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第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
v(x)=i/r (x)/(x)r严J] ar r ■ 1 as严), ar r • ■ r /(x)+/r (x) = /(xM r (x)/(.r) + /r (x)J(x)/(x) =-111 FV(x) = /r (x)/(x)^系统的一个李雅评诺夫曲数，即/f (X)/(X)正定。
■因此,若j(x)负定•则V(x.O = /r (x)j(x)/(x 必为负定。
x 所以，由泄理54知•该非线性系统的卩衡态叫=0是渐近稳 定的。
□ □ □ 丸人索人斯仏法(“7〉 □在应用克拉索夫斯基定理时，还应注意下血儿点。
-克拉索夫斯堆丘理只是渐近稳左的一个充分条件，不是必 耍条件。
丁如对于渐近稳定的线性定常连续系统j(x) = J(x) +J r (x) =不是负定矩阵，故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
/可见•该定理仅是一个充分条件判别定理。
x(/) = /(x) V(x}^ x T x^ 丸拉次先斯览7) -若V(x)=f(x}f(x)止定，为Ly叩unov函数•则说明只右'"|*0 时才有Wr)=O,即原点是唯一的平衡态。
“因此，只有原点是系统的唯一平衡态，才能用克拉索夫斯皋定理判别渐近稳运性，并且山该泄理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范国渐近稳定的。
-山克拉索夫斯基定理对知，系统的平衡态％=0是渐近稳定的条件IiJ(x)+Z(x)为负定矩阵函数。
"由负定矩阵的性质知，此时雅可比矩阵丿(x)的对角线元索恒取负值•因此向虽函数f(x)的第/个分量必须包禽变駁心含则•就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。
”将克拉索夫斯卑定理推广到线性疋常连续系统可知:对称矩阵4+川负立，则系统的原点是大范用渐近稳定的。
丸拉索人斯肚注〔67>J例412试确定如下非线性系统的平衡态的忌定性:口解由于用)连续可导且/r(x)/(x) = (-3x| + x2)2 +(.V|-X2-X2)2 >0□町取作李雅普诺夫的数，因此•有兑拉廉夬浙临法(7/7)由塞尔维斯特准则有一6 2 5=-6<0> △?= 、二36x； + 8>02 2 61■，故矩阵函数j(x)负定，所以曲克拉索夫斯基定理可知，平衡态耳=0杲渐近稳定的。
§6.2李雅普诺夫稳定性1、稳定性定义李雅普诺夫稳定性概念如果对于任意给定的0>ε和0t ≥0都存在0),(0>=t εδδ，使得只要0x 满足δ<-10x x就有εϕ<-),,(),,(1000x x x t t t t对一切0t t ≥成立，则称微分方程),(d d x x t f t= (6.6)的解),,(10x x t t ϕ=是稳定的.否则是不稳定的.假设),,(10x x t t ϕ=是稳定的，而且存在)0(11δδδ≤<，使得只要0x 满足1δ<-10x x就有0)),,(),,((lim 1000=-∞→x x x t t t t t ϕ则称(6.6)的解),,(10x x t t ϕ=是渐近稳定的.注意：微分方程(6.6)式中的函数),(x t f 对nR D ⊆∈x 和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部李普希兹条件.一般情况下，我们把解),,(10x x t t ϕ=的稳定性化成零解的稳定性问题进行讨论. 这样就有下面的关于零解0=x 稳定性的定义:定义1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0),(0>=t εδδ，使当δ<0x 时有ε<),,(00x x t t对所有的0t t ≥成立，则称(6.6)的零解是稳定的.反之是不稳定的.定义2 若(6.6)的零解是稳定的，且存在10δ>, 使当1δ<0x 时有0),,(lim 00=∞→x x t t t则称(5.1)的零解是渐近稳定的. 2、李雅普诺夫第二方法定义3（李雅普诺夫函数） 若函数R G →:)(x V满足V (0)＝0, )(x V 和),,2,1(n i x i=∂∂V 都连续，且若存在0<H ≤K ,使在{}H x x ≤=|D 上)0(0)(≤≥x V ，则称)(x V 是常正(负)的；若在D 上除0x =外总有)0(0)(<>x V ，则称)(x V 是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的.定理1（零解稳定判别定理） 对系统nR x x F tx ∈=),(d d (6.7)若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V (x )满足(1) 正定； (2)∑=∂∂=ni i iF xVt1)2.5()(d d x V 常负.则(6.7)的零解是稳定的.注意：(6.7)式中Tn x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}K G ≤∈=x R x n|上连续，满足局部李普希兹条件，且(0)0F =．引理 若V (x )是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数()x t 有0))((lim =∞→t t x V则.0)(lim =∞→t x t定理2（零解渐近稳定判别定理） 对系统(5.2)，若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V (x )满足(1) 正定, (2)(6.7)1d ()d ni i iV tx =∂=∂∑V F x 负定，则(6.7)的零解渐近稳定.定理3（零解不稳定判别定理） 对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数V (x )满足（1）∑=∂∂=ni i ix F xVdtd 1)2.5()(V 正定，（2）V (x )不是常负函数， 则系统(6.7)的零解是不稳定的.。
