高中数学：弧度制

北师大版高中数学必修第二册《弧度制》评课稿一、引言《弧度制》是北师大版高中数学必修第二册中的一节课，主要介绍了弧度制的概念、与角度的转换关系以及弧度的应用等内容。

本评课稿将对该课进行详细分析和评价，以便更好地指导和改进教学。

二、课程内容概述2.1 弧度制的概念在该课中，教师首先引入了弧度制的概念，通过解释弧度与角度的关系，让学生了解角度的本质是一个比值。

同时，教师以数学公式和几何图形的对比，将弧度与单位圆上的弧长和半径建立联系，深入讲解了弧度的定义及其特点。

2.2 弧度与角度的转换为了便于学生理解和使用，教师在课程中详细介绍了弧度与角度的转换关系。

通过引入圆周角的概念，教师运用几何证明的方法，说明了圆心角与其对应弧度的关系。

在此基础上，教师给出了角度转换为弧度的公式，并通过实际例题演示和学生参与，让学生掌握了角度与弧度之间的相互转换方法。

2.3 弧度的应用本节课还介绍了弧度在三角函数中的应用。

教师首先通过引入任意角的概念，让学生了解到三角函数不仅适用于特殊角，也适用于一般角。

接着，教师以简单的示例，介绍了正弦、余弦、正切等三角函数的定义及其在弧度制下的应用。

通过课堂练习和实例演示，学生不仅掌握了三角函数的计算方法，还学会了在解决实际问题时如何运用弧度制。

三、教学方法评价3.1 情境化教学法教师在该课程中采用了情境化教学法，通过引入具体的实例和情境，将抽象的概念转化为学生可理解的形式。

例如，在介绍弧度概念时，教师选择了单位圆上的弧长和半径作为例子，让学生通过观察和实际操作，深入理解了弧度的定义。

这种情境化的教学方法有效地提高了学生的学习兴趣和参与度。

3.2 互动讨论式教学在课程中，教师倡导学生参与课堂讨论和解题过程，充分发挥了学生的主体性。

通过提出问题、让学生互相讨论和分享答案，教师激发了学生的思维，培养了学生的合作意识和团队精神。

这种互动讨论式的教学方法有助于激发学生的学习兴趣，提高课堂效果。

四、教学评价与改进4.1 教学评价整体而言，该节《弧度制》课程教学内容充实，教学方法多样化，并且教师注重培养学生的实际应用能力。

弧度制定义和公式(一)弧度制定义和公式在数学中，弧度制是一种衡量角度大小的单位体系。

与角度制不同，弧度制使用角所对应的弧长作为度量标准，更加直观和精确。

本文将介绍弧度制的定义和常用公式，并通过举例进行说明。

弧度制定义在弧度制中，一个角的度量是其所对应的弧长与半径的比值。

一周的弧长正好是圆的周长，因此一周的角度被定义为360度或2π弧度。

根据这个定义，我们可以得到以下公式：•一周的弧长: 2πr•一周的角度: 360°=2π弧度角度和弧度的转换为了方便计算，我们需要将角度和弧度进行转换。

有以下两个常用的公式用于转换：1.角度转弧度：弧度 = 角度× π1802.弧度转角度：角度 = 弧度× 180π弧度制的应用弧度制在解决几何问题和求解三角函数值时非常有用。

下面是一些常见的应用公式和对应的解释：弧长公式弧长可以通过以下公式计算：•弧长 = 弧度× 半径例如，如果一个角的度数是60度，半径为5厘米，那么对应的弧长可以计算为：•弧长= 60° × π180× 5厘米 = π3× 5厘米≈ 厘米弧度和正弦函数的关系正弦函数可以表示为角度和弧度的函数。

根据三角函数定义，我们可以得到以下公式：•sin(θ)=sin(弧度)例如，如果一个角的度数是30度，那么对应的弧度可以计算为：•弧度= 30° × π180≈ 弧度因此，sin(30°)=sin()。

弧度和余弦函数的关系余弦函数也可以表示为角度和弧度的函数。

根据三角函数定义，我们可以得到以下公式：•cos(θ)=cos(弧度)例如，一个角的度数是45度，那么对应的弧度可以计算为：•弧度= 45° × π≈ 弧度180因此，cos(45°)=cos()。

总结本文介绍了弧度制的定义和常用公式，包括角度和弧度的转换公式，以及弧长和三角函数的关系公式。

知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

5.1。

2弧度制【素养目标】1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．（数学运算) 2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．（数学运算）3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．（逻辑推理)【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．必备知识·探新知基础知识知识点1 度量角的两种制度(1）角度制．①定义：用__度__作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的__错误!__为1度角，记作1°。

（2)弧度制①定义：以__弧度__为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角．③表示方法：1弧度记作1 rad.思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．知识点2 弧度数一般地,正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__lr__.思考2：（1）建立弧度制的意义是什么?（2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示：（1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角)与它对应．（2）角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用,例如α＝k·360°＋错误!(k∈Z)，β＝2kπ＋60°（k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°（k∈Z)，β＝2kπ＋错误!（k ∈Z）．知识点3 弧度与角度的换算公式（1）周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α,角度数为n,则αrad＝(错误!)°，n°＝n·错误!rad.（2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__错误!____错误!____错误!__错误!__错误!____错误!____错误!__π__错误!____2π__（3）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角）与它对应．思考3：(1）角度制与弧度制在进制上有何区别？(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数．(2）弧度数＝角度数×错误!;角度数＝弧度数×（错误!)．知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则｜α｜＝错误!,变形可得l＝__|α｜r__，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．（2）扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为错误!＝错误!r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为lr rad，故其面积为S＝错误!×错误!＝错误!lr，将l＝|α｜r代入上式可得S＝错误!lr＝错误!｜α|r2，此公式称为扇形面积公式．思考4:（1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？（2）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？提示：（1)①｜α｜＝错误!；②R＝错误!；③｜α｜＝错误!;④R＝错误!。

[核心必知]1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝π_rad；1°＝π180rad＝0.017 45 rad；1 rad＝180°π＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°. 3．390°可以写成360°＋π6吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－5π12 rad 化为度．[尝试解答] (1)∵1°＝π180rad ，∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.(2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化． (1)20°； (2)11π12；(3)8 rad解：(1)20°＝20×π180＝π9，(2)11π12＝1112×180°＝165°.(3)8 rad ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°.讲一讲2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.[尝试解答] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z .用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数； (2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位． 练一练2．(1)用弧度表示终边落在x 轴的非正、非负半轴上，y 轴的非正、非负半轴上，x 轴上，y 轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合． 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π，k ∈Z }；终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ； 终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }；所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }； 终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ；第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ；第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ；第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z .讲一讲3．(1)已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积． (2)已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [尝试解答] (1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2)故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0， 解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2，圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想． 练一练3．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ， ∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R＝－(R －C4)2＋(C4)2， ∴当R ＝C4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．[错解] (1)图①中，S 1＝{θ|2k π＋330°<θ<2k π＋75°，k ∈Z }； (2)图②中，S 2＝{θ|2k π＋225°<θ<2k π＋135°，k ∈Z }；(3)图③中，S 3＝{θ|2k π＋30°<θ<2k π＋90°或2k π＋210°<θ<2k π＋270°，k ∈Z }． [错因] 上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S 1，S 2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．[正解] (1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ <2k π＋5π12，k ∈Z . (2)图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝3π4，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .(3)图③中，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪（2k ＋1）π＋π6<θ<（2k ＋1）π＋π2，k ∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D 根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3 D.32π3解析：选D ∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3 rad.3．－29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．解析：由l ＝|α|×r ，得弧度数为4. 答案：45．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________． 解析：设扇形的弧长为l . ∵72°＝72×π180 rad ＝2π5 rad ，∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．答案： 80π cm 26．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析：选D 由弧度制定义知D 正确． 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C. 3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π18解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad.4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k ∈Z ，B ＝错误!⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π2，k ∈Z ，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2nπ＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C. 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：20 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝ {α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． 10．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

高一数学第一节 任意角和弧度制知识点1.角的分类：（1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角（2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角（3）零角：一条射线不做旋转2．象限角的概念：（1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。

（3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：∈ k∈Z∈ α是任一角；∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例如： 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o ； 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o ； 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o ； 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o ；终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o ；终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o ； 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o. 3.由角α所在象限判断α所在象限：4.弧度制：（1）角度制：规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．（3）弧度制的性质：∈ 半圆所对的圆心角为;ππ=r r∈ 整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ∈ 正角的弧度数是一个正数． ∈ 负角的弧度数是一个负数． ∈ 零角的弧度数是零． ∈ 角α的弧度数的绝对值|α|=. r l注：角度制是60进制，弧度制是十进制：5．角度与弧度之间的转换：∈ 将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ∈ 将弧度化为角度： 2360p =?；180p =?；ο)180(rad παα= 6．常规写法：∈ 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ∈ 弧度与角度不能混用．要不用弧度制，要不统一角度制。

高中数学教案弧度制一、教学目标：1. 了解弧度的定义和性质；2. 掌握弧度与度的换算方法；3. 能够在实际问题中应用弧度制计算。

二、教学重点：1. 弧度的定义和推导；2. 弧度与度的换算；3. 弧度在解题中的应用。

三、教学内容：1. 弧度的定义：弧度制是以半径为单位长度的圆弧对应于的一个唯一的实数，记作 rad；2. 弧度与度的关系：1 弧度对应的弧长等于圆心角为 1 弧度的圆的半径；3. 弧度的换算：1 弧度≈57.2958 度；4. 弧度在解题中的应用：解决舍弃角度制所带来的误差，简化计算过程。

四、教学步骤：1. 弧度的引入：介绍弧度的定义和性质，引导学生理解弧度的重要性；2. 弧度与度的换算：讲解如何进行弧度与度之间的换算，进行相关例题训练；3. 弧度在解题中的应用：通过实际问题，引导学生应用弧度制进行计算，培养学生解决问题的能力；4. 教师总结：总结弧度制的重要性和应用，强调学生灵活运用弧度制进行计算。

五、教学方法：1. 讲授结合讨论：教师讲解概念、定理等内容，学生根据教师引导进行讨论，提高学生思维的活跃程度；2. 例题演练：教师通过例题演练，帮助学生掌握解题方法和技巧；3. 课堂练习：设计一定难度的练习题，提高学生解题的能力；4. 课堂讨论：引导学生在课堂上进行问题讨论，促进学生的思维碰撞。

六、教学评估：1. 课堂表现评估：评估学生在课堂上的参与度和表现情况；2. 课后作业评估：布置相关作业，检测学生对弧度制的掌握程度；3. 学习笔记评估：要求学生认真记录学习笔记，评估学生对弧度制相关知识的整理和消化情况。

七、教学反思与改进：1. 在弧度与度的换算方面，可以设计更多的实际问题，增加学生练习机会；2. 在课堂中增加互动环节，激发学生学习兴趣，更好地引导学生掌握弧度制；3. 针对学生在学习过程中出现的问题，及时进行归纳总结，帮助学生更好地理解和掌握弧度制相关知识。

理解高中数学中的弧度制与单位圆关系高中数学中的弧度制与单位圆关系在高中数学中，我们经常会遇到弧度制和单位圆的概念。

弧度制是一种用于度量角度的单位制，而单位圆则是弧度制的基础。

理解弧度制与单位圆的关系，对于我们学习和应用数学知识具有重要意义。

首先，我们来了解一下弧度制的概念。

弧度制是一种以弧长为单位的角度度量方式。

在弧度制中，一个角的弧度数等于其所对应的圆心角所对的弧长与半径的比值。

换句话说，一个圆心角的弧度数等于这个角所对应的圆弧长度除以半径。

这样，我们可以通过弧度数来度量一个角的大小。

单位圆是指半径为1的圆。

在单位圆上，我们可以通过角的弧度数来确定角的位置。

例如，当一个角的弧度数为π/2时，这个角所对应的圆弧长度等于半径，即π/2个半径长。

同样地，当一个角的弧度数为π时，这个角所对应的圆弧长度等于半径的两倍，即2π个半径长。

通过这种方式，我们可以在单位圆上准确地表示不同弧度数的角。

弧度制与单位圆之间存在着密切的关系。

单位圆可以帮助我们直观地理解弧度制。

在单位圆上，圆心角的弧度数等于角所对应的圆弧长度与半径的比值。

这意味着，当一个角的弧度数为π时，这个角所对应的圆弧长度就是π个半径长。

而当一个角的弧度数为2π时，这个角所对应的圆弧长度就是2π个半径长。

通过单位圆，我们可以将弧度数与角的位置直观地联系起来，更好地理解角度的概念。

除了帮助我们理解角度的概念，弧度制和单位圆还在数学中有着广泛的应用。

在三角函数中，我们常常使用弧度制来度量角度。

例如，正弦函数sin(x)中的参数x通常是以弧度制表示的。

这是因为弧度制可以更准确地度量角度，使得三角函数的计算更加精确。

此外，在微积分中，弧度制也经常被用来表示角度，因为它与弧长的关系更为直观，便于计算和推导。

总结起来，高中数学中的弧度制与单位圆关系密切。

弧度制是一种以弧长为单位的角度度量方式，而单位圆则是弧度制的基础。

单位圆可以帮助我们直观地理解弧度制，并将弧度数与角的位置联系起来。

高中数学三角函数知识点1.弧度制和角度制在三角函数中，常用的角度制和弧度制可以相互转化。

角度制是以度为单位来度量角的大小，一圆为360°。

弧度制是以弧长与半径之比来度量角的大小，一圆的弧长为2π，所以一圆等于2π弧度。

换算公式为：弧度制=角度制×π/180。

2.三角函数的正弦函数正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

在直角三角形中，正弦函数可以用边长之比来表示，即sinθ = 对边/斜边。

3.三角函数的余弦函数余弦函数也是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

在直角三角形中，余弦函数可以用边长之比来表示，即cosθ = 邻边/斜边。

4.三角函数的正切函数正切函数也是一个周期函数，其定义域为实数集（除了无定义的点），值域为全体实数。

在直角三角形中，正切函数可以用边长之比来表示，即tanθ = 对边/邻边。

需要注意的是，当邻边为0时，正切函数无定义。

5.三角函数的倒数关系正弦函数和余弦函数是三角函数的倒数关系，即sinθ = cos(π/2- θ)。

正切函数与余切函数也是倒数关系，即tanθ = cot(π/2 - θ)。

6.三角函数的图像和性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，周期为2π。

余弦函数的图像是一条连续的波浪线，周期也为2π。

正切函数的图像是一条由无穷多个间断点组成的周期为π的曲线。

7.三角函数的性质正弦函数和余弦函数的图像关于原点对称，正切函数的图像关于y轴对称。

正弦函数和余弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ。

正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。

8.三角函数的周期性正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。

即对于任意实数k，有sin(x + 2πk) = sinx，cos(x + 2πk) = cosx，tan(x + πk) = tanx。