群置换循环教学文案

2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。

n S 的每一个子群都叫一个次置换群。

n S 中的每个元素都叫一个置换。

σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。

注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。

例如(123)(231)(312)==。

当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。

当2k =时叫做对换。

一般形式()12i i 。

无公共元素的循环称为不相交循环。

例如(135)与(24)不相交。

3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。

4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。

合起来正好24个。

（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。

置换群中的循环节问题置换群是代数学中的一个概念，它描述了一种将元素重新排序的操作。

在置换群中，我们可以进行元素的置换，形成新的置换群。

然而，在置换群中存在一个重要的问题，那就是循环节问题。

本文将讨论置换群中的循环节问题，并探究其相关性质和应用。

一、循环节的定义和性质1.1 循环节的定义在置换群中，循环节是指由若干个元素组成的轮换形式的置换。

一个循环节可以由一个元素的置换表示，也可以由多个元素的置换表示。

例如，置换(1 2)(3 4)可以看作是一个由两个元素组成的循环节。

1.2 循环节的表示方法循环节可以用置换的形式表示，也可以用循环的形式表示。

在置换的形式中，我们用括号表示置换，括号内的数字表示被置换的元素。

在循环的形式中，我们用圆括号将循环的元素括起来，并将括号外的数字按照置换中出现的顺序排列。

例如，置换(1 2)(3 4)可以用循环形式表示为(1 2)(3 4)= (1 2 3 4)。

1.3 循环节的长度循环节的长度是指循环中的元素个数。

对于循环(1 2 3 4)，其长度为4。

循环节的长度可以用来描述置换的复杂程度和循环的次数。

二、循环节的应用2.1 置换密码的加密和解密在密码学中，循环节被广泛应用于置换密码的加密和解密过程。

置换密码是一种将明文中的字符按照一定规则重新排列的加密方法。

通过将明文中的字符置换成密文中的字符，可以实现信息的保密传输。

循环节在置换密码中被用作密钥的生成和置换规则的确定。

2.2 美术领域中的创作在美术领域中，循环节的概念被广泛应用于创作和设计。

艺术家通过将元素按照一定规律进行置换和循环，形成独特的作品风格和视觉效果。

例如，著名画家埃舍尔通过循环节的应用，创作出了许多以递归和循环为主题的艺术作品。

三、循环节问题的解决方法3.1 循环节的计算在置换群中，循环节通常需要通过计算才能确定。

一种常用的计算方法是置换乘法。

我们可以将置换看作是一个映射，将原始集合中的元素映射到新的位置上。

群论是数学中的重要分支，研究群及其性质。

在群论中，循环群和置换群是两个重要的概念。

本文将介绍循环群和置换群的定义及其性质。

循环群是群论中最简单的一类群。

循环群的定义是由一个元素生成的群。

换句话说，循环群是由一个元素通过重复进行群运算得到的。

考虑一个群G和其中的一个元素a，如果我们用a对自身进行重复的群运算，直到得到的结果覆盖了G中的所有元素，那么我们可以说G是由元素a生成的循环群。

这样的元素a称为循环群G的一个生成元。

循环群可以用符号⟨a⟩来表示，其中⟨a⟩表示由元素a生成的循环群。

循环群有一个重要的性质，即循环群的阶（群中元素的个数）等于生成元素的次数。

例如，考虑一个由整数1生成的循环群，那么这个循环群的阶就是正整数的个数，即无穷大。

另一个例子是由元素a生成的循环群，如果a的次数为n，那么这个循环群的阶就是n。

与循环群相对应的是置换群。

置换群是指由有限个元素进行交换操作得到的群。

换句话说，置换群是由元素的排列组合形成的。

例如，考虑一个由4个元素{1, 2, 3, 4}构成的集合，通过对元素的交换操作，我们可以获得所有可能的排列组合，形成一个置换群。

置换群的元素可以表示为如下形式的置换：(1 2)(3 4)，其中数字表示被交换的元素的位置。

置换群也有一些特殊的性质。

首先，每个置换群都有一个单位元，即空置换，不对任何元素进行置换。

其次，对置换群中的两个置换进行群运算，结果仍然是一个置换。

最后，置换群中每个置换都有一个逆元，即将置换中的每个元素的位置进行逆置。

循环群与置换群之间有一个重要的联系，即每个循环群都可以用置换群的形式表示。

例如，考虑一个由元素a生成的循环群⟨a⟩，我们可以定义一个置换群S，其中元素的排列由元素a的次幂定义。

换句话说，置换群S中的元素就是元素a进行有限次幂运算得到的结果。

由此可见，循环群和置换群是紧密相关的。

综上所述，循环群和置换群是群论中的重要概念。

循环群由一个元素生成，其阶等于生成元素的次数；置换群由有限个元素的排列组合生成，具有单位元、群运算封闭性和逆元等性质。

（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。

的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。

·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。

2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。

n S 的每一个子群都叫一个次置换群。

n S 中的每个元素都叫一个置换。

σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。

注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。

例如(123)(231)(312)==。

当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。

当2k =时叫做对换。

一般形式()12i i 。

无公共元素的循环称为不相交循环。

例如(135)与(24)不相交。

3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。

4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。

合起来正好24个。

（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。

11.7 循环群与置换群一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。

注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。

(2) 任何素数阶的群都是循环群。

设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a a a -== ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。

若a 是无限阶元，则012{,,,}G a e a a ±±== ， 这时称G 为无限阶循环群。

例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。

(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。

2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。

证 (1)显然1a G -<>⊆，为了证明1G a -⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。

由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。

再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。

由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得m b a =。

从而得到()t m t mt a b a a === 则由消去律得1mt a e -=。

因为G 是无限群，必有mt-1=0。

从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。

(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。