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② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有gs-t=e因 此 G没有相同的元素，故 G的阶 m=∞ 。
• 循环群是交换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G的生成元，则G的结构
在同构的意义下完全由 g的阶所确定：
（1）若 g的阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g的阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例. (GF ,∘) 和 (AF ,∘)都是平面上的变换群。
例7.3.4 在已建立平面直角坐标系的平面上，
用σp表示平移：σp (Q)= Q +P；
用τθ表示绕坐标原点的旋转。 一般地， σp∘τθ ≠τθ∘σp 。
比如取P =(0,1)，θ =½π ，则有：
( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) 而 ( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 )
证. 设群 G的阶=m, G的生成元 g的阶=n。分二种情形： ① n<∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中, gs = gt ⇔ s≡t (mod n) . ∵ 若 gs= gt，即 gs-t=e，则s-t=nq。 反之，若s-t=nq，则 gs= gnq+t = gt。 因此 G ={ g0, g, g2,···, gn-1}，故m=n；
e 112233,1 122331,2 132123, 3 113223,4 122133,5 132231。
7.3 循环群与置换群
一、循环群
定义7.3.1 设(G ,◦)是一个群，H ⊆G, 若G的元素均 可由H中的若干元素经过有限次的二元运算◦而得 到，则称子集 H生成群(G,◦)，并将生成群的子集 中最小的称为群(G,◦)的生成元集。
注意：生成元集不一定唯一！其最小性是相对于集 合的基数而言。
定理7.3.1 循环群( G,◦)的阶= G的生成元 g的阶。
定理7.3.2 设T(S)为集合 S上所有的双射变换，则 (T(S),◦)是一个群。
• 设 S上的若干个双射变换组成的集合G关于◦ 构成 一个群，则称 G为 S上的一个变换群。
• 集合 S上双射变换的集合G关于◦ 构成一个群的充 要条件是下面二个条件成立：
（1）G关于运算◦是封闭的， （2）对∀g ∈ G，必有 g-1 ∈ G。
)
i2
(i2 )
in (in
)
通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作:
σ : i →j , ( i =1, 2, ⋅⋅⋅ )
例7.3.5 设有限集合S = {a1, a2, a3}，则 S上的每一 个置换可以用六种不同的方式来表示。比如，
τ : a1 → a2 , a2 → a3, a3 → a1 ,
综合上述结论可知：( T(G ),◦) 是一个变换群。
再证明 ( G, ∗) ≅ ( T(G ),◦)
作映射 f : G →T(G), g →Tg 显然 f 是一个满射, 若Tg = Th，则 Tg( a) = Th ( a)，即 g∗a = h∗a ， 由消去律得 g = h，故 f 是单射。
而Tg ∗ h ( a) = (g∗h)∗a = Tg◦Th( a) , 故 f ( g ∗ h) = Tg ∗ h = Tg◦Th ，即 f 保持运算。
综上所述知：( G, ∗) ≅ ( T(G ),◦)
定义7.3.4 设 S为含n个元素的有限集合，σ是 S上 的一个双射，则称 σ是 S上的一个 n元置换。 S上的若干个置换关于运算◦构成的群，称为 n元 置换群；S 上的全体置换构成的群，称为 n次对称 群，记为Sn
• n次对称群的阶是 n! 。
例如： (AF ,∘) ≅ (Z3, +3)
证. （1）注意到，在G ={ gk | k ∈ Z }中,
gs= gt ⇔ s≡t (mod n)。
作映射 f : G → Zn , f ( gk )=[k]n ， 则 f 是双射。 又 f (gs◦gt )= f (gs+t )=[s + t ]n =[s]n +n [t]n
• 设有限集合S = {a1, a2,⋅⋅⋅,an}上一个置换，
σ : S →S , ai → aj ( i =1, 2, ⋅⋅⋅ ) 则置换τ 完全由有序整数对 (1, j1), (2, j2), ,⋅⋅⋅, (n, jn) 所决定，于是可以将置换表示为：
1(1)
2
(2)
(nn)
或
i1 (i1
2
2
故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。
Байду номын сангаас
定理7.3.3 任意一个群都同构于一个变换群。
证. 设( G, ∗)是群，g ∈ G。
定义变换 Tg: G →G, a→ g∗a 。 [压缩或平移变换]
下面证明 ( T(G ),◦) 是群，其中 T(G ) ={ Tg| g ∈ G }：
若Tg( a) = Tg( b), 则 g∗a = g∗b, 由消去律得 a = b, Tg是单射;
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
定理7.3.2 设 G为集合 S上全体变换的集合，则 (G ,∘)是一个含幺元 e的半群，其中运算 ∘ 是复合 运算，e 为S上的恒等变换。
可以表示为：
1 2 3 2 1 3 1 2 1 3 3 2 3 2 1 2 1 3 3 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 2 1 3 3 2 1 2
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
例. 3次对称群S3 中有6个元素，分别是
对∀c ∈ G, 有d= g-1∗c ∈ G，满足 Tg(d ) = c ，Tg 是满射。 又Tg◦Th(a) = Tg(Th(a)) = Tg(h∗a)= g∗h∗a = Tg∗h(a)∈ T(G ) , 而Tg◦Tg-1(a) = g∗g-1∗a = a = g-1∗g∗a = Tg-1◦Tg(a), 即Tg-1=Tg-1 .
