高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第五节 抛物线及其性质模拟创新题 文 新人教A版
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1 【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第五节 抛物线及其性质模拟创新题 文 新人教A版
一、选择题
1.(2016·河南洛阳统考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝( )
A.14 B.1
C.54 D.2
解析 不妨设点A位于x轴上方，由|AF|＝5得xA＝5－1＝4，所以yA＝4，则直线方程为y＝4－04－1(x－1)，即y＝43(x－1)，与抛物线的方程联立解得xB＝14，所以|BF|＝14＋1＝54，故选C.
答案 C
2.(2014·陕西高三质检一)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A.72 B.3
C.52 D.2
解析
抛物线的准线方程为x＝－12，由图知，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－|2＋12|＝52，选C.
答案 C
3.(2016·江西师大附中，鹰潭一中联考)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，直线与抛物线C相交于A，B两点.若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为( )
A.y＝2x－3 B.y＝－2x＋5
C.y＝－x＋3 D.y＝x－1 2 解析 易知抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x，y22＝4x2两式相减得：(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝42＝2，从而直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.
答案 A
二、填空题
4.(2016·湖南株洲3月模拟)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________.
解析 设抛物线方程为y2＝2px(p>0).∵当x＝p2时，|y|＝p，∴p＝|AB|2＝122＝6.
又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝12×12×6＝36.
答案 36
创新导向题
抛物线的几何性质应用
5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( )
A.1＋52 B.1＋5
C.1＋22 D.1＋2
解析 两曲线的一个交点坐标为p2，p，
从而p2＝c，p＝b2a，
故b2＝2ac＝c2－a2，e2－2e－1＝0解得e＝1＋2.
答案 D
抛物线定义的应用
6.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B为抛物线上两点，若AF→＝3FB→，O为坐标原点，则△AOB的面积为(
)
A.33 B.833
C.433 D.233 3 解析 如图所示，
设|BF|＝m，则|AD|＝|AF|＝3m，|AG|＝3m2，又|AD|－|AG|＝2|OF|＝2，∴m＝43，
又|CD|＝|BE|＝833，
所以S△AOB＝12|OF||CD|＝433.
答案 C
专项提升测试
模拟精选题
一、选择题
7.(2016·忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p＝( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，∴p2＋p4＝3，
∴p＝4.
答案 B
二、填空题
8.(2016·山东北镇中学，莱芜一中，德州一中4月联考)抛物线C1：y＝12px2(p>0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________. 4 解析 由题意可知，双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±33x，抛物线C1：y＝12px2(p>0)的焦点为F′0，p2，设点M的坐标为x0，12px20(x0>0)，则kMF′＝kFF′，所以12px20－p2x0＝p2－2，所以2x20＋p2x0－2p2＝0.由y＝12px2得y′＝1px，所以C1在点M处的切线的斜率为1px0＝33，所以x0＝33p，代入2x20＋p2x0－2p2＝0可得p＝433.
答案 433
三、解答题
9.(2015·甘肃兰州诊断)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值.
(1)解 由焦点坐标为(1，0)可知p2＝1，
所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 当直线AB垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
所以S△ABOS△MNO＝OF22＝14；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝k（x－1），y2＝4x消y并整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，
所以x1·x2＝1.
所以S△ABOS△MNO＝12·AO·BO·sin∠AOB12·MO·NO·sin∠MON＝AOMO·BONO＝x12·x22＝14，
综上，S△ABOS△MNO＝14，即△ABO与△MNO的面积之比为定值.
创新导向题
抛物线与椭圆综合求解问题 5 10.已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，焦距为42，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点.
(1)求C1与C2的标准方程；
(2)若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足FP→·FQ→＝0，求直线PQ的方程.
解 (1)设椭圆C1的焦距为2c，依题意有2c＝42，ca＝63，
解得a＝23，b＝2，故椭圆C1的标准方程为x212＋y24＝1；
又抛物线C2：x2＝2py(p>0)开口向上，
故F是椭圆C1的上顶点，
∴F(0，2)，∴p＝4，故抛物线C2的标准方程为x2＝8y.
(2)显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
FP→＝(x1，y1－2)，FQ→＝(x2，y2－2)，
∴FP→·FQ→＝x1x2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，
即(1＋k2)x1x2＋(km－2k)(x1＋x2)＋m2－4m＋4＝0(*)
联立y＝kx＋m，x212＋y24＝1消去y整理得，
(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0(**).
依题意，x1，x2是方程(**)的两根，
Δ＝144k2－12m2＋48>0，
∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1·x2＝3m2－123k2＋1，
将x1＋x2和x1·x2代入(*)得
m2－m－2＝0，解得m＝－1，(m＝2不合题意，应舍去)，
联立y＝kx－1，x2＝8y消去y整理得，
x2－8kx＋8＝0，令Δ′＝64k2－32＝0，
解得k2＝12，经检验k2＝12，m＝－1符合要求.
故直线PQ的方程为y＝±22x－1.
