高中数学：弧度制

知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

5.1。

2弧度制【素养目标】1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．（数学运算) 2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．（数学运算）3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．（逻辑推理)【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．必备知识·探新知基础知识知识点1 度量角的两种制度(1）角度制．①定义：用__度__作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的__错误!__为1度角，记作1°。

（2)弧度制①定义：以__弧度__为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角．③表示方法：1弧度记作1 rad.思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．知识点2 弧度数一般地,正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__lr__.思考2：（1）建立弧度制的意义是什么?（2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示：（1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角)与它对应．（2）角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用,例如α＝k·360°＋错误!(k∈Z)，β＝2kπ＋60°（k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°（k∈Z)，β＝2kπ＋错误!（k ∈Z）．知识点3 弧度与角度的换算公式（1）周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α,角度数为n,则αrad＝(错误!)°，n°＝n·错误!rad.（2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__错误!____错误!____错误!__错误!__错误!____错误!____错误!__π__错误!____2π__（3）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角）与它对应．思考3：(1）角度制与弧度制在进制上有何区别？(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数．(2）弧度数＝角度数×错误!;角度数＝弧度数×（错误!)．知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则｜α｜＝错误!,变形可得l＝__|α｜r__，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．（2）扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为错误!＝错误!r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为lr rad，故其面积为S＝错误!×错误!＝错误!lr，将l＝|α｜r代入上式可得S＝错误!lr＝错误!｜α|r2，此公式称为扇形面积公式．思考4:（1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？（2）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？提示：（1)①｜α｜＝错误!；②R＝错误!；③｜α｜＝错误!;④R＝错误!。

高中完整的三角函数值表弧度制在高中数学学习中，三角函数是一个非常重要的概念，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。

而在学习三角函数时，理解三角函数值表是至关重要的一步。

本文将详细介绍高中完整的三角函数值表，以弧度制为单位。

正弦函数的值表正弦函数是三角函数中最基本的一个函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

下表展示了常见角度对应的正弦函数值（保留四位小数）：弧度（rad）0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π正弦值0.00000.50000.70710.86601.00000.86600.70710.50000.0000余弦函数的值表余弦函数也是三角函数中常见的一个函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

下表展示了常见角度对应的余弦函数值（保留四位小数）：弧度（rad）0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π余弦值1.00000.86600.70710.50000.0000-0.5000-0.7071-0.8660-1.0000正切函数的值表正切函数在三角函数中也有着重要的作用，其定义域为实数集，值域为实数集。

下表展示了常见角度对应的正切函数值（保留四位小数）：弧度（rad）0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π正切值0.00000.57741.00001.7321不定义-1.7321-1.0000-0.5774-0.0000通过上述三角函数值表，我们可以更加直观地理解不同角度对应的三角函数值，为我们在数学和物理问题中的运用提供了重要参考。

希望本文内容对您有所帮助。

弧度制知识点弧度制是数学中一种角度计算的单位制，也是一种非常重要的数学工具。

在解决圆的相关问题时，使用弧度制可以使计算更加简单明了。

弧度制的原理其实很简单，就是把弧长和半径之间的比值作为角度的度量单位。

在本文中，我们将介绍弧度制的基本定义、应用、转换以及相关数学问题。

基本定义弧度，是用来衡量圆周的长度和弧之间的关系的单位。

弧度制的基本定义是，一弧度是圆周长度和圆的半径之比。

简单地说，一弧度等于圆周的长度为半径的倍数，因此，圆周总共有360度，也就是2π弧度的长度。

应用及优势弧度制是一种非常重要的数学工具，它的应用涵盖了很多领域。

在三角函数的学习中，弧度制的应用可以帮助我们更加便捷地计算正弦、余弦等函数的值。

此外，弧度制在计算圆的周长、面积、相对位置等方面也发挥了重要的作用。

与角度制相比，弧度制更加优越的原因在于，它的定义更加简单明了，而且计算过程中更为直接简单。

在圆上每增加一个角度，对应的弧长和半径的比值就要增加一个弧度单位。

相比之下，角度制需要考虑360度转化、计算过程繁琐等问题，因此在实际运用中弧度制更为实用。

弧度制转角度制在实际运用中，有可能需要将弧度制转化为角度制。

这时我们可以使用弧度转角度公式：角度=弧度×180/π。

例如：1弧度=180/π度，而1度=π/180弧度。

如果给定一个角的弧度值，我们可以将其乘以180，然后除以π，即可得到对应的角度值。

同理，如果给定一个角的角度值，我们也可以将其乘以π，然后除以180，即可得到对应的弧度值。

数学问题弧度制与三角函数的应用密切相关，因此，其中涉及的数学问题也比较典型。

在本文中，我们将介绍弧度制下的基本三角函数及其相关性质。

正弦函数正弦函数（Sine Function）是一种基本的三角函数。

在数学上，正弦函数f(x)=sin x被定义为一个函数，它的输出值（y值）等于对应的输入值（x值）的弧度值的正弦值。

也就是说，对于任意实数x，f(x)=sin x= y/r,其中，y是一个以x为圆心角的圆的弧度。

高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。

而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。

本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。

在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。

这意味着任意角可以包括整个360°的范围。

2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。

三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。

一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。

2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。

角度和弧度之间可以通过π进行转换。

3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。

四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。

我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。

30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。

2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。

同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。

π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。

五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。

在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。

2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。

了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。

六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。

专题45 弧度制1．度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制 1度 的角 1度的角等于周角的1360，记作1° 弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度 的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad 可省略不写)在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad ，那么|α|＝lr.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．弧度数的计算3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度π6π4π3π22π33π45π6π3π22π5.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR ;(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝|α|·r ，|α|＝l r ，r ＝l |α|；②S ＝12|α|r 2，|α|＝2Sr2.题型一 角度与弧度的互化与应用1．将下列角度化为弧度(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°； (8) 2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1 500°；(12)67°30′；(13)2145° [解析] (1)105°＝105×π180 rad ＝7π12rad ；(2) 1920°＝5×360°＋120°＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋2π3 rad ＝32π3 rad ；(3)20°＝20π180＝π9； (4)－15°＝－15π180＝－π12；(5)因为1°＝π180rad ，所以112°30′＝π180×112.5 rad ＝5π8rad ；(6)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－78π rad ；(7) －630°＝－630×π180＝－72π；(8) 2100°＝2100×π180＝35π3；(9)37°30′＝37.5°＝⎝⎛⎭⎫752°＝752×π180＝5π24； (10)－216°＝－216×π180＝－6π5；(11) －1500°＝－1500×π180＝－253π(12)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π8；(13) 2145°＝2145×π180 rad ＝143π12 rad.2．将下列弧度化为角度 (1)－5π12rad ；(2)－11π5 rad ；(3)7π5 rad ；(4)7π12；(5)－11π5；(6) －10π3；(7)23π6；(8)－13π6；(9)8π5[解析](1)因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，所以－5π12rad ＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°；(2)－11π5 rad ＝－11π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝－396°； (3)7π5 rad ＝⎝⎛⎭⎫7π5×180π°＝252°；(4)7π12＝712×180°＝105°；(5)－11π5＝－115×180°＝－396°； (6) －10π3＝⎝⎛⎭⎫－10π3×180π°＝－600°； (7)23π6＝⎝⎛⎭⎫23π6×180π°＝690°；(8)－13π6＝－⎝⎛⎭⎫13π6×180π°＝－390°； (9)8π5＝85×180°＝288°. 3．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3 radB ．－103π rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76π rad D.π12rad 化成度是15°[解析]对于A,60°＝60×π180 rad ＝π3 rad ；对于B ，－103π rad ＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180 rad ＝－56π rad ；对于D ，π12 rad ＝112×180°＝15°.故选C.4．已知α＝15°，β＝π10 rad ，γ＝1 rad ，θ＝105°，φ＝7π12 rad ，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．[解析]法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180 rad ＝π12 rad ，θ＝105°＝105×π180 rad ＝7π12rad.显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝π10 rad ＝π10×⎝⎛⎭⎫180π°＝18°，γ＝1 rad ≈57.30°，φ＝7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.题型二 用弧度数表示角1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[解析]“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确.1°的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，所以B 正确．因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°>1°，所以C 正确．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D 错误．2．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大[解析]弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D. 3．下列说法正确的是( )A ．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D ．－120°的弧度数是2π3[解析]A 项中，零角的弧度数为0，故A 项错误；B 项是正确的；C 项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C 项错误；－120°对应的弧度数是－2π3，故D 项错误．故选B.4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π [解析]分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是：－4π－13×2π＝－143π.5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )A.5π11B.44π5C.5π22D.22π5[解析]由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过8820周，小链轮转过的弧度是8820×2π＝44π5.6．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________. [解析]如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．7．将－1485°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是_________．[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝74π，∴应填－10π＋74π.8．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z) C ．k ·360°－315°(k ∈Z) D ．k π＋5π4(k ∈Z) [解析]A ，B 中弧度与角度混用，不正确．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C. 9．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z [解析]150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z . 10．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B.{}α|α＝2k π＋30°，k ∈ZC.{}α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z [解析] ∵与30°角终边相同的角表示为α＝k ·360°＋30°，k ∈Z ，化为弧度为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，∴选D.11．若把－570°写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________. [解析]－570°＝－19π6＝－4π＋5π6.12．终边经过点(a ，a )(a ≠0)的角α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝π4＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z [解析]因为角α的终边经过点(a ，a )(a ≠0)，所以角α的终边落在直线y ＝x 上，所以角α的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z . 13．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4D.3π4[解析] ∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的． 14．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示) [解析]因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)． 当k ＝0时，θ＝72°＝25π rad ；当k ＝1时，θ＝432°＝125π rad ，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.15．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A.π6B.π3C.2π3D.4π3[解析]与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C. 16．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________．[解析]由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)，又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，此时α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.17．若角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，且α＝π6，则在0～4π内满足要求的β＝________.[解析]由角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，及α＝π6，可得β＝－α＋π2＋2k π＝π3＋2k π，令k ＝0,1可得结果．[答案]π3，7π318．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)[解析]选D.因为α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，所以α－β＝π2＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．所以k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以k 1－k 2∈Z.所以α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．19．若α＝2k π－354，k ∈Z ，则角α所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]∵－9<－354<－8，∴－3π<－354<－3π＋π2.∴－354在第三象限，故α也在第三象限．20．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.21．角29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]选A.因为29π12＝2π＋5π12，角5π12是第一象限角，所以角29π12的终边所在的象限是第一象限．22．α＝－3 rad ，它是第________象限角．[解析]根据角度制与弧度制的换算，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，则α＝－3 rad ＝－⎝⎛⎭⎫540π°≈－171.9°. 分析可得，α是第三象限角． 23．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]∵1 rad ≈57.30°，∴－2 rad ≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 24．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限[解析]因为－2π＜－5＜－3π2，所以α是第一象限角．25．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z)，则α2的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上[解析]因为α3＝2k π＋π3(k ∈Z)，因为α＝6k π＋π(k ∈Z)，所以α2＝3k π＋π2(k ∈Z)．当k 为奇数时，α2的终边在y轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α2的终边在y 轴的非负半轴上．综上，α2的终边在y 轴上，故选D.26．已知角α=－1480°(1) 将α改写成写成2k π＋β(k ∈Z)的形式，其中0≤β<2π，并判断它是第几象限角？ (2) 在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合[解析] (1)－1480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角． (2)与α终边相同的角为2k π＋169π(k ∈Z)．由－4π≤2k π＋169π<4π知 k ＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－209π，－29π，169π，349π. 27．已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．[解析] (1)2005°＝2005×π180 rad ＝401π36rad ＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋41π36 rad ， 又π<41π36<3π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z)，由－5π≤2k π＋41π36<0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3. ∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.28．已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．[解析] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.29．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. [解析] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z ，又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.30．已知α＝1690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． [解析] (1)1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π，∴－9736<k <4736(k ∈Z)．∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.31．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈Z [解析]对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}，故A 正确； 对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确； 对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{ α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧ α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确； 对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确． 32．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________． [解析]若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z)． 33．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．[解析]y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y 轴右侧角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z . 34．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析]当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z.故选C.35．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．[解析]∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . ∵2019°＝219°＋5×360°＝⎝⎛⎭⎫219π180＋10π rad ，又 5π6<219π180<3π2，∴2019°∈S .36．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解析]如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 如题图(2)，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . 37．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[解析]30°＝π6 rad,150°＝5π6rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪π6＋k π＜β＜5π6＋k π，k ∈Z . 38．如图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合．(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． [解析] (1)终边在OA 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z .终边在OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－π6＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|－π6＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z .题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用1．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．[解析]由已知得S 扇＝12×π6×22＝π3.2．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________． [解析] 由于扇形面积S ＝12αr 2＝12×3×12＝32，故扇形的面积为32.3．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.2π3rad D.3π2rad[解析]由弧度数公式α＝l r ，得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. [解析]根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析]因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.6．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.7．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm 2.[解析]设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ， 从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4. 故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.8．已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________ cm 2. [解析]设扇形的弧长为l ，因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)，所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)．故填π.9．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍． [解析]设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r 弧长为l ， 设弧所对的圆心角为β，于是l ＝αr ＝β·3r ，∴β＝13α.10．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形圆心角不变C ．扇形面积增大到原来的2倍D ．扇形圆心角增大到原来的2倍[解析]由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B. 11．求半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．[解析]因为r ＝π，α＝120×π180＝2π3，所以l ＝αr ＝2π23 cm ，S ＝12lr ＝π33 cm 2.12．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________．[解析]设扇形的半径为r ，圆心角为57π，∴弧长l ＝57πr ，∵扇形的周长为5π＋14，∴57πr ＋2r ＝5π＋14，解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π2.13．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析]设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ， 半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解得R 1＝1，R 2＝4. 当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去． 当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.14．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D.2sin 1[解析]设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.15．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A.π2 B.π3 C. 2D. 3[解析]设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， 所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C.16．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的弧长和面积．[解析]∵108°＝108×π180＝3π5，所以扇形的弧长为3π5×10＝6π(cm)，扇形的面积为12×3π5×302＝270π(cm 2)．17．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．[解析] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sin π3＝233，所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9.(2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.18．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m 2.[解析]2π3＝120°，根据题设，弦＝2×4sin 120°2＝43(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2)．19．已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数． [解析]设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，所在圆的半径为r .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，消去l ，得r 2－5r ＋4＝0，解得r ＝1或r ＝4.当r ＝1时，l ＝8，此时θ＝8 rad>2π rad ，故舍去；当r ＝4时，l ＝2，此时θ＝24＝12 rad ，满足题意．故θ＝12rad.20．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．[解析]设两个角的弧度数分别为x ，y .因为1°＝π180 rad ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝π180.解得⎩⎨⎧x ＝12＋π360y ＝12－π360，所以所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360.21．已知扇形AOB 的周长为10 cm ”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长． [解析]设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ， 由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＝－⎝⎛⎭⎫r －522＋254，0<r <5. 当r ＝52时，S 取得最大值254，这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm. 22．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解析]设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40， 所以l ＝40－2r，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.23．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度． [解析] (1)设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2.所以圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23，所以该扇形的圆心角的大小为23rad 或6 rad.(2)θ＝8－2r r ，所以S ＝12·r 2·8－2rr＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4， 所以当r ＝2，即θ＝8－42＝2时，S max ＝4 cm 2.此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad ，弦AB 的长度为4sin 1 cm. 24．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解析] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3rad.(2)由(1)可知α＝π3 rad ，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎫2π3－3.25．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求：(1) AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)． [解析] (1)∵120°＝2π3，∴AB ︵的长l ＝2π3×6＝4π.(2)S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×33×3＝93，∴弓形的面积为S 扇形AOB －S △AOB ＝12π－9 3.26．如图所示，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．[解析]设AB ＝1，∠EAD ＝α，∵S 扇形ADE ＝S 阴影BCD ，由题意可得12×12×α＝12－π×124，∴解得α＝2－π2.27．已知扇形OAB 的周长是60 cm ，面积是20 cm 2，求扇形OAB 的圆心角的弧度数． [解析]设扇形的弧长为l ，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝60，12lr ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝15＋205，l ＝4015＋205或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15－205，l ＝4015－205， ∴扇形的圆心角的弧度数为lr＝43－3205或43＋3205.28．如图，一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)[解析]在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·AB ＝π2·3＋1＝π，面积S 1＝12·π2·AB 2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·A 1C ＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·A 1C 2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·A 2D ＝π3·3＝33π，面积S 3＝12·π3·A 2D 2＝12·π3·(3)2＝π2，所以点A 走过的路程长l＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝（9＋23）π6，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.29．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．[解析] 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4. 所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝4π3的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为4π3×4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝2π3×4＝8π3.。

[核心必知]1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝π_rad；1°＝π180rad＝0.017 45 rad；1 rad＝180°π＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°. 3．390°可以写成360°＋π6吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－5π12 rad 化为度．[尝试解答] (1)∵1°＝π180rad ，∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.(2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化． (1)20°； (2)11π12；(3)8 rad解：(1)20°＝20×π180＝π9，(2)11π12＝1112×180°＝165°.(3)8 rad ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°.讲一讲2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.[尝试解答] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z .用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数； (2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位． 练一练2．(1)用弧度表示终边落在x 轴的非正、非负半轴上，y 轴的非正、非负半轴上，x 轴上，y 轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合． 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π，k ∈Z }；终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ； 终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }；所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }； 终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ；第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ；第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ；第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z .讲一讲3．(1)已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积． (2)已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [尝试解答] (1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2)故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0， 解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2，圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想． 练一练3．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ， ∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R＝－(R －C4)2＋(C4)2， ∴当R ＝C4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．[错解] (1)图①中，S 1＝{θ|2k π＋330°<θ<2k π＋75°，k ∈Z }； (2)图②中，S 2＝{θ|2k π＋225°<θ<2k π＋135°，k ∈Z }；(3)图③中，S 3＝{θ|2k π＋30°<θ<2k π＋90°或2k π＋210°<θ<2k π＋270°，k ∈Z }． [错因] 上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S 1，S 2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．[正解] (1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ <2k π＋5π12，k ∈Z . (2)图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝3π4，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .(3)图③中，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪（2k ＋1）π＋π6<θ<（2k ＋1）π＋π2，k ∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D 根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3 D.32π3解析：选D ∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3 rad.3．－29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．解析：由l ＝|α|×r ，得弧度数为4. 答案：45．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________． 解析：设扇形的弧长为l . ∵72°＝72×π180 rad ＝2π5 rad ，∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．答案： 80π cm 26．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析：选D 由弧度制定义知D 正确． 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C. 3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π18解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad.4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k ∈Z ，B ＝错误!⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π2，k ∈Z ，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2nπ＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C. 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：20 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝ {α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． 10．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

弧度制高中数学教案主题：弧度制教学目标：1. 了解弧度的定义和计算方法；2. 掌握弧度和角度之间的转换关系；3. 能够运用弧度制解决实际问题。

教学重点：弧度的定义、计算方法和角度与弧度的转换关系。

教学难点：弧度制在实际问题中的应用。

教学准备：教师准备黑板、彩色粉笔、教具等。

教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生提出一个问题：“角度制是我们常用的计量角度的单位，那么在数学中还有一种计量角度的单位叫做什么呢？”引出弧度的概念。

二、讲解弧度的定义和计算方法（15分钟）1. 弧度的定义：假设在单位圆上取一长度为r的弧所对的圆心角θ，那么这个圆心角所对的弧长就是这个圆心角的弧度数。

一个完整的圆周对应的角度是360度，对应的弧度是2π弧度。

2. 弧度的计算方法：弧度数 = 弧长 / 半径三、讲解角度与弧度的转换关系（10分钟）1. 角度与弧度的换算公式：1° = π/180 弧度2. 举例说明如何将角度转换为弧度，如何将弧度转换为角度。

四、练习与讨论（15分钟）让学生做几道练习题，巩固所学的知识，并带领学生讨论习题解法。

五、应用（10分钟）通过实际问题，引导学生运用弧度制解决实际问题，训练学生的应用能力。

六、小结（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结弧度制的重点和难点。

七、作业布置（5分钟）布置相应的作业，以巩固所学内容。

拓展延伸：学生可以通过实际生活中的实际问题来练习弧度制的应用，如摆锤摆动问题、圆周运动问题等。

教学反思：通过引入弧度制这一新概念，激发学生的学习兴趣和求知欲。

同时，通过实际问题的运用，帮助学生更好地理解和掌握弧度的定义和计算方法。

弧度制的概念和公式
弧度制是一种角度度量方式，它使用圆的半径长度来度量角度。

在弧度制中，一个完整的圆周被定义为360度或者2π弧度。

换句
话说，一弧度等于圆的半径长。

弧度制在数学和物理学中经常被使用，特别是在解析几何、三角函数和微积分中。

要计算弧度，可以使用以下公式：
弧度 = 弧长 / 半径。

其中，弧长是圆弧上的长度，而半径是圆的半径。

另外，也可以使用角度和弧度之间的转换公式：
弧度 = (角度π) / 180。

其中，π是圆周率，约等于3.14159。

弧度制的优点在于它能够简化许多角度相关的数学公式和计算。

在微积分中，使用弧度制可以让三角函数的导数和积分的计算更加
简洁。

此外，弧度制也能够更自然地描述圆周运动和角速度，因为它直接关联到圆的半径和圆周长。

总之，弧度制是一种重要的角度度量方式，它通过使用圆的半径长度来度量角度，其计算公式简单清晰，能够简化数学计算，并在数学和物理学领域有着广泛的应用。

数学高中弧度知识点总结一、弧度的概念弧度是用来度量角的单位。

在平面几何中，我们知道角是由两条射线共同端点构成的，而弧度就是用来度量这个角的单位。

其定义为：弧长等于半径的角对应的长度为一个弧度。

具体来说，假设一个半径为r的圆的圆心角对应的弧长为L，则该角的弧度数为L/r。

通常用符号rad表示弧度数，即1rad=弧长/半径，弧度也是一种长度单位。

二、弧度和角度的换算在数学中，角度是度量角的常用单位，而弧度则是另一种度量角的单位。

由于在不同的情况下可能会需要用到角度或者弧度进行计算，因此需要掌握角度和弧度之间的换算关系。

1. 弧度转角度：由于360度等于2π弧度，所以弧度可以通过乘以180/π来转换为角度，即角度=弧度*180/π。

2. 角度转弧度：同样的道理，角度也可以通过乘以π/180来转换为弧度，即弧度=角度*π/180。

除了以上两点，还可以记住以下的换算关系：180° = π弧度90° = π弧度/260° = π弧度/345° = π弧度/4三、弧度的应用弧度不仅在数学中有着重要的应用，也在物理、工程以及其他领域中发挥着关键的作用。

1. 在数学中，弧度的应用最为常见，比如在圆的相关知识、三角函数的定义以及积分学等领域都会用到弧度的概念。

2. 在物理学中，弧度也常被用来描述角速度、角加速度、圆周运动等物理现象。

例如，当一个物体以角速度ω绕一个圆周运动时，其角速度大小正好等于单位时间内转过的弧度数。

3. 在工程领域中，弧度的应用也非常广泛，比如在机械工程中的转动装置、电子工程中的信号处理等方面都需要用到弧度的计算。

四、弧度的运算在高中数学中，我们经常会遇到需要对弧度进行数学运算的情况。

那么接下来就让我们来总结一下在弧度中的常见运算规则吧。

1. 弧度的加减在进行弧度的加减运算时，实际上就是对弧长进行加减。

假设有两个角α和β对应的弧度分别为a和b，则它们的和为a+b。