第7讲置换群

置换群的乘法
置换群的乘法指的是将两个置换进行相乘所得到的结果。

对任意两个置换，可以执行以下步骤进行相乘：
1. 将第一个置换中的每个元素都对应到第二个置换中的元素；
2. 然后根据这个对应关系得到一个新的置换，即将第一个置换中的每个元素和其对应的第二个置换中的元素进行组合，得到一个新的置换；
3. 最后，将所有的组合置换进行合并，得到最终的置换。

具体来说，设 $f$ 和 $g$ 是两个置换，其对应的置换对分别为
$(k_1,f(k_1)),$ $(k_2,f(k_2)),$ $\ldots,$ $(k_n,f(k_n))$ 和
$(l_1,g(l_1)),$ $(l_2,g(l_2)),$ $\ldots,$ $(l_m,g(l_m))$，则它们的乘积 $h=f \circ g$ 的对应置换对为 $(k_1,h(k_1)),$ $(k_2,h(k_2)),$ $\ldots,$ $(k_n,h(k_n))$，其中
$h(k_i)=g(f(k_i))$。

需要注意的是，置换群的乘法并不满足交换律，即 $f \circ g \neq g \circ f$。

此外，诸如单位元、逆元等概念在置换群的乘法中同样存在，并且对乘法运算的定义有着重要的作用。

第五章 置换群与酉群§ n 阶置换群S n【概念】 （置换）将n 个数字{1，2，…，n}的排列n a a a 21映为排列n b b b 21，称为一个n 阶的置换，记为s , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n b a b b a a s 2121。

置换s 把a 1换为b 1，a 2换为b 2，…，a n 换为b n ，它决定于诸双数码的对换，与诸对数码的排列顺序无关。

【概念】 （置换群）概念两个置换r ，s 的乘积rs 为先实行置换s ，再实行置换r ，那么在此乘法下所有n 阶置换作成的集合，组成一个群，称为n 阶置换群或对称群，记为S n 。

单位元：恒等置换。

逆元：n S s ∈∀，⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b a b b a as 2121，⎪⎭⎫⎝⎛=-n n a b a a b b s 21211置换的乘法知足封锁性和结合律，S n 群的阶为n ！。

【概念】 （轮换）一种特殊形式的置换：⎪⎭⎫⎝⎛-113221e e e e e e e em m m 称为轮换，记为()m e e e 21，轮换数码的个数m 称为轮换的阶。

•系1 轮换内的数码作轮换，仍表示同一个轮换，即：()()()12113221-==m m m m e e e e e e e e e e e 。

•系2 两个轮换()m e e e 21和()n f f f 21假设没有公共数码，那么称它们彼此独立；彼此独立的轮换之间的乘积知足互换律，即：()()⎪⎭⎫⎝⎛=13221132212121f f f f f f e e e e e ef f f e e e n m n m()()m n e e e f f f 2121=•系3 任意的n 阶置换总能够分解为彼此独立轮换的乘积。

例如：=⎪⎭⎫ ⎝⎛316556432421（1 4 5）（2）（3 6）=（1 4 5）（3 6） ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n s 3321210=（1）（2）…（n ） 一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记，故S 0=（1）=（2）=…=（n ）。

定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元 元 ，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地， 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一 等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言， 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。

τ=（aa1…asbb1…bi）… 则（ab）τ=（aa1…as）（bb1…bi） … 故，
sgn(ab)τ= (-1)n-(h+1) = -编(辑-p1pt )n-h = -sgnτ
补充证明
(ab)=(ab)(aa1…as)(bb1…bi)… =
baaba1a1......aassbb11......bbii......aa1aa12.....a.asbbb11b......bbii......aaaa11......aassbb1bb12.....b.bi.........
ba11
a2 an b2 bn
1
= ba11
b2 bn a2 an
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n次对称群
n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作 成一个群，称为n 次对称群。
1n次=对1，称M群=，{a为}，AbSe1l=群{ 。aa }—在置换的乘法作成
n=2,
M={a，b}, S2={
a a
b b
,
a b
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不相杂轮换
定理6.3.2 任意置换σ恰有一法写成不相杂的 轮换乘积。即，任意置换σ可以写成不相杂的 轮换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺 序，则写法是唯一的(唯一性)。
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证明：
（1）可表性。
设σ是M上置换，任取a1∈M。 ➢ 若σ（a1） = a1，则有轮换（a1）。 ➢ 设σ（a1）= a2， σ（a2）= a3，…。由于
可表为(a1at)(a1at-1)…(a1a2)，所以σ= (a1at+1) (a1at)(a1at-1)…(a1a2)，归编辑纳ppt 法完成。
➢ 有兴趣的同学可以采用直接证明的方法 进行证明。