3李雅普诺夫稳定性与正实函数

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。

该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。

李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。

李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。

在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。

对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。

为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。

如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。

2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。

那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。

如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。

如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。

通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。

对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。

如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。

李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。

对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。

总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。

通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。

常微分方程的李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是研究常微分方程稳定性的重要工具。

它能够通过引入一个函数来刻画系统稳定性的特点，对于分析系统的稳定性和发展趋势具有重要意义。

本文将介绍李雅普诺夫函数的定义、性质及应用，以及在常微分方程中的具体应用案例。

一、李雅普诺夫函数的定义李雅普诺夫函数是一个实数函数V(x)，其中x表示系统的状态变量。

若对于任意一个系统状态x(t)，满足以下条件，那么函数V(x)称为李雅普诺夫函数：1. V(x)是正定函数：对于所有的x≠0，V(x)>0；对于x=0，V(x)=0。

2. V(x)是可微函数：V(x)在定义域内可导。

3. V(x)是递减函数：对于系统状态的演化轨迹x(t)，有dV(x(t))/dt ≤ 0。

二、李雅普诺夫函数的性质1. 李雅普诺夫函数的存在性：对于一类稳定系统，通常可以找到一个李雅普诺夫函数来描述其稳定性。

2. 李雅普诺夫函数的唯一性：对于稳定系统，可能存在多个满足条件的李雅普诺夫函数，但它们在系统稳定性的刻画上是等价的。

3. 李雅普诺夫函数的偏导数性质：对于李雅普诺夫函数V(x)，其偏导数∂V/∂x的性质与系统的稳定性密切相关。

- 若∂V/∂x < 0，则系统是渐进稳定的。

- 若∂V/∂x > 0，则系统是不稳定的。

- 若∂V/∂x = 0，则系统的稳定性无法确定。

三、李雅普诺夫函数的应用李雅普诺夫函数在常微分方程的研究中具有广泛应用，下面介绍几个常见的应用案例。

1. 稳定性分析：李雅普诺夫函数可以用于判断系统状态的稳定性。

通过构造合适的李雅普诺夫函数，可以确定系统的稳定性以及稳定点的性质（渐进稳定、有界稳定等）。

2. 极限周期分析：对于周期系统，李雅普诺夫函数可以用于分析系统周期解的性质。

通过求解李雅普诺夫方程，可以判断周期解的稳定性以及极限周期的存在性。

3. 可解性判定：对于非线性系统，通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以从数学上证明系统的可解性，为求解提供理论基础。

第八章 李雅普诺夫稳定性我们已经学过判别系统稳定性的几种方法：劳斯-胡尔维兹判据、奈魁斯特判据等，这些方法主要适用于线性定常系统。

本章将介绍适用于一般非线性系统（当然也包括线性定常系统）的李雅普诺夫稳定性判据。

§1 基本概念 1. 系统的分类),()()(t t x f xx f xx A x Ax x ==== 非线性线性非定常定常系统按是否满足迭加原理分为：线性、非线性；按是否显含时间变量分为：定常（自主、时不变）、非定常（非自主、时变）。

线性定常系统最简单，非线性时变系统最复杂。

2. 标量函数的定号性标量函数)(x V 称为正定的（半正定的）若0)(=0V ，且当0≠x 时，0)(>x V （0)(≥x V ）。

标量函数)(x V 称为负定的（半负定的）若)(x V -是正定的（半正定的）。

例如：若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x ，则 2221x x + 正定；21x 半正定；22211x x + 都不是。

⏹ 请特别注意，0)(≥x V 与0)(>x V 的区别（见上面第二例），更要注意0)(=0V 是定号性的必要条件（见上面第三例）。

⏹ 二次型函数Ax x T 的定号性同矩阵A （实对称）的定号性。

⏹ 在不引起混淆时，可直接用0)(>x V 表示正定，其余类推。

3. 运动和平衡状态考虑不受外部作用的系统),(t x f x= ，其状态轨线，即方程的解),;()(00t t t x x φ=称作系统的运动。

满足0=x 的状态e x ，也就是0=),(t e x f 的解（零解），称作系统的平衡状态。

是一种“静止”的运动。

平衡态可能不止一个，甚至无穷多个。

若某一平衡态附近足够小的邻域内没有别的平衡态，则称它为孤立的平衡状态。

经过适当的坐标变换，孤立平衡状态总可以变换到状态空间的原点。

4. 平衡状态的稳定性稳定：对孤立平衡状态e x ，若任给0>ε，存在0)(>εδ，使得由)(0εδ≤-e x x 内任意0x 出发的运动，恒有ε≤-e x x 。