新高考苏教版数学理大一轮复习训练4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数(含答案解析)

第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书 理 苏教版1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0). 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0). 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________.答案 240°解析 与－120°终边相同的角α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k <43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.答案 6π解析 扇形的面积为12×62×π3＝6π.3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为P (55，－255)，则sin α＋cos α＝________. 答案 －55解析 因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55， 所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.4.设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 答案 {－5π6，－π3，π6，2π3}解析 分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.故M ∩N ＝{－5π6，－π3，π6，2π3}.5.函数y ＝2cos x －1的定义域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在第________象限.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________.答案 (1)一或三 (2)⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角. 所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________.(2)(2016·苏州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________.答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个.题型二 弧度制例2 (1)(2016·南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 答案 (1)－π3(2) 3解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB 垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ， 由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________.(2)点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为____________. 答案 (1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴co s θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32).命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________. 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是________.(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.答案 (1)(－2，3] (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2，1)时，OP →的坐标为________.(2)(2016·盐城模拟)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________.思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集. 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2， 则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2，1－cos 2).(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2－sin 2，1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.①2k π＋45°(k ∈Z )②k ·360°＋94π(k ∈Z )③k ·360°－315°(k ∈Z )④k π＋5π4(k ∈Z )答案 ③解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. ①sin α＋cos α＜0 ②tan α－sin α＜0 ③cos α－tan α＜0④tan αsin α＜0答案 ②解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除①、③、④. 3.(2016·镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝________.答案 －153解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限. 答案 二解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限.5.给出下列各函数值： ①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是________. 答案 ③解析 sin(－1 000°)＝si n 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 179π＝－sin7π10tan17π9>0.6.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________.答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________. 答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3).8.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.答案π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.9.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角. 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角. 10.在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________.答案 (π4，5π4)解析 如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4). 11.若－3π4<α<－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是______________. 答案 sin α＜cos α＜tan α解析 如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM ＜MP ＜AT ，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT ，即sin α＜cos α＜tan α.12.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.13.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.*14.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

考向17 任意角、弧度制及任意角的三角函数【2022·全国·高考真题（理）】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B ．【2021·北京·高考真题】若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）．（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()k k Z ∈赋值来求得所需的角． （2）确定()*,k k N kαα∈的终边位置的方法 先写出k α或k α的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或kα的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．v三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos αR ＋ － － ＋tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣＋ － ＋ －1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号 αsin R ＋ ＋ － － αcosR＋－ － ＋ αtan}2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是710π，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）（）A．1.819米B．1.485米C．1.649米D．1.945米【答案】A【解析】根据题意作图如下，由题意知：ADB的长为710π，D为ADB的中点，7201.053AOCππ∴∠==，322 1.05sin2.1 1.81932AB AC π∴==⨯=⨯≈，即所求距离约为1.819米. 故选：A.2．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,2A ，点B 在第一象限内，AO AB =，120OAB ∠=︒，将△AOB 绕点O 逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B 的坐标为（ ）A ．()3,3 B ．)3,3C ．()23,0D ．()23,0-【答案】B【解析】如图所示，过点B 作BH y ⊥轴与点H ，在直角ABH 中，90,18012060,2AHB BAH AB OA ∠=∠=-===， 所以cos 601,33AH AB BH AH ====因为30BOH ∠=，所以223OB BH ==(3,3)B ，由题意1234567(3,3),(23,0),(3,3),(3,3),(23,0),(3,3),(3,3)B B B B B B B ------，所以点的坐标6次一个循环，即周期为6， 又因为20223376=⨯，所以2022(3,3)B . 故选：B.3．（2022·北京·人大附中三模）半径为3的圆的边沿有一点A ，半径为4的圆的边沿有一点B ，A 、B 两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为n ，则236248n n k k ππππ⨯⨯==⨯⨯=，其中k 、N n *∈， 所以，43kn =，则当3k =时，4n =. 故A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为4. 故选：D.4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为（ ）A ．610-B ．610C ．0D ．310-【答案】C【解析】由题知：cos 0α≠设角α的终边上一点(),3a a -()0a ≠，则22910r a a =+=.当0a >时，10r a =，310sin 10a ==α10cos 10a =α310sin 3103100cos αα+=-=. 当0a <时，10r a =，310sin 10a =-α10cos 10aα==- 310sin 3103100cos αα+=. 故选：C1．（2022·全国·模拟预测）已知()1,7P 是角α的终边上一点，则()sin 2πα-=（ ） A ．725-B ．2425-C ．725D ．2425【答案】C【解析】()1,7P 是角α的终边上一点，由三角函数定义可得 22sin 5217α==+，22cos 5217α=+ 所以()7sin 2sin 22sin cos 2255252παααα-====. 故选：C.2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（ ）A 26+B 26-+C 26-D 26--【答案】D【解析】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：22sin θθ== 26sin()sin cos cos sin 666πππθθθ---=-=故选：D.3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为5π3的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ） A 511B ．4C ．8D 2011【答案】C【解析】设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的高为h 则5π2π43r =⨯， 解得：103r =， 设截面在圆锥底面的轨迹2003AB a a ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则截面等腰三角形的高22241644a ah =-=-， 所以截面面积22211616168224442a a a a S ah ⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当221644a a=-，即42a =等号成立，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin2bθθB ．2cos2bθθC ．sin 2bθθ D ．2cos2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==， 在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sinsin22AD AC b θθ=⋅=，coscos22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==，所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习（文））电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P 绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm ，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km ；当θ很小时，2111cos 2θθ-≈，31tan 3θθθ-≈．）（ ）A ．9 cmB ．11 cmC ．9 mD ．11 m【答案】C【解析】如右图．记地球半径为R ，绳索比地球赤道长2x=0.02，则tan 0.01,.cos R R x RR h θθθ-==⎧⎪⎨-=⎪⎩ 由题述近似可得321,31,2R x R h θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2339720m 9m 8h x R ==≈．故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（理））若α为第一象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos2α中必定为正值的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】解：因为α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角， 可得：sin20α>，而cos2α符号不确定， 又2α为第一或三象限角， sin 2α∴，cos 2α可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定综上所述，必定为正值的只有sin 2α一个 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ．8．（2022·全国·高三专题练习）设θcos2θ=-，则2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】因为()180360270360Z k k k θ+⋅<<+⋅∈， 所以，()90180135180Z 2k k k θ+⋅<<+⋅∈，若k 为奇数，可设()21Z k n n =+∈，则()270360315360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第四象限角；若k 为偶数，可设()2Z k n n =∈，则()90360135360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第二象限角.cos2θ-，则cos02θ≤，故2θ为第二象限角. 故选：B.9．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425【答案】B【解析】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B10．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】B【解析】角α的终边的经过()1,2P -，所以sinα=cos α== 所以4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=-，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 666ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：B ．11．（2022·全国·高三阶段练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+，若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=+>sin cos βγ+=>sin cos 1γα+=<2个. 故选：C12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ）A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-【答案】C【解析】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C.13．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若角α，β的终边关于y x =轴对称，则sin α＝cos β，则2222sin sin cos sin =1αβββ+=+； 若22sin sin 1αβ+=，则22sin =cos αβ，则sin α＝±cos β，则角α，β的终边关于y x =或y ＝－x 轴对称； 综上，“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件. 故选：A.14．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】π32- 【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1ππ33121sin 23232-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故答案为：π32-．16．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称.若1sin 3α=，则sin()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称， 则有2,Z 2k k παβπ+=+∈，即2,Z 2k k πβπα=+-∈，而1sin 3α=， 所以，Z k ∈，27sin()sin(22)cos 212sin 29k παβαπαα-=--=-=-+=-. 故答案为：79-17．（2022·上海青浦·二模）已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α的值为_________． 【答案】2-【解析】解：因为角α的终边过点()1,2P -， 所以2tan 21y x α===--. 故答案为：-2.18．（2022·全国·模拟预测）已知α为第三象限角，且tan 2α=，则22sin 4cos sin πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-______． 10【解析】因为α为第三象限角，且tan 2α=，所以5cos α=，25sin α=，所以()()()()222sin sin cos 21042cos sin cos sin cos sin 2cos sin 2πααααααααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭===--+-． 故答案为：102. 19．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ， 所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A ．11332- B ．11432- C ．9332- D ．9432- 【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =，故23CD =-， 所以()22231143222CD s AB OA --=+=+=．故选：B ．2．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D ．3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．4．（2019·北京·高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cosβB ．4β+4sinβC ．2β+2cosβD ．2β+2sinβ【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β， 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅．故选B ．5．（2015·山东·高考真题）终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππ2x x k ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭C ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是π2π,2x k k Z ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭故选：A6．（2011·全国·高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由已知条件可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，tan 2θ∴=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．7．（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C 【解析】 【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论．详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误．综上，故选C ．8．（2014·全国·高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意可知x =-4，y =3，r =5，所以4cos 5x r α==-．故选D ． 考点：三角函数的概念．9．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）． 10．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==．故答案为：111．（2017·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________． 【答案】79- 【解析】【详解】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式12．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________．【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2．∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π． ∴DP ＝AP ·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2． ∴OC ＝2－sin 2． 故OP ＝（2－sin 2，1－cos 2）．。

- 1 - 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右. 2.考查内容 (1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识. (2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见. 3.备考策略 (1)熟练应用同角三角函数基本关系式与诱导公式求值、化简. (2)重视对三角函数图象和性质的研究，复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理. (3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强训练. - 2 -

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数

[最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：

角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l表示)

角度与弧度的换算 ①1°＝π180 rad；②1 rad＝180π°

弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝12lr＝12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义

设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)． - 3 -

拓展：任意角的三角函数的定义(推广)． 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，

第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书 理 苏教版1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ²360°＋α，k ∈Z }.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|²r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|²r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0). 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0). 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( ³ ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( ³ ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________.答案 240°解析 与－120°终边相同的角α＝－120°＋k ²360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ²360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k <43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.答案 6π解析 扇形的面积为12³62³π3＝6π.3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为P (55，－255)，则sin α＋cos α＝________. 答案 －55解析 因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55， 所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.4.设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 答案 {－5π6，－π3，π6，2π3}解析 分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.故M ∩N ＝{－5π6，－π3，π6，2π3}.5.函数y ＝2cos x －1的定义域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ²180°＋45°(k ∈Z )，则α在第________象限.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________.答案 (1)一或三 (2)⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ²180°＋45°＝n ²360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)²180°＋45°＝n ²360°＋225°，α为第三象限角. 所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________.(2)(2016²苏州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________.答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个.题型二 弧度制例2 (1)(2016²南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12³59π³4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ²r ＝12(20－2r )²r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2³5＝10，α＝l r＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 答案 (1)－π3(2) 3解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16³2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB 垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ， 由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016²徐州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________.(2)点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为____________. 答案 (1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32).命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________. 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是________.(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.答案 (1)(－2，3] (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2，1)时，OP →的坐标为________.(2)(2016²盐城模拟)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________.思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集. 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧 PA＝2，即圆心角∠PCA ＝2， 则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2，1－cos 2).(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2－sin 2，1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.①2k π＋45°(k ∈Z )②k ²360°＋94π(k ∈Z )③k ²360°－315°(k ∈Z )④k π＋5π4(k ∈Z )答案 ③解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. ①sin α＋cos α＜0 ②tan α－sin α＜0 ③cos α－tan α＜0④tan αsin α＜0答案 ②解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除①、③、④. 3.(2016²镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝________.答案 －153解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限. 答案 二解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限.5.给出下列各函数值： ①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是________. 答案 ③解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 179π＝－sin7π10tan17π9>0.6.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________.答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________. 答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3).8.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.答案π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.9.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角. 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角. 10.在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________.答案 (π4，5π4)解析 如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4). 11.若－3π4<α<－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是______________. 答案 sin α＜cos α＜tan α解析 如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM ＜MP ＜AT ，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT ，即sin α＜cos α＜tan α.12.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.13.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1²sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.*14.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。