.故选：B6.下列值域是[)0,∞+的是（）A.y x= B.1y x=C.y =【正确答案】C【分析】分别求出各函数的值域.【详解】对A ：y x =值域为R ，故A 错误；对B ：1y x=值域为(),0(0,)-∞⋃+∞，故B 错误；对C ：y =的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，在定义域上为增函数，故值域为[)0,∞+，故C 正确.故选：C.7.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1:1B.1:2C.2:1【正确答案】A【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.【详解】设球的半径的r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ，圆柱的侧面积=22π24πr r r ⋅=，球的表面积为24πr ，其比例为1:1，故选：A.8.已知圆锥的体积是3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径是（）A. B.C.3【正确答案】B【分析】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据圆锥的体积公式可得29h r =，根据圆锥的侧面积公式可得2l r =，再结合h =即可求解.【详解】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积21π3π3V r h ==，所以29r h =，即29h r=，又212π2π2S rl r =⋅=侧，则2l r =，又h ==39=，故r =.故选：B9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，12AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积是（）A.6B.9C.18【正确答案】A【分析】根据题意证得AC ⊥平面11BDD B ，得到四棱锥11A BB D D -的高为2h =，结合体积公式，即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，连接AC 交BD 于点O ，可得AC BD ⊥，又由1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为1BD BB B ⋂=，且1,BD BB ⊂平面11BDD B ，可得AC ⊥平面11BDD B ，所以四棱锥11A BB D D -的高为322h AO ==，所以11A BB D D -的体积11113226332BB D D V S h =⋅=⨯⨯=.故选：A.10.若实数a ，b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A.2B.2- C.1【正确答案】A【分析】利用复数相等求出,a b 即可.【详解】因为i i(1i)1i a b +=-=+，所以1,1a b ==，所以2a b +=，故选：A.11.点(1,1)到直线3420x y +-=的距离是（）A.1B.2C.【正确答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】515d ===，故选：A12.已知圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，则圆的标准方程是（）A.()222(2)1x y -+-=B.()222(2)2x y -++=C.()222(2)2x y -+-=【正确答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，所以圆心为(2,2)M ，直径为2R ==，所以圆的标准方程是()222(2)2x y -+-=.故选：C.13.直线:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为（）A. B. C.【正确答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理求出弦长.【详解】22:9C x y +=的圆心为()0,0，半径为3，则圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==则:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为=故选：B14.王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组频率0.10.20.30.150.25A.10人B.9人C.8人【正确答案】A【分析】根据参加科技小组的频率，求出参加科技小组的人数.【详解】参加科技小组的频率0.25,则本班报名参加科技小组的人数是0.254010⨯=人.15.袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（）A.13B.23C.12D.15【正确答案】A【分析】根据样本空间和样本点和古典概型的概率即可求解.【详解】在任取1个球的事件中，取记i A 为取的是第i 个红球，记i B 为取的是第i 个白球，记i C 为取的是第i 个黄球，记取出的球是白球的事件为M ，所以样本空间{}123412345123456Ω,,,,,,,,,,,,,,A A A A B B B B B C C C C C C =,取出的球是白球的事件{}12345,,,,M B B B B B =，则取出的球是白球的概率为51153=，故选：A.16.函数()cos 6f x x =的最小正周期是（）A.π2B.π3 C.π4【正确答案】B【分析】利用周期公式2πT ω=，即可得答案.【详解】∵函数()cos 6f x x =，∴2π2ππ63T ω===，故选：B.17.已知角α的终边位于第二象限，则点(sin ,cos )P αα位于（）A.第二象限B.第三象限C.第四象限【正确答案】C【分析】根据角的终边所在象限，确定其正弦值和余弦值的符号，即可得出结果.【详解】因为角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，所以点P 在第四象限．18.在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC =（）A.a b +B.a b-C.2a b+【正确答案】A【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解.【详解】平行四边形ABCD 中，AC AB AD a b =+=+.故选：A19.已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则32a b -=r r（）A.(3,4)B.(3,2)C.(3,2)--【正确答案】C【分析】根据向量的坐标运算，准确运算，即可求解.【详解】由向量(1,2)a = ，(3,4)b =，根据向量的坐标运算，可得32(3,2)a b -=--r r .故选：C.20.已知角α是第一象限角，3cos 5α=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.310B.34310- C.310【正确答案】B【分析】利用两角和差公式和同角三角函数的基本关系即可【详解】3cos 5α=，且角α是第一象限角，4sin 5α∴==，πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫∴+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭.故选：B.21.若3cos210cos 1αα+=则cos2cos αα+=（）A.49-B.﹣1C.109【正确答案】A【分析】利用二倍角公式解出cos α即可.【详解】23cos210cos 6cos 310cos 1,αααα+==-+23cos 5cos ,20αα+-=∴cos ,576α-±=且11cos α≤≤-，,57163cos α∴-+==且2cos ,25cos 3αα-=2410cos 1741,cos cos2cos 23cos 1cos cos 39ααααααα∴-+--=+==-=-+故选：A.22.在ABC 中，若21,3cos 3,BC AC C ===，则sin B =（）A.6B.5C.6【正确答案】A【分析】根据余弦定理求得c =，再根据正弦定理即可求解.【详解】由题意可得1,3BC a AC b ====，AB c =，由余弦定理可得2222222cos 1321363c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c ，又2cos ,(0,π)3C C =∈，可得sin 3C =，利用正弦定理可知sin sin b cB C =,所以53sin 3sin 6b CB c⨯===.故选：A.23.下列数列中等差数列的是（）A.31n a n =+B.31nn a =+ C.2log 1n a n =+【正确答案】A【分析】根据等差数列的定义依次分析即可.【详解】对于A ，13n n a a +-=，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B ，113323n n nn n a a ++-=-=⨯，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C ，()2221log log l 1og 1n n n a a n n n++-=+-=，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A24.已知等差数列{}n a 的公差为2，前5项之和为25，则2a =（）A.2B.3C.4【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】在等差数列{}n a 中，()155355252a a S a +==＝，所以35a =，所以23523a a d =-=-=.故选：B25.已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，则5S =（）A.162B.486C.242【正确答案】C【分析】根据等比数列求和公式求解即可.【详解】依题意，知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，所以()5552133124213S ⨯-==-=-.故选：C.26.设a ，R b ∈，则“a b >”是“33a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件【正确答案】C【分析】根据()3f x x =单调性及充要条件的定义来判断即得．【详解】因为()3f x x =在R 上为增函数，则a b >可以推出33a b >，反之，若33a b >，则可推出a b >，所以“a b >”是“33a b >”的充分必要条件.故选：C.27.已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝4，则ab 的最大值是（）A.B.2C.4【正确答案】D【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】()211212422222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，等号成立条件是2a b =，即244a b b +==时取等号，即当且仅当2,1a b ==时取等号，所以ab 的最大值是4.故选：D .28.已知0.12a =，0.20.5b =，0.5log 1.1c =，则（）A.c<a<bB.c b a<< C.b a c<<【正确答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1进行比较即可.【详解】由已知0.12a =，0.20.20.210.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭∵指数函数()2xf x =在R 上单调递增，且值域为()0,∞+，∴()()()00.200.1f f f <-<<，∴0.200.102212-<<=<，即01b a<<<又∵对数函数()0.5log g x x =在区间()0,∞+单调递减，∴()()1.11g g <，即0.50.5log 1.1log 10<=，即0c <.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c b a <<.故选：B.二、判断题（共8个小题，每个题2分，共16分）判断下列各小题正误，正确的写正确，错误的写错误29.方向相同的两个向量是相等向量.（）【正确答案】×【分析】根据相等向量的定义即可判断.【详解】因为方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，所以方向相同的两个向量是相等向量是错误的.故×30.已知直线l //平面α，则直线l 平行平面内任意一条直线.（）【正确答案】错误【分析】根据线面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理判定.【详解】已知直线l //平面α，根据线面平行的性质定理，直线l 平行于过直线l 的平面与平面α的形成的交线.故错误.31.已知点(1,3),(2,9)A B ，则直线AB 的斜率为6.（）【正确答案】正确【分析】根据直线的斜率公式，即可求解.【详解】由(1,3),(2,9)A B ，根据斜率公式，可得93621AB k -==-，所以是正确的.故正确32.方差反应了一组数据的离散程度.（）【正确答案】√【分析】根据方差的意义即可判断.【详解】根据方差的意义可知，方差反应了一组数据的离散程度，所以方差反应了一组数据的离散程度是正确的.故√33.掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，则掷100次，刚好有50次双数朝上.（）【正确答案】错误【分析】根据概率的意义判断.【详解】掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，当此试验重复多次后双数朝上”的概率稳定在12附近，它是一个随机事件，所以不能确定掷100次中双数朝上的次数.故错误34.对于函数1ln 1y x x =+-的定义域为{|1}x x ≠.（）【正确答案】×【分析】根据对数函数和分式函数的定义域即可求解.【详解】因为1ln 1y x x =+-而ln x 中的真数0x >，分式11x -中的1x ≠，所以1ln 1y x x =+-的定义域为{|0x x >且1}x ≠，故×.35.圆锥是以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体.（）【正确答案】正确【分析】根据圆锥的定义判断.【详解】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，故以上说法正确.故正确.36.函数y x =与函数2y =表示同一个函数.（）【正确答案】×【分析】利用函数的定义进行判断即可【详解】因为y x =的定义域为R ，而2y =的定义域为[)0+∞，，所以函数y x =与函数2y =不是同一个函数.故×。