广西高中学业水平考试数学附答案

2024学年广西壮族自治区柳州市柳州高级中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=2．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=3．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =4．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题5．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14156．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2337．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b8．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤9．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．10．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．117411．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9B ．－9C ．212D ．214-12．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数 学（全卷满分100分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上．2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效．一、单项选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）1．已知集合{}5A =，{}45B =，，则A B =A ．∅B ．{}4C ．{}5D ．{}4 5，2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数 发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）．这 枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：=+-++)i 65()i 44( A ．110i -+ B ．29i -+C ．92i -D ．10i -3．直线1y x =-的斜率等于 A ．1-B ．1C ．4πD ．34π 4．设向量AB =a ，BC =b ，则AC =A ．a +bB ．-a bC ．--a bD ．-a +b5．函数()f x x =的定义域是A ．RB ．{}0x x ≥C ．{}0x x >D ．{}0x x <6．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是 A ．棱柱 B ．圆柱C ．棱锥D ．圆锥(第2题图)正视图侧视图（第8题图）7．某校高二年级共有600名学生，编号为001～600．为了分析 该年级上学期期末数学考试情况，用系统抽样方法抽取了 一个样本容量为60的样本．如果编号006，016，026在样 本中，那么下列编号在样本中的是A ．010B ．020C ．036D ．0428．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A ．3 B ．9C ．27D ．649．60角的弧度数是 A ．2π B ．3πC ．4πD ．6π10．指数函数()01xy a a a =>≠且的图像必过定点A ．()00，B ．()01，C ．()10，D ．()11，11．经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为 A ．220x y ++= B ．220x y --=C ．220x y -+=D ．220x y +-=12．函数2sin y x x =∈R ，的最大值为 A ．2- B ．1-C ．1D ．213．3log 9=A ．9B ．3C ．2D ．1314．命题“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的逆命题是 A ．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等B ．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积相等C ．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等D ．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等否n =1 M=n 3n =n +1是 输出MM >9?开始结束15．在等比数列{}n a 中，已知1=2a ，2=4a ，那么4=aA ．6B ．8C ．16D ．3216．下列命题正确的是 A ．1a a +的最小值是2 B ．221a a +的最小值是2C ．1a a+的最大值是2D ．221a a+的最大值是217．设向量7 (5)=-，a ，(4) 6=--，b ，则=a bA ．58-B ．2-C ．2D ．2218．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b 、、c ，若1245b c A ===，，，则a 的长为A ．1B ．2C ．3D ．219．已知双曲线2221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是A ．1±B ．2±C ．2D ．420．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个21．棱长均为a 的三棱锥的表面积是A ．24aB ．23aC ．234a D ．2334a 22．从某中学高三年级中随机抽取了6名男生，其身高和体重的数据如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 身高/cm 170 168 178 168 176 172 体重/kg656472616767由以上数据，建立了身高x 预报体重y 的回归方程ˆ0.8071.6yx =-．那么，根据 上述回归方程预报一名身高为175cm 的高三男生的体重是A ．80 kgB ．71.6 kgC ．68.4 kgD ．64.8 kg23．抛物线26y x =的准线方程是A ．32x =-B ．32x =C ．32y =-D ．32y =24．不等式组0020x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域的面积为A ．1B ．32C ．2D ．325．数列252211，，，，…的一个通项公式是A ．1n a n =+ B ．31n a n =-C ．31n a n =+D ．3n a n =+26．sin75=A ．324- B ．624- C ．324+ D ．624+ 27．某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地．经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m 和68m ，它们的夹角是30．已知改造费用为50元/m 2，那么，这块三角形空地的改造费用为 A ．272003元 B ．544003元C ．27200元D ．54400元28．函数()31f x x x =--的零点所在的区间是A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，29．关于函数()3log 1y x =-的单调性，下列说法正确的是 A ．在()0+∞，上是减函数 B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()1+∞，上是减函数 D ．在()1+∞，上是增函数 30．由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是A ．三角函数都是周期函数,sin x 是三角函数，所以sin x 是周期函数B ．一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除C ．由211=，2132+=，21353++=，得()()2*1321n n n N +++-=∈… D ．两直线平行，同位角相等．若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）31．若函数()2100 x x f x x x +⎧=⎨>⎩，，，，≤则()2f = ． 32．在等差数列{}n a 中，已知31=a ，73=a ，则公差=d ． 33．已知4sin 5x =，且x 是第一象限角，则cos x = ． 34．已知向量a =（2，1），b =（1，5），则2+a b 的坐标为 ．35．椭圆221259x y +=的离心率e = ．36．不等式223x x -++≥0的解集为 ．三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．） 37．（本小题满分6分）赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径AB 所在直线为x 轴，桥的拱高OP 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB 所在的圆的方程为()22220.727.9x y ++=.求OP .（第37题图）38．（本小题满分6分）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥．证明：BC ⊥平面PAC ．39．（本小题满分8分）据相关规定，24小时内的降水量为日降水量（单位：mm ），不同的日降水量对应的降水强度如下表：日降水量降水强度小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨为分析某市“主汛期”的降水情况，从该市2015年6月～8月有降水记录的监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，具体数据如下： 16 12 23 65 24 37 39 21 36 68 （1）请完成以下表示这组数据的茎叶图；（图一）（图二）（第38题图）（2）从样本中降水强度为大雨以上（含大雨）天气的5天中随机选取2天，求恰有1天是暴雨天气的概率．40．（本小题满分8分）已知函数()ln 1f x x x a =-+-，()2ln 2x g x ax x x =+-，其中0a >.（1）求()f x 的单调区间； （2）当1x ≥时,()g x 的最小值大于3ln 2a -,求a 的取值范围. 2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学 参考答案及评分标准说明：1．第一题选择题，选对得分，多选、错选或不选一律给0分． 2．第二题填空题，不给中间分．3．第三题解答题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．4．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．5．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 6．只给整数分数．一、选择题（共30小题，每小题2分，共60分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C A B A B D C C B B 题 号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答 案 C D C A C B B A B B 题 号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答 案BCACBDCBDC二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分） 31．4 32．2 33．35 34．（5 ，7） 35．4536．[]13-，三、解答题（共4小题，共28分）37．解：在方程()22220.727.9x y ++=中，令0x =， ········································ 2分则()2220.727.9y +=， ····································································· 3分 解得17.2y =，248.6y =-（舍去）. ····················································· 5分 7.2OP ∴=． ················································································· 6分38．证明：⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，BC PA ⊥∴. ······················· 3分 又AC BC ⊥，·············································································· 4分 PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，A AC PA = ，BC ∴⊥平面PAC . ······································································· 6分 39．解：（1）12 6 213 4367 9 65 8·································································· 4分（2）记降水强度为大雨的3天为a ，b ，c ，降水强度为暴雨的2天为d ，e ，从这5天中抽取2天的所有情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，基本事件总数为10. ································································································· 6分记“5天中抽取2天，恰有一天发生暴雨”为事件A ，可能结果为ad ，ae ，bd ，be ，cd ，ce ，即事件A 包含的基本事件数为6. ··············································· 7分所以恰有1天发生暴雨的概率6()0.610P A ==． ········································ 8分 40．解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，． ················································· 1分11()1x f x x x-'=-=. ··························································· 2分 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.∴函数()f x 的单调递减区间是(0) 1，，单调递增区间是(1) +∞，． ······· 4分 （2）易知()ln 1().g x x x a f x '=-+-= 由（1）知，()(1)0f x f a =>≥，所以当1x ≥时，()(1)0g x g a ''=>≥.从而()g x 在[1)+∞，上单调递增， ················································· 5分 所以()g x 的最小值()112g a =+. ··················································· 6分依题意得12a +3ln 2a >-，即ln 10a a +->. ·································· 7分 令()ln 1h a a a =+-，易知()h a 在()0+∞，上单调递增. 所以()()10h a h >=，所以a 的取值范围是()1+∞，. ························· 8分。

2025年普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷满分150分，考试用时90分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。

每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230M N x x x =-=--<，则M N = （）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2D ．{}1-2．函数()21,0,3,0,xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．123．函数()11f x x =-的定义域为（）A ．RB ．{}1xx ≠∣C ．{}3xx ≠∣D ．∅4．函数π3sin 2,4y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC V 中，1,45AB AC BAC ∠===，则BC =（）A ．1B CD ．26．不等式220x x --<的解集是（）A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2}x >C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|21}x x -<<7．若直线l 的方程是230x y +-=，则这条直线的斜率k =（）118．已知向量()()1,2,2,4a b ==-- ，则23a b +=rr （）A ．()5,10--B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--9．若()()224230a x a x -+++=是关于x 的一元一次方程，则21a +的值为（）A ．5B ．3-C ．3-或5D ．210．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，与平面11AA B B 平行的直线为（）A ．ABB ．1CC C ．BC D ．AC11．从两名男生（记为1B 和2B ），一名女生（记为G ）中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．112．记函数()()()112f x x a x b =-+-+-的两个零点为1x ，2x ，若2a b ->，则下列关系正确的是（）A ．122x x b +<B ．122x x b +>C ．122x x a +=D ．122x x a +>二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）13．已知α为钝角，且π3cos 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan α=．14．已知向量2a = ，3b = ，a b +=，那么a b -=r r ．15．已知实数a ，b 分别满足2310a a ++=，2310b b -+=，且0a b +≠，则ab 的值为.16．某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =.17．x 为实数，且不等式53x x m -+-<有解，则实数m 的取值范围是.18．函数()3326f x x a x x a x x x=-+++---+≥对一切0x >均成立，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本题共4小题，第19,20,21题各10分，第22题12分，共42分。

2023年高中数学学业水平试题及答案1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（）A ．2i +B ．2i -C ．12i+D ．12i-【答案】D【解析】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，∴12i z =-，故选D ．2．在ABC V 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（）A ．1B ．2C D【答案】D【解析】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=故选D ．3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（）A ．3πB ．28πC ．D ．3【答案】A【解析】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，=，所以圆台的体积为221285(2244)33V π=+⨯+=，故选A ．4．，则原图形面积为（）A ．4B ．C ．2D ．3【答案】A【解析】底边长为a ，高为h 的三角形的面积为12S ah =，在斜二测直观图中，若三角形的底边与x '轴平行或重合，则原三角形的斜二测直观图的面积为112sin 45228S a h ah '=⨯︒=，则S ='，由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，4=，故选A ．5．已知向量a ，b ，c 满足()3,0=a ，()0,4=b ，()()1λλλ=+-∈R c a b ，则c 的最小值为（）A ．56B ．125C ．365D ．485【答案】B【解析】由条件可知()3,44λλ=-c ，则===c ，当1625λ=时，min 125=c ，故选B ．6．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r的最小值是（）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-【答案】A【解析】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--uu r ，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--uu r uu u r，故22315()(12)(1)(22)()22428PA PC PB x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+⋅=--+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu r ，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r 取得最小值58-，故选A ．7．两个不同的圆锥的底面是球O 的同一截面，顶点均在球O 表面上，若球O 的体积为V ，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）A ．13VB ．12VC ．23VD ．34V【答案】B【解析】设球半径为R ，两个圆锥中较小的高为h (0)h R <≤，则另一个圆锥的高为2R h -，圆锥底面半径为r ，则222()R R h r =-+，222r Rh h =-，两个圆锥的体积和为222112()(2)(2)333f h r h r R h R Rh h πππ=+-=-，所以h R =时，3max 2()3f h R π=，343V R π=球，因此max 1()2f h V =，故选B ．8．已知在三角形ABC 中，4BC =，2AB AC =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是（）A ．32,329⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．32,329⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()0,32D ．[)0,32【答案】A【解析】因为4BC =，2AB AC =，所以44AB AC AB AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，即2424AC AC AC AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得443AC <<，由余弦定理222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，所以222cos 2AC AB BC AB AC AB AC CAB AB AC AC AB +-⋅=⋅∠=⋅⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r 22225162AC AC AB BC -+-==，因为443AC <<，所以216169AC <<，所以2516323292AC --<<，即32,329AB AC ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭uu u r uuu r ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r不是共线向量C ．若向量AB uu u r 与CD uu u r是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上【答案】AD【解析】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB uu u r ，CD uu u r 的方向相同或相反，因此AB uu u r 与CD uu u r是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r ，CD uu u r 的方向不确定，不能判断AB uu u r 与CD uu u r 是否共线；C 项为假命题，因为AB uu u r ，CD uu u r两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB uu u r ，AC uuu r 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线，故选AD ．10．如图，,M N 为正方体中所在棱的中点，过,M N 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】BD【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形，故选BD ．11．已知,,a b c 分别是ABC V 三个内角,,A B C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A ．若ABC V 是锐角三角形，则sin cos AB >B ．若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰三角形C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形D ．若ABC V 是等边三角形，则cos cos cos a b cA B C==【答案】ACD【解析】对于A ，因为ABC V 是锐角三角形，所以2A B π+>，所以sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin cos A B >，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以ABC V 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由cos cos b C c B b +=及正弦定理化边为角，可知sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin sin A B =，因为,A B 为ABC V 的内角，所以A B =，所以ABC V 是等腰三角形，故C 正确；对于D ，由ABC V 是等边三角形，所以A B C ==，所以tan tan tan A B C ==，由正弦定理cos cos cos a b cA B C==，故D 正确，故选ACD ．12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A ．该半正多面体的体积为203B ．该半正多面体过,,A BC 三点的截面面积为2C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2VF E +-=【答案】ACD【解析】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为1120222811323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以2364S =⨯⨯=，故错误；对于C ，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积22448S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数i32ia z -=+为纯虚数（a ∈R ），则z =_______．【答案】13【解析】()()()()()()i 32i 3223i i 3223i 32i 32i 32i 131313a a a a a a z ----+--+====-++-，由纯虚数的定义知，3201323013a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得23a =，所以1i 3z =-，故13z =，故答案为13．14．已知向量()2,1a a =+m ，()0,a =n ，若()()22+⊥-m n m n ，则实数a =_________．【答案】1-【解析】因为()()22+⊥-m n m n ，所以()()220+⋅-=m n m n ，即()2220-=m n ，所以()()()22221400a a a +++=-，解得1a =-，故答案为1-．15．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，则ACD △的面积为_________．【答案】335【解析】由题意得133sin 22ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=△，则1sin 3212sin 2ABDACDAB AD BAD S AB S AC AC AD CAD ⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯∠△△，所以23355ACD ABC S S ==△△，故答案为335．16．在复平面内，等腰直角三角形12OZ Z 以2OZ 为斜边（其中O 为坐标原点），若2Z对应的复数21z =，则直角顶点1Z 对应的复数1z =___________．【答案】133122i ++或131322i -++【解析】因为21z =+，所以22z =，点2Z的坐标为(．设点1Z 的坐标为(),x y，则(211,Z Z x y =--uuuu r．由题意得121OZ Z Z ⊥uuu r uuuu r，12OZ ==uuu r r所以()(22210x y x x y y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得132312x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或132132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以复数1133122z i +-=+或131322i +，故答案为1133122z i +-=+或131322i +．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求实数m 取何值时，复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ．（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直线10x y --=上．【答案】（1）102m -<<或12m <<；（2）12m <-或01m <<或2m >；（3）1m =-或3．【解析】（1）复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---，若点Z 位于第二象限，则2223200m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解得102m -<<或12m <<．（2）若点Z 位于第一或第三象限，则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或222320m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩，解得12m <-或01m <<或2m >．（3）若点Z 在直线10x y --=上，则2223210m m m m ---+-=，解得1m =-或3．18．（12分）如图，△ABC 中，90ACB ∠=o ，30,ABC BC ∠==o ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C ，M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）209π；（2）25581π．【解析】（1）连接OM ，则OM AB ⊥，设,OM r OB r ==-，在BMO V 中，15sin23ABC r ∠=⇒=，22049S r ππ∴==．（2）90,30,ACB ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ，153AC ∴=，∴231414333332781AC V V BC V r ππππ=⨯⨯-==⨯-⨯=-圆锥球．19．（12分）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon ，于1996年收入世界文化遗产名录（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3．14，结果精确到个位）；（2）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．【答案】（1）20347；（2）m ．【解析】（1）因圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m ，则此圆锥的侧面积为 3.14618339.122AB S SA π=⋅⋅≈⨯⨯=(2m )．又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339.126020347⨯≈(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．（2）将圆锥SO 沿母线SA 剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA '，点A到点A '，连接A C '，则A C '为最小长度，扇形弧AA '长等于圆锥SO 底面圆周长12AB ππ⋅=，于是得扇形圆心角122183ASA ππ'∠==，在A SC '△中，118,63SA SC SA '===，由余弦定理得2222cos A C SA SC SA SC A SC ''''=+-⋅∠，即22221862186cos 4683A C π'=+-⨯⨯=，解得A C '=，所以灯光带的最小长度为m ．20．（12分）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ．（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．【答案】（1）32r =；（2）123::3:8S S S =；（3）3:8．【解析】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故30ABC ∠=︒，所以AC R =，BC =，所以322BC r ==．（2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=，故小圆锥的母线长为R ，，所以212S R =⋅，2232S R π=⋅，234S R π=⋅，故123:::3:8S S S =．（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π，体积之比为334:3:823R R ππ=．21．（12分）△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，cos cos 2cos 0a C c A b B ++=．（1）求B ；（2）若6b =，求△ABC 面积S 的最大值．【答案】（1）23π；（2）．【解析】（1）∵cos cos 2cos 0a C c A b B ++=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，∴()sin 2sin cos A C B B +=-，即sin 2sin cos B B B =-，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2B =-，∵0B π<<，∴23B π=．（2）23B π=，6b =，由余弦定理得22222362cos b a c ac B a c ac ==+-=++，∵222a c ac +≥，∴22363a c ac ac =++≥，解得12ac ≤，当且仅当a ＝c 时取等号，∴13sin 24S ac B ac ==≤，∴当a c =时，△ABC 面积S 的最大值为．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC V 区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA V 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC V 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘MNC V 周围筑起护栏．已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒．（1）若20m AM =，求护栏的长度（MNC V 的周长）；（2）若鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V 倍，求ACM ∠；（3）当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC V 的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1）60+；（2）15︒；（3）15ACM ∠=︒时，CMN △的面积取最小值为21200(2-．【解析】（1）∵40m AC =，BC =，AC BC ⊥，∴3tan 3AC B BC ==，∴30B =︒，∴60A =︒，∴280AB AC ==，在ACM △中，由余弦定理可得：22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则CM =，∴222AC AM CM =+，∴CM AB ⊥，∵30MCN ∠=︒，∴tan 3020MN CM =︒=，∴240CN MN ==，∴护栏的长度（MNC V的周长）为204060++=+．（2）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），因为鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V倍，所以11sin 30sin 22CN CM CA CM θ⋅︒=⋅，即CN θ=，60BCN θ∠=︒-，BCN △中，由三角形外角定理可得90CNA B BCN θ∠=∠+∠=︒-，在CAN △中，由40sin 60sin(90)cos CN CA θθ==︒︒-，得cos CN θ=，从而203cos θθ=，即1sin 22θ=，由02120θ<<︒︒，得230θ=︒，所以15θ=︒，即15ACM ∠=︒．（3）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），由（2）知cos CN θ=，90BCM θ∠=︒-，BCM V 中，由外角定理可得120CMA B BCM θ∠=∠+∠=︒-，又在ACM △中，由()sin60sin 120CM CA θ=︒︒-，得()203sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 302sin 120cos 1322CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒==︒-V=，sin23cos23222所以当且仅当26090θ︒+=︒，1200(2．即15θ=︒时，CMN△的面积取最小值为2。

数学 参考答案及评分标准 第1页（共3页）2020年7月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学 参考答案及评分标准一、选择题（共30小题，每小题2分，共60分）二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）31．2 32．21 33．()1,+∞ 34 三、解答题（共4小题，共28分） 35．（本小题满分6分）解：设从第1排座位到第10排座位数列{}n a ,由题意{}n a 是等差数列． ····································· ······························ 1分 其中18a =，公差1d =． ···································································· 2分10198917a a d =+=+=， ································································· 3分等差数列{}n a 的前10项和数学 参考答案及评分标准 第2页（共3页）1101010()2a a S +=·············································································· 4分10(817)1252+== ········································································· 5分 答：问该放映厅一共有125个座位． ······················································ 6分36．（本小题满分6分）解：（1）根据频率分布直方图，[80,90)组的学生人数有4000.1560⨯=人，··············· 1分 [90,100]组的学生人数有4000.1040⨯=人. ·············· 2分 成绩优秀的学生人数合计应为100人；从成绩优秀的学生中按组分层抽样选出5人，则从[80,90)组抽取3人，记为123,,A A A ； 从[90,100]组抽取2人，分别记为12B B ,,. ····················· 3分于是，从这5人中随机抽取2人的所有可能结果为11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ， 32A B ,12A A ,13A A 23A A ,12B B ,共10种. ························ 4分 设所抽取的2人都来自[90,100]组为事件C ，所包含的结果为12B B ，共1种. ········· 5分 因此，所抽取的这2 人的成绩都在区间[90,100]的概率1().10P C =. ···················· 6分 37．（本小题满分8分） (1)PA ⊥底面,ABCD BC ⊂平面ABCD ,.PA BC ∴⊥∵底面ABCD 为矩形, .AB BC ∴⊥,PA AB A BC =∴⊥平面PAB .又AE ∴⊂平面PAB ,∴CB 丄AE（2）在Rt PAB △中，2PA AB ==，1122222PABS PA AB ∴=⋅=⨯⨯=又E 是棱PB 的中点, 1 1.2PAEPABSS ∴==由（1）知，CB ⊥平面,PAB数学 参考答案及评分标准 第3页（共3页）CB ∴是三棱锥C PAE -的高，且已知CB =所以, 11133P ACE C APE PAEV V S CB --==⋅=⨯= 38．（本小题满分8分）已知()()ln f x ax x a a R =--∈ （1）当a = l 时，求()f x 的单调区间； （2）讨论函数()y f x =的零点的个数情况. 38. （本小题满分8分）解答：（1）当a = l 时，()()ln 1f x x x a R =--∈，其定义域为0x > 求导得11()1x f x x x-'=-=令11()10x f x x x-'=-=>解得，1x >， 令11()10x f x x x-'=-=<解得，01x <<， ()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.(2)求导得:11()ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时, ()0f x '<恒成立, ()f x 在区间为()0,+∞上单调递减, 又因为()1ln10f a a =--=,故函数()y f x =的零点为0个; ②当0a >时, 令11()0ax f x a x x -'=-=>,解得，1x a>， 令11()0ax f x a x x -'=-=<,解得，10x a<<， 故()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为11()1ln 1ln f a a a aa ⎛⎫=--=+-⎪⎝⎭数学 参考答案及评分标准 第4页（共3页）令t a =,则有()()ln 1f t t t =---,由(1)知()f t 的单调递减区间为()1,+∞，单调递增区间为()0,1.故()f t 的极大值为1(1)1ln110()()f f t f a=--=>= 即满足()f x 的极小值111()ln 10f aa a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤ (i)当1a =时,则()f x 在1x =处取得最小值0, 故函数()y f x =的零点为1个; (ii)当01a <<或1a >时,则即满足min ()0f x <,故函数()y f x =的零点为2个; 综上, 当0a ≤时, 函数()y f x =的零点为1个; 当1a =时,函数()y f x =的零点为1个;当01a <<或1a >时,函数()y f x =的零点为2个;。

附件22022年广西普通高中学业水平合格性考试 数学学科试卷结构及参考样卷一、试卷结构（一）题型结构。

题型选择题填空题解答题和证明题单项选择题多项选择题题量约26小题约2小题约4小题约3小题分值52分6分12分30分（二）试卷难度分布及比例。

难度比例容易约70%中等约20%较难约10%（第1题图）二、参考样卷广西普通高中学业水平合格性考试数 学（全卷满分100分，考试时间90分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上。

2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。

一、单项选择题（本大题共26小题，每小题2分，共52分。

在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。

温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效。

） 1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为A ．B ．C ．D ．2．2015年以来，我国的年度GDP 数据如下表：时间（年度） 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 GDP(万亿元)68.550674.4127 82.712191.928199.0865 101.5986 114.3670设时间为n ，与其对应的年度GDP 为，那么A ．82.7121B ．91.9281C ．99.0865D ．101.59863.设命题p ：，，则为A ．200,1x R x ∃∈+≤0 B ．2,1x R x ∀∈+≤0C ．200,10x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+>4．欧拉（L.Euler ，1707—1783）是明确提出弧度制思想的瑞士数学家，他提出一个圆周角等于2π弧度．由此可知，π弧度等于 A ．B ．C ．D ．5．(5i)+(12i)+−= A ．78i +B ．6i −C ．9D ．4i6．若，则A ．B ．C ．D ．7．已知向量()12=，a ，()30=，b ，则+a b ＝A ．()40，B ．()02，C ．()42，D ．()32，8．某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640. 为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法按比例从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为 A ．32 B ．33C ．64D ．669．下列函数中，在上为增函数的是 A ．2log y x =B ．12log y x =C ．2x y =D ．12xy=10．边长为2的正方形以一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．11．=A ．0B ．1C ．2D ．312．若，则下列不等式正确的是A ．B ．C ．D ．13. =A ．B ． 1C ．D ．（第14题图）14. 如图，已知有向线段表示向量，则图中能表示向量的有向线段是A ．B ．C ．D ．15．函数()1()23f x x x=≤≤的最大值等于A ．12B ．14C ．15D ．1816．已知正数,x y 满足4x y +=，则xy 的最大值为A ． 2B ．4C ． 6D ．817．命题“1x =”是命题“210x −=”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件18．2sin 30cos30°°的值为A ．2B ．12CD19．用二分法研究函数()321f x x x =+−的零点时，第一次计算，得()00f <，()0.50f >，第二次应计算()1f x ，则1x 等于A ．1−B ．0.25C ．0.75D ．120．高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高（单位cm )分别为170，168，172，172，175，176，180，则这7人的第40百分位数为A ．168B ．170C ．171D ．17221．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量 水价 不超过的部分3元/ 超过但不超过的部分6元/ 超过的部分9元/若某户居民某月的用水量为，则此户居民本月交纳的水费(单位：元)为A ．50B ．54C ．56D ．58第26题图PABCDOM22．关于正弦函数，下列说法正确的是A ．最小正周期为B ．值域为C ．在区间内单调递减D ．在区间内单调递增23．如果幂函数=y x α的图象经过点1(2,)4，那么α等于A ．2−B ．2C ．12−D ．1224．cos52.5cos 7.5sin 52.5sin 7.5°°°°−=A．BCD ．1225．已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为A.13B.12C.23D.3426．如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ， M 为PB 的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ） A ．OM ∥平面PBC B ．OM ∥平面P ACC ．OM ∥平面PDAD ．OM ∥平面PBA二、多项选择题（本大题共2小题，每小题满分3分，共6分。

广西普通高中2021-2022学年高二6月学业水平考试 数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1}B ．{x |x =2}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．如图是由圆柱和长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若复数34i 3i b +=+，i 为虚数单位，则b =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．54．如图所示程序框图中，若输入a =1，b =2，则输出S 的值是（ ）A ．12B ．8C ．4D ．15．已知直线:20l x y c ++=经过点(1,1)，则c 的值为（ ） A ．-3B ．-5C ．-7D ．-96．某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01，02，03，…，55.用随机数表法确定人选，依次得到4个随机数为03，25，98，47，其中，不能作为编号的随机数是（ ） A ．03 B ．25C ．98D ．477．已知cos αtan α=1，则sin α=（ ）A ．13B C ．37D ．598．如图，在ABCD 中，AB AD +=（ ）A ．BDB ．AC C ．BCD ．CD9．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（ ）A ．121n - B ．121n + C ．131n - D ．131n + 10．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()0,0 B ．()0,1 C ．()0,2 D ．()1,111．若1tan 4α=，则()tan α-=（ ） A ．1-2B ．1-3C ．1-4D ．1-512．如图是定义在[-4，0]上的y =f (x )的图像，则f (x )最大值为（ ）A ．-4B ．0C ．1D ．413．已知函数()f x 与x 的值对应如下表，C ．{}1,2,3,4D ．{}4,5,614．下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（ ）A ．12B ．15C ．30D ．3215．132=（ ）A ．1BC D 16．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）A ．1B ．6C ．10D ．2017．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1111,B C D C 的中点，则下列结论正解的是（ ）A ．EF BD ⊥B ．EF BD ∥C ．EF 与BD 相交 D ．EF 与11B D 相交18．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（ ）19．如图，在正六边形ABCDEF 中，与向量AB 相等的向量是（ ）A ．BCB ．EDC ．AFD ．CD20．在平面直角坐标系中，原点()0,0到直线20x y +-=的距离等于（ ） A．1BC D ．321．cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅=（ ） A ．12B ．13C ．15D ．1622．已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+23．椭圆221259x y +=的长半轴长=a （ ）A ．11B ．7C ．5D ．224．不等式260x x +-<的解集为（ ） A ．RB ．{|32}x x -<<C ．{3}x x |<-D ．{|2}x x >25．如图，直线l 将平面分成两个区域，则阴影部分所对的二元一次不等式为（ ）A ．x -y ≤0B ．x +2y +2≤0C ．2x -y +2 ≤0D ．3x -y +2≤026．已知圆的方程为x 2+y 2=4，那么这个圆的面积等于（ ） A ．2B ．3C ．πD ．4π27．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标为（1，0），则p =（ ）28．关于正弦函数y =sin x （x ∈R)，下列说法正确的是（ ） A ．值域为R B ．最小正周期为2π C ．在(0，π)上递减D ．在(π，2π)上递增29．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（ ） A ．30米B ．50米C ．80米D ．110米30．已知圆C :x 2+y 2=1，直线l ：y =2x +b 相交，那么实数b 的取值范围是（ ）A ．（-3，1）B ．（-∞，C ．+∞）D ．（二、填空题31．已知向量a 的坐标为（1，2），则向量3a =_________. 32．已知函数2()2f x x =+，那么(1)f =___________.33．在ABC 中，2,a b c ===cos A =_______.34．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有_____个.35．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长. 三、解答题36．某科技人员为了解实验田的产量情况，对某地的50块实验区进行统计，其中A 区的亩产量为460公斤，亩产量的频率分布直方图如下：(1)亩产量在[450，500]的有几个实验区？(2)从亩产量为[450，500]实验区中任选2个进行推广，则A 区被选中的概率是多少？ 37．如图，AB 是底面O 的直径，C 为O 上异于A 、B 的点，PC 垂直于O 所在平面，D 、E 分别为P A 、PC 的中点.(1)求证：DE ⊥平面ABC . (2)求证：平面BDE ⊥平面PBC . 38．已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈. (1)当a =1时，求f (x )的单调区间.(2)若()()g x f x =+11-ln x x ⎛⎫⎪⎝⎭的图像与直线y a =相切，求a 的值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D 2．D 【解析】 【分析】根据俯视图的知识确定正确答案. 【详解】由于几何体从左向右是圆柱、长方体， 所以俯视图从左向右是两个矩形， 所以D 选项正确. 故选：D 3．C 【解析】 【分析】根据复数相等求解即可. 【详解】因为34i 3i b +=+，所以4b =. 故选：C 4．D 【解析】 【分析】运行程序，计算出输出的S 的值. 【详解】依题意1,2a b ==，1112122S ab ==⨯⨯=. 故选：D 5．A 【解析】 【分析】将点(1,1)的坐标代入直线方程可求出结果. 【详解】因为直线:20l x y c ++=经过点(1,1)， 所以1210c +⨯+=，得3c =-. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】根据随机数表法的知识确定正确选项. 【详解】由于9855>，所以98不能作为编号. 故选：C 7．B 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】sin cos tan 1ααα=⨯==故选：B 8．B 【解析】 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由平行四边形法则知，AB AD +=AC . 故选：B. 9．C 【解析】 【分析】根据规律可得结果. 【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -； 故选:C 10．B 【解析】 【分析】直接令0x =即可求解. 【详解】令0x =，则0112y ⎛⎫=⎪⎝⎭= ，故函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点坐标是()0,1.故选：B. 11．C 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】()1tan tan 4αα-=-=-.故选：C 12．D 【解析】 【分析】根据函数图像确定正确答案.【详解】根据图像可知，()f x 的最大值为()04f =. 故选：D 13．A 【解析】 【分析】直接由函数定义域的概念求解即可. 【详解】由题意知：函数()y f x =的定义域为{}1,2,3,4,5,6. 故选：A. 14．C 【解析】 【分析】根据茎叶图和众数的知识确定正确答案. 【详解】根据茎叶图可知，众数为30. 故选：C 15．B 【解析】 【分析】直接由分数指数幂的运算求解即可. 【详解】 132=.故选：B. 16．C 【解析】 【分析】根据规律求得正确答案. 【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C17．B【解析】【分析】直接由11EF B D ∥及11B D BD ∥即可求解.【详解】由,E F 分别是1111,B C D C 的中点可得11EF B D ∥，又易得11B D BD ∥，则EF BD ∥. 故选：B.18．A【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=. 故选：A.19．B【解析】【分析】由相等向量的定义可知.【详解】由图可知六边形ABCDEF 是正六边形，所以ED =AB ，与AB 方向相同的只有ED ；而BC ,AF ,CD 与AB 长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误； 故选：B20．B【解析】【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.【详解】原点()0,0到直线20x y +-==故选：B.21．A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】 cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅=1cos(666)cos602-==. 故选：A22．C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知：直线ll 的方程为1y =+.故选：C.23．C【解析】【分析】直接由椭圆标准方程求解即可.【详解】由椭圆标准方程知，长半轴长5a =.故选：C.24．B【解析】【分析】分解因式法可求出结果.【详解】由260x x +-<，得(3)(2)0x x +-<，得32x -<<，所以不等式260x x +-<的解集为{|32}x x -<<.故选：B25．A【解析】【分析】求得直线l 的方程，结合图象确定正确答案.【详解】直线l 过原点和点()1,1，所以直线l 的方程为y x =，阴影部分为y x ≥，即0x y -≤.故选：A26．D【解析】【分析】根据圆的半径求得圆的面积.【详解】圆224x y +=的半径为2，所以面积为2π24π⨯=.故选：D27．A【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求得p 的值.【详解】由于抛物线22y px =的焦点为()1,0， 所以1,22p p ==. 故选：A【解析】【分析】根据正弦函数的基本性质和图象可得结果.【详解】函数sin (R)y x x =∈的图象如图所示：如图所示，函数sin (R)y x x =∈的定义域为R ，值域为[]1,1-，所以A 错误；sin (R)y x x =∈的最小正周期为2π，所以B 正确；sin (R)y x x =∈在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所C 、D 错误； 故选：B29．C【解析】【分析】设该矩形区域的长为x 米，则宽为400x米，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】设该矩形区域的长为x 米，则宽为400x 米，则所用警戒线的长度为4002280x x ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭米，当且仅当400x x =，即20x 时，取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选：C30．D【分析】利用圆心到直线l 的距离列不等式，从而求得b 的取值范围.【详解】圆C 的圆心为()0,0，半径为1，直线:20l x y b -+=，由于圆与直线l 相交，1<，解得b <<故选：D31．()3,6【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案.【详解】()()1,233,6a a =⇒=.故答案为：()3,632．3【解析】【分析】直接根据函数解析式可求出结果.【详解】因为2()2f x x =+，所以2(1)123=+=f .故答案为：3.33．13 【解析】【分析】利用余弦定理求得正确答案.由余弦定理得2223341cos 263b c a A bc +-+-===. 故答案为：1334．4【解析】【分析】结合线线、线面垂直的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,,PA AB PA AC PA BC ⊥⊥⊥，所以三角形PAB 和三角形PAC 是直角三角形.由于90ACB ∠=︒，所以BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形.由于AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以三角形PBC 是直角三角形.所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有4个.故答案为：435．192【解析】【分析】根据“割圆术”的规律求得正确答案.【详解】依题意，边长依次为：6,12,24,48,96,192.故答案为：19236．(1)5 (2)25【解析】【分析】（1）根据频率直方图即可得到答案.（2）根据古典概型公式求解即可.(1)[]450,500的频率为0.002500.1⨯=，[]450,500共有500.15⨯=个实验区.(2)令事件A 为：A 区被选中，()1425C 2C 5P A ==. 37．(1)证明详见解析(2)证明详见解析【解析】【分析】（1）通过证明//DE AC 来证得//DE 平面ABC .（2）通过证明DE ⊥平面PBC 来证得平面BDE ⊥平面PBC .(1)由于,D E 分别是,PA PC 的中点，所以//DE AC ，由于DE ⊂/平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC .(2)依题意PC ⊥平面ABC ，所以PC AC ⊥.由于AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥,由于PC BC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，由于//DE AC ，所以DE ⊥平面PBC ，由于DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PBC .38．(1)f (x )在(0,1)递减，在(1,)+∞递增(2)1【解析】【分析】（1）当a =1时，()ln f x x x =-，求导，利用导数的正负即可得出结果.（2）求出()g x 的解析式，设出切点坐标，由已知条件消去参数a ，再转化为求函数最值问题，即可得到a 值.(1)当a =1时，()ln f x x x =-，定义域是(0,),+∞11()1,x f x x x-'=-=令()0,f x '>，解得：1,x >，令()0,f x '<解得：01,x <<，故f (x )在(0,1)递减，在(1,)+∞递增；(2) 由题意得，ln ()x g x ax x=-，设()y g x =的图像与直线y a =相切于点(,)t a ， ⊥()()0g t a g t '=⎧⎨=⎩，又21ln ()x g x a x -'=-，⊥2ln 1ln 0t at a t t a t ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩得1(21)ln 0,t t t ---=，令()1(21)ln ,F t t t t =---，则1()2ln 1,F t t t'=-- 令1()2ln 1H t t t=--，则212()0H t t t '=--< ⊥()F t '在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F '=，⊥当01t <<时，()0F t '>，函数()F t 在(0,1)上单调递增，当1t >时，()0F t '<，函数函数()F t 在(0,1)上单调递减，⊥当且仅当t =1时，()0F t =，则221ln 1ln1 1.1t a t --===。

2021年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学〔全卷总分值100分，考试时间120分钟〕考前须知：1•答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上.2•考生作答时，请在答题卡上作答〔答题考前须知见答题卡〕，在本试题上作答无效.一、单项选择题：本大题共30小题，每题2分，共60分•在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的.〔温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效•〕1 •集合A 5 , B 4,5，那么AI BB • 4 C. 5 D • 4 , 52. 1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数开展所做出的杰出奉献，德国特别发行了一枚邮票〔如图〕•这枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：〔4 4i〕〔 5 6i〕A • 1 10iB • 2 9iD. 10 i3.直线1的斜率等于uur 4.设向量AB uuir uuir BC b，贝V ACa+ b C.5.函数■.x的定义域是XX > 06.某几何体的三视图如右图所示那么该几何体是A .棱柱B .圆柱C .棱锥D .圆锥7 .某校高二年级共有600名学生编号为001〜600.为了分析一个样本容量为 60的样本.如果编号 006, 016, 026在样本中，那么以下编号在样本中的是10.指数函数y a x a 0且a 1的图像必过定点A . 0,0C . 1 ,011.经过点P(0 ,2)且斜率为2的直线方程为A. 2x y 2 0B. 2x y 2 0A . 010B . 020C . 036D . 042&执行如下图的程序框图，输出的结果是C . 27 649. 60o 角的弧度数是0,1D . 1,1D. 2x y 2 012 .函数y 2sin x , x R的取大值为A. 2 B . 1C. 1 D . 213. log3 9A . 9B . 3C . 21 D .-314•命题“假设两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等〞的逆命题是A .假设两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等B .假设两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积相等C .假设两个三角形的面积相等，那么这两个三角形不全等D .假设两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积不相等15 .在等比数列a n中，a i=2 , a2=4 ,那么a4 =A . 6B . 8 C. 16 D. 3216.以下命题正确的选项是1 2 1A. a 的最小值是2B. a 的最小值是2a aC. a -的最大值是2D. a2丄的最大值是2a a17 .设向量a (5 ,7) , b (6 , 4)，那么acbA. 58 B . 2 C . 2 D . 2218 .在厶ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,假设b1, c 2, A 45o,那么a的长为A. 1B. 2 C . 3 D . 2219 .双曲线x2 -y? 1的虚轴长是实轴长的2倍，贝U实数m的值是mA. 1 B . 2 C . 2 D . 420 .某种细胞分裂时,由1个分裂成2个，2个分裂成4个依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为C. 16个D. 32 个21.棱长均为a的三棱锥的外表积是A. 4a2 B . 3a222 .从某中学高三年级中随机抽取了6名男生，其身高和体重的数据如下表所示:由以上数据，建立了身高x预报体重y的回归方程?C . a n . 3n 171.6 •那么，根据上述回归方程预报一名身高为175cm的高三男生的体重是23. A• 80 kg B • kg C. kg kg 抛物线y26x的准线方程是c. y24. 不等式组所表示的平面区域的面积为25 . 数列,5,2 2, 11,…的一个通项公式是a n 3n 1a n26.sin75°寸3 7? 76 72 <3 /2 屈近A .B. C. D.4 4 4 427.某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地•经测量，这块三角形空地的两边长分别为68m，它们的夹角是30°•改造费用为50元/ m2，那么，这块三角形空地的改造费用为A . 27200 . 3 元C.27200元D. 54400元328 .函数f x x x 1的零点所在的区间是A. (0,1) B . (1,2)C . (2 ,3)D . (3,4)29 .关于函数y log 3 x 1的单调性，以下说法正确的选项是A.三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，所以sinx是周期函数32m和B. 54400.3 元上是减函数B.在0 , 上是增函数上是减函数D.在1 , 上是增函数30 .由个别事实概括出一般结论的推理B .一切奇数都不能被 2整除，525是奇数，所以525不能被2整除2分，共12分.〔温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题 上作答无效•〕x 1 x W 031 .假设函数f x 2' '那么f 2,x 0,32 .在等差数列 an 中，a 1 3 , a ? 7 ,贝U 公差d34.向量a = (2, 1), b= (1 , 5),那么2a b 的坐标为 ____________________________36 .不等式 x 2 2x 3 > 0的解集为 _________________________三、解答题：本大题共4小题，共28容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效•〕37.〔本小题总分值6分〕赵州桥是当今世 界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥 〔图一〕•假设以赵州桥跨C •由 1 12 , 1 3 22 , 1 3 5 32，得 1 32n 1n 2 n ND .两直线平行，同位角相等.假设A 与B 是两条平行直线的同位角，那么 A B、填空题：本大题共6小题，每题 33. sinx45，且x 是第一象限角，那么C0Sxx235.椭圆一25 2y_91的离心率e径AB 所在直线为x 轴，桥的拱高OP 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系〔图二〕，有桥的圆拱 APB 所在的圆的方程为 x 2y 20.72.求0P .38.〔本小题总分值6分〕在三棱锥P ABC 中，PA 平面ABC , AC BC .证明： BC 平面PAC .日降水量降水强度小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨为分析某市“主汛期〞的降水情况，从该市 2021年6月〜8月有降水记录的监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，具体数据如下：16 12 23 65 24 37 39 21 36 6839.〔本小题总分值8分〕24小时内的降水量为日降水量〔单位:(1)请完成以下表示这组数据的茎叶图；(2)从样本中降水强度为大雨以上(含大雨)天气的5天中随机选取2天，求恰有1天是暴雨天气的概率.40.(本小题总分值8分)2x函数f (x) x In x a 1 , g x ax xlnx，其中a 0.2(1)求f (x)的单调区间；3(2)当x> 1时，g x的最小值大于- In a,求a的取值范围.22021年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学参考答案及评分标准说明：1.第一题选择题，选对得分，多项选择、错选或不选一律给0分.2.第二题填空题，不给中间分.3.第三题解答题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细那么.4.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分.5•解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6•只给整数分数.、选择题〔共30小题，每题2分，共60 分〕_、填空题〔共6小题，每题2分，共12分〕334. (5 , 7)431. 432. 2 33.-35. 36. 1 ,355三、解答题〔共4小题，共28 分〕37. 2 2解：在方程227.9 中，令x 0 , ..................... o Zk2分2 2那么y 20.7 27.9 , ............................................................................ •分解得y i ,出 48.6 (舍去) .............. ................................. 5分OP 7.2 •............................................................................................. 6分38.证明：PA 平面ABC, BC 平面ABC, PA BC. ......................... 3分又AC BC ,PA 平面PAC , AC 平面PAC , PA AC A,BC 平面PAC .126(2)记降水强度为大雨的3天为a , b , c ,降水强度为暴雨的2天为d , e ,从这5天中抽取2天的所有情况为ab , ac, ad , ae , be , bd , be, cd , ce, de,根本领件总数为10. 6分记“ 5天中抽取2天，恰有一天发生暴雨〞为事件A，可能结果为ad，ae，bd，be , cd , ce,即事件A包含的根本领件数为 6. ....................................... 7分6所以恰有1天发生暴雨的概率P(A) 0.6 . ........................................... 8分1040.解：(1)函数f(x)的定义域为(0 , ) . ...................................................... 1分1 x 1 f(x) 1 . .........................................2 分x x当0 x 1时，f (x) 0；当x 1 时，f (x) 0.•••函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1, ) . 4分(2)易知g (x) x ln x a 1 f (x).由(1)知，f (x) > f (1) a 0 ,所以当x> 1 时，g (x)> g (1) a 0.从而g(x)在1,)上单调递增，1所以g(x)的最小值g 1 a - . ..................................................................... 6分21 3依题意得a In a ,即a ln a 1 0 . ............................................. 7分2 2令h a ln a a 1，易知h a在0, 上单调递增所以h a h 1 0 ,所以a的取值范围是1,。

高中数学学业水平考试试题(满分：100 时量：120分钟)一、选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1、如果集合{}1->=x x P ，那么A ．P ⊆0B ．{}P ∈0C ．P ∈∅D ．{}P ⊆02、65cosπ的值等于 A ．23 B ．23- C ．21 D ．21- 3、数列0，0，0，0…，0，…A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列4、下列函数中与y=x 是同一个函数的是A ．2)(x y = B ．xx y 2= C ．33x y = D ．2x y =5、点（0，5）到直线y=2x 的距离是A ．25B ．5C ．23D ．256、直线x+2y+3=0的斜率和在y 轴上的截距分别是 A ．21-和－3 B ．21和－3 C ．21-和23 D ．21-和23-7、已知下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行③垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ④垂直于同一平面的两条直线平行其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、若x f x=)10(，则f （3）等于 A ．lg3 B ．log 310 C ．103 D ．3109、函数x y -=112的值域为 A ．{}0>y y B ．{}10≠>y y y 且C ．RD ．{}0≠∈y R y y 且10、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为 A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°11、满足a=4，b=3和A=45°的△ABC 的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个12、若log 2a+log 2b=6，则a+b 的最小值为 A ．62 B ．6 C ．28 D ．1613、关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是 A ．0≤a ≤1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ≤1且a ≠014、83)x12x (-的展开式中的常数项为A ．–28B ．–7C ．7D ．2815、平行于底面的平面截棱锥所得截面的面积与底面面积之比为1:2，则此截面把侧棱分成的两线段的长度比为A ．1:2B ．1:2C ．)12(-:1D ．1:416、点A 分有向线段所成的比为21-，则点B 分有向线段所成的比为A ．21 B ．2 C ．1 D ．–117、将函数)6x 21cos(y π+=的图象经过怎样的平移，可以得到函数x 21cos y =的图象A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向左平移12π个单位 18、若不等式02<++b ax x 的解为1＜x ＜2，则不等式ax 2+bx+1＜0的解为 A ．1＜x ＜3B ．x ＞1或x ＜–31 C ．–31＜x ＜1 D ．x ＜–1或x ＞31 19、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法种数为 A ．144B ．24C ．36D ．12020、圆心在曲线x 2=2y(x>0)上，并且与抛物线x 2=2y 的准线及y 轴都相切的圆的方程是A ．041y 2x y x 22=---+ B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041y x 2y x 22=+--+二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。