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群论是数学中的重要分支，研究群及其性质。
在群论中，循环群和置换群是两个重要的概念。
本文将介绍循环群和置换群的定义及其性质。
循环群是群论中最简单的一类群。
循环群的定义是由一个元素生成的群。
换句话说，循环群是由一个元素通过重复进行群运算得到的。
考虑一个群G和其中的一个元素a，如果我们用a对自身进行重复的群运算，直到得到的结果覆盖了G中的所有元素，那么我们可以说G是由元素a生成的循环群。
这样的元素a称为循环群G的一个生成元。
循环群可以用符号⟨a⟩来表示，其中⟨a⟩表示由元素a生成的循环群。
循环群有一个重要的性质，即循环群的阶（群中元素的个数）等于生成元素的次数。
例如，考虑一个由整数1生成的循环群，那么这个循环群的阶就是正整数的个数，即无穷大。
另一个例子是由元素a生成的循环群，如果a的次数为n，那么这个循环群的阶就是n。
与循环群相对应的是置换群。
置换群是指由有限个元素进行交换操作得到的群。
换句话说，置换群是由元素的排列组合形成的。
例如，考虑一个由4个元素{1, 2, 3, 4}构成的集合，通过对元素的交换操作，我们可以获得所有可能的排列组合，形成一个置换群。
置换群的元素可以表示为如下形式的置换：(1 2)(3 4)，其中数字表示被交换的元素的位置。
置换群也有一些特殊的性质。
首先，每个置换群都有一个单位元，即空置换，不对任何元素进行置换。
其次，对置换群中的两个置换进行群运算，结果仍然是一个置换。
最后，置换群中每个置换都有一个逆元，即将置换中的每个元素的位置进行逆置。
循环群与置换群之间有一个重要的联系，即每个循环群都可以用置换群的形式表示。
例如，考虑一个由元素a生成的循环群⟨a⟩，我们可以定义一个置换群S，其中元素的排列由元素a的次幂定义。
换句话说，置换群S中的元素就是元素a进行有限次幂运算得到的结果。
由此可见，循环群和置换群是紧密相关的。
综上所述，循环群和置换群是群论中的重要概念。
循环群由一个元素生成，其阶等于生成元素的次数；置换群由有限个元素的排列组合生成，具有单位元、群运算封闭性和逆元等性质。
（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。
·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。
