高中数学 第四章 弧度制(2)教案

第四课时 弧度制(二)教学目标：理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.教学重点：角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.教学难点：弧度制的简单应用教学过程：角的集合与实数集R 之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢?l ＝｜α｜r ，其中l 表示弧长，r 表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.扇形的面积公式S ＝12l Ｒ.其中l 是扇形的弧长，R 是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些?能够写出弧度制下扇形的面积公式吗?即用角的弧度数α与圆的半径R 表示扇形的面积.S ＝12｜α｜Ｒ2. 引入弧度制有什么好处呢?弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.［例1］已知一扇形的周长为c (c ＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，面积为S∵c ＝2R ＋l ，∴R ＝c －l 2(l ＜c ) 则S ＝12 Rl ＝12 ×c －l 2 ·l ＝14(cl －l 2) ＝－14 (l 2－cl )＝－14 (l －c 2 )2＋c 216∴当l ＝c 2 时，S max ＝c 216答：当扇形的弧长为 c 2 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是c 216. ［例2］一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.分析：欲求∠AOB ，需要知道的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB于M ，则AM ＝BM ＝12 AB ，在Rt △AMO 中求AM .解：设扇形的半径为R cm.∠AOB =α rad. 据题意⎪⎩⎪⎨⎧==+121422αR aR R 解之得⎩⎨⎧==21αR 过O 作OM ⊥AB 交AB 于M .则AM ＝BM ＝12A B. 在Rt △AMO 中，AM ＝sin1，∴AB ＝2sin1故∠AOB ＝2 rad.该AB 的长为2sin1厘米.Ⅱ.课堂练习课本P 10练习 5、6Ⅲ.课时小结这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.Ⅳ.课后作业（一）课本P 10习题 8、9、13.（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P 12~P 15)2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的?弧度制(二)1．一钟表的分针长10 cm ，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm. （ ）A.70B. 706C. 25π3－4 3 D. 25π32．如果弓形的弧所对的圆心角为π3，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是_____cm 2.（ ）A. 4π9 －4 3B. 4π3－4 3 C. 8π3 －4 3 D. 8π3－2 3 3．设集合M ＝{α|α＝k π±π6 ，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k π＋(－1)k π6，k ∈Z }那么下列结论中正确的是 （ ）A.M ＝NB.M NC.N MD.M N 且N M4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）A. π3B. 2π3C. 3D.25．已知扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为8 cm ，则扇形的面积为_________cm 2.6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.7．若角α的终边与85 π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与α4角的终边相同的角是 .8．已知扇形AOB 的圆心角α＝120°，半径r ＝3，求扇形的面积.9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？弧度制(二)答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6．13 7．25 π 910 π 75 π 1910π 8．已知扇形AOB 的圆心角α＝120°，半径r ＝3，求扇形的面积.解：α＝120°＝2π3rad ∴S ＝12 r 2α＝12 ×32×2π3＝3π(面积单位） 答：扇形的面积为3π面积单位.9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.解：由已知可得r ＝21sin 1, ∴l ＝r ·α＝21sin 1S 扇＝12 l ·r ＝12 ·r 2·α＝12 ·21sin 12＝21sin 21210．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：∵l ＝20－2r∴S ＝12 lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25 ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2此时，α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)。

高中必修四数学弧度制教案教学内容：弧度制的概念和应用
教学目标：
1. 理解弧度制的概念，掌握弧度和角度的相互转换关系；
2. 能够应用弧度制解决与圆相关的问题；
3. 能够灵活运用弧度制解决实际问题。

教学重点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 弧度制在三角函数中的应用；
3. 弧度和圆角之间的关系。

教学难点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 如何应用弧度制解决实际问题。

教学准备：
1. 一块黑板或白板；
2. 教室中心的圆；
3. 教学PPT或相关教学资源。

教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
1. 引入圆的概念，介绍角度的度量单位；
2. 引导学生思考：是否有其他方法来度量圆的角度？
第二步：讲解弧度制的概念（15分钟）
1. 介绍弧度的概念，解释为何需要引入弧度制；
2. 讲解弧度与角度的转换公式；
3. 通过示例讲解弧度制在三角函数中的应用。

第三步：练习与讨论（20分钟）
1. 给学生几个练习题让他们转换弧度和角度；
2. 学生相互讨论解题思路，老师进行点评和指导。

第四步：实际应用（15分钟）
1. 老师设计一个实际问题，并引导学生用弧度制解决；
2. 学生展示解题思路和方法，老师进行指导和讨论。

第五步：总结与作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的内容，强调弧度制的重要性；
2. 布置作业：完成课后习题，并思考如何应用弧度制解决更多问题。

教学反思：
1. 教师要注意引导学生理解弧度制的概念和方法，帮助他们建立相关知识的联系；
2. 鼓励学生在实际问题中灵活运用弧度制，提高解决问题的能力。

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标：
1．了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；
2．掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；
3．会利用弧度解决某些实际问题。

学习重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、学习方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。

从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于学习的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。

通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。

四、学习过程：
长度等于半径长
角，同一个．换算公式：
附录（表格和图）：。

4-1.1.2弧度制（2）教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

二、由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比相应的公式180rn lπ=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad R l ∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇要简单 例二 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο ∴)(655101211cm l ππ=⨯=例三 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴ 扇形的面积221rl S ==例四 计算4sin π5.1tan解：∵ο454=π∴ 2245sin 4sin==οπ'578595.855.130.571.5rad οο==⨯=•∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==οo R S l例五 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ ο315- 解：πππ63319+=ππ2436045315-=-=-οοο例六 求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 360π=ο∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα三、练习： 四、作业：。

一、教学目标重点：角度制与弧度制的互化；弧度制的运用. 难点：:弧度的概念及其与角度的关系.知识点：角度制与弧度制的互化公式；弧长公式；扇形面积公式. 能力点：建立角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.教育点：使学生通过弧度制的学习，理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.自主探究点：利用对应成比例关系得出结论.训练（应用）点：角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 考试点：掌握角度制与弧度制的换算，并熟练的进行换算操作. 易错点：角度与弧度的单位写法易错. 易混点：角度和弧度的转换易混 二、引入新课：【师生活动】：教师：我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师：要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 学生回答：是用度来表示的。

教师引出角度制的概念，那么1︒的角是如何定义的？学生：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它，可以计算弧长，公式为180n rl π=. 【设计意图】：温故而知新，引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性. 三、探究新知: （一）弧度制的概念【师生活动】：教师：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？学生分组讨论.教师引导：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出AOB COD α∠=∠=当半径为1r 时,弧长1180n r AB π=(n α=︒) ,弧长与半径的比值为111180180n r AB n r r ππ==. 当半径为2r 时,弧长2180n r CD π=, 弧长与半径的比值为222180180n r CD n r r ππ==. 两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】：学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在的圆半径无关。

高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。

2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。

三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。

2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。

四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。

五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。

板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。

同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。

《弧度制》教学设计一、【内容解读与教学定位】《弧度制》是高中数学苏教版数学必修4中§1.1.2的课程内容，其引入了一种新的角的度量方法弧度制，承接于《任意角的概念》，为扩充后的角度提供了一个更为方便的表示方法，同时也为后面的三角函数的知识打下基础，具有重要的战略意义。

同时建立了角的集合和实数集的一一对应关系，发展学生数学抽象和直观想象素养，学会用数学思维分析问题，发展逻辑推理和数学运算素养。

二、【学生学情分析】1、学生的知识储备是角度制，刚刚学完角度的扩充，对于角度的范围有了新的认识，并且对于角度制有很好的理解和记忆，那我们现在要引入弧度制，那么就需要让学生理解为什么要引入弧度制，非常的必要，不然从感情上学生就不会接受弧度制，因为这是一个外来者，首要必须解决“为什么”的问题。

2、学生普遍缺乏创造性思维，希望他们理解弧度制不是与生俱来的，是被人创造出来的，让他们自己去探索弧度制的发现过程，可以更好得理解弧度制的概念，也就是弧度制“是什么”。

3、学生对于新事物的接受，理解和熟练需要时间，所以这里需要帮助他们解决弧度与角度的转化问题，也就是“如何化”，以及弧度制“怎么用”的问题。

三、【学习目标与教学重、难点】1、知识目标：(1)“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；(2)“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；(3)“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；（4）“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式解题。

2、能力目标：让学生经历一个新事物从思考到提出的过程和其意义，培养学生的创新意识，只有创新才是进步的源动力。

【教学重点】：.理解弧度“是什么”；学会弧度与角度之间“如何化”；学会新的弧度制来计算弦长和面积“怎么用”。

【教学难点】：.理解“为什么”要引入弧度制；理解弧度“是什么”。

四、【教学策略分析】本节课围绕在学情分析中的4个问题来进行策略分析：1、“为什么”（为什么要引入弧度制？）学生对于角度制的熟悉程度是非常之深，熟悉的事物总是会有感情，对于新的弧度制一定会有一些排斥。

苏教版必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制第二课时弧度制江苏省盐城中学何莹《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨．本节课教学的重点就是弧度制概念．一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是必修4第一章第一节第二课时的内容，教学重点是弧度制的概念．本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础．二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；了解角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想及数形结合的思想，还有提高学生数学抽象，逻辑推理，直观想像，数学运算和数据分析能力都提供了很好的契机．另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；从进制的不统一，认知的冲突引入新的度量制的必要性；从度量的角度引导学生探究从测量长度去度量角，并让学生感受到角的大小仅仅只与弧长和半径的比有关，与半径大小无关，理解弧度制的合理性；推导弧长公式，扇形的面积公式和角与实数的对应，认识到弧度制的优越性；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流的意识，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展．三．学生学情分析学生已有知识储备上，其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础．能力上，学生经过高中半个学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内．弧度制的概念教学是重点也是难点，在概念的教学中引导学生分析概念生成的必要性、合理性、优越性．四．教学方法分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，提出问题引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程．五．教学过程设计分为以下四个教学环节：（一） 创设情境1.角的研究，回顾角度制．设计意图：有人提出，60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度．给出弧度制引入的必要性． 2.角的大小的测量思考1：角的概念推广后，我们如何去测量一个角？问１：测量一个角的大小，除量角器外还能用的工具是什么?问2：能用直尺（有刻度）测量一个角吗？用直尺测量角———用一条线段长来刻画（表示）一个角．设计意图：从测量的角度去引发学生的思考：最简单有效的工具是直尺，用直尺只能量线段的长，如何构造一条线段去刻画角的大小？（二）新课导入----弧度制的建构思考2：用来表示角的大小的这条线段怎样去构造？ 问1:它的两个端点如何选择？问2：这条线段的两个端点都在角的一条边上选显然是不行的，一定是在两条边上各取一点，怎样选呢？（以60角为例）问3：在两条边上，距角的顶点等距离的地方选两点．设计意图：让学生进行一系列尝试，找到初步符合要求的线段．问4：这种方法对于锐角而言可以建立起一一对应，即每一个锐角的大小都可以用对应的线段长之比刻画.对于任意角可行吗？问5：对于1200和2400的这两个角，相对应的线段长是一样的？对于00、3600等终边相同的角，它们对应的线段都一样？设计意图：在肯定部分学生尝试的合理性的同时，引导学生发现其局限性，引发认知冲突，激发学生进一步探究的欲望．思考3：用线段来刻画任意角的大小是不行的，那么用什么量才能反映任意角的大小？问1：能否利用弧线？为什么？问2：角的动态生成过程中，射线上任意一点（顶点除外）绕端点旋转都可以生成一段弧，仅仅利用弧长能否准确刻画角的大小呢？ 学生猜想用弧长与半径的比来刻画角的大小 设计意图：放手让学生探究、尝试，引导学生从角的动态生成过程中观察、抽象，找到“弧线”来刻画角的大小，引导学生利用弧长与半径的比来刻画角的大小． 问3：能否给出你的猜想一个合理的解释呢? 从180n rl p =出发得到180l n r p =?由此可知，弧长与半径的比决定圆心角的大小，欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧．设计意图：给出弧度制的合理性，同时渗透数学史． 思考4:如何定义这种度量角的制度？问:类比角度制，能否给出1弧度角的定义，得出弧度制的相关概念． 设计意图：让学生尝试、完善用准确的数学语言描述数学概念．（三）探索新知，数学运用1.弧度制的相关概念规定：1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角，记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制．设计意图：明确给出1弧度角的定义．让学生直观感受1弧度角的大小,了解角度的单位不能省略，弧度的单位可以省略；初步感受弧度制下角与实数的对应．2.总结角度与弧度的互化，明确核心公式180π=，以及变形公式：10.01745180rad rad π=≈180157.3rad π=≈练习：特殊角的度数与弧度数的对应表：弧度制下，任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，即每个角都有唯一的实数与它对应，同时每个实数也都有唯一的一个角与它对应。

弧度制高中数学教案主题：弧度制教学目标：1. 了解弧度的定义和计算方法；2. 掌握弧度和角度之间的转换关系；3. 能够运用弧度制解决实际问题。

教学重点：弧度的定义、计算方法和角度与弧度的转换关系。

教学难点：弧度制在实际问题中的应用。

教学准备：教师准备黑板、彩色粉笔、教具等。

教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生提出一个问题：“角度制是我们常用的计量角度的单位，那么在数学中还有一种计量角度的单位叫做什么呢？”引出弧度的概念。

二、讲解弧度的定义和计算方法（15分钟）1. 弧度的定义：假设在单位圆上取一长度为r的弧所对的圆心角θ，那么这个圆心角所对的弧长就是这个圆心角的弧度数。

一个完整的圆周对应的角度是360度，对应的弧度是2π弧度。

2. 弧度的计算方法：弧度数 = 弧长 / 半径三、讲解角度与弧度的转换关系（10分钟）1. 角度与弧度的换算公式：1° = π/180 弧度2. 举例说明如何将角度转换为弧度，如何将弧度转换为角度。

四、练习与讨论（15分钟）让学生做几道练习题，巩固所学的知识，并带领学生讨论习题解法。

五、应用（10分钟）通过实际问题，引导学生运用弧度制解决实际问题，训练学生的应用能力。

六、小结（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结弧度制的重点和难点。

七、作业布置（5分钟）布置相应的作业，以巩固所学内容。

拓展延伸：学生可以通过实际生活中的实际问题来练习弧度制的应用，如摆锤摆动问题、圆周运动问题等。

教学反思：通过引入弧度制这一新概念，激发学生的学习兴趣和求知欲。

同时，通过实际问题的运用，帮助学生更好地理解和掌握弧度的定义和计算方法。

人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。

教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。

教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。

二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。

四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。

教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。

在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。

高一数学必修4任意角和弧度制第一课时 1.1.1 任意角 教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法. 教学难点：理解角的任意大小. 教学过程： 一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ → 说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手） 二、讲授新课： 1.教学角的概念：① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.② 讨论：推广后角的大小情况怎样？ （包括任意大小的正角、负角和零角） ③ 示意几个旋转例子，写出角的度数.④ 如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？ ⑥ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦ 讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？ 与α终边相同的角如何表示？⑧ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子k ×360°＋α表示，k ∈Z ，写成集合呢？ ⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：① 出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°. （讨论计算方法：除以360求正余数 →试练→订正）② 出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角. 120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析k 的取值 →试练→订正） ③ 讨论：上面如何求k 的值？ （解不等式法）④ 练习：写出终边在x 轴上的角的集合，y 轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？ ⑤ 出示例3：写出终边直线在y =x 上的角的集合S , 并把S 中适合不等式360720α︒-≤<︒的元素β写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y =-x 呢？2. 作业：书P6 练习 3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义. 教学过程： 一、复习准备：1. 写出终边在x 轴上角的集合 .2. 写出终边在y 轴上角的集合 .3. 写出终边在第三象限角的集合 .4. 写出终边在第一、三象限角的集合 .5. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？ 二、讲授新课：1. 教学弧度的意义：① 如图：∠AOB 所对弧长分别为L 、L ’，半径分别为r 、r ’，求证：lr＝''l r .② 讨论：l r 是否为定值？其值与什么有关系？→结论：lr ＝180n π=定值.③ 讨论：l r 在什么情况下为值为1？lr是否可以作为角的度量？④ 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad 表示，读作弧度. ⑤ 计算弧度：180°、360°→ 思考：－360°等于多少弧度？⑥ 探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数=？⑦ 规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝lr. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧ 讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？ －720°的圆心角、弧长、弧度如何看？ 2 .教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：6730' ；35rad π.分析：如何依据换算公式？（抓住：180︒=π rad ） → 如何设计算法？→ 计算器操作： 模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π③ 讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④ 练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x 轴上； 终边在y 轴上. 3. 小结：弧度数定义；换算公式（180︒=π rad ）；弧度制与角度制互化. 三、巩固练习：1. 教材P10 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y =x ； 终边在第二象限； 终边在第一象限.3. 作业：教材P11 5、7、8题. 第三课时：1.1.2 弧度制（二） 教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算. 掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角. 掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式. 教学难点：理解弧度制表示. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：－43π、310π、－210°、75°3. 口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、… 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 出示例：用弧度制推导：S 扇＝12LR ；212S R α=扇.分析：先求1弧度扇形的面积（12ππR 2）→再求弧长为L 、半径为R 的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.② 练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③ 出示例：计算sin3π、tan1.5、cos 4π （口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求） ② 练习：求6π、4π、3π的正弦、余弦、正切. 2. 练习：①. 用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.193π、－675° ② 用弧度制表示终边在x 轴上角的集合、终边在y 轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？③ 讨论：α＝k ×360°＋3π与β＝2k π＋30°是否正确？ ④ α与－94π的终边相同，且－2π<α<2π，则α＝ . ⑤ 已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积. 解法：设扇形的半径为r ，弧长为l ，列方程组而求. 3. 小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用. 三、巩固练习：1. 时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2. 一扇形的中心角是54°，它的半径为20cm ，求扇形的周长和面积.3. 已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是 .4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.。

4.2弧度制（二）教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合 实数集R5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180r n l π=；3602R n S π=扇二、讲解新课：1．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππoR Sl弧长为l 的扇形圆心角为rad Rl∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ 比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇 要简单三、讲解范例：例1．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 360π=∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα 例2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S ==例3 计算4sin π和5.1tan解：∵454=π∴ 2245sin 4sin== π'578595.855.130.571.5rad ==⨯=∙∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==例4 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ 315- 解： πππ63319+=ππ2436045315-=-=-例5 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵165 解： cm r 10= ⑴ )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵ rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=∴)(655101211cm l ππ=⨯= 例6 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+621102r l r l ⇒0652=+-r r∴ ⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨⎧==43l r ∴ r l =α=3 或34四、课堂练习：1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 2.时钟经过一小时，时针转过了( ) A.6π rad B.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad 3.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 4.圆的半径变为原来的21，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来 的 倍.5.若α＝－216°，l ＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ).6.在半径为π30的圆中，圆心角为周角的32的角所对圆弧的长为 .参考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5.6356.40 五、小结：用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 六、课后作业：1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶82.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A.α＝3B.α＜3C.α＝32πD.α＝120 3.下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系4.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.5.已知扇形AOB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长等 于 cm.6.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .7.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积. 8.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?9.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?参考答案：1.C 2.C 3.D 4.－3π5.2sin16.12π－937.1sin 128.2 9.－1124π 七、板书设计（略）八、课后记：一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.分析：欲求∠AOB ，需要知AB 的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB 于M ，则AB BM AM 21==，在Rt △AMO 中求AM .答案：∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2sin1 cm.。

下学期4.2弧度制教学目标：1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．教学难点：弧度制定义的理解．教学用具：投影仪．教学过程1．设置情境在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．2．探索研究（1）复习角度制我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，的角是如何定义的？规定把周角的作为度的角．我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度?弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．图1的弧度数的弧度数提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？如图2，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和的距离（即圆半径）分别为和，由初中学过的弧长公式可得：，，于是．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．因，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．（3）角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2．得等式两边同除180同理，把弧度换成角度．【例1】把化成弧度．解：∵∴【例2】把化成度．解：同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．下面请大家写出一些特殊角的弧度数．角度弧度按从左至右顺序其答案是：、、、、、、、、、．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角就表示是的角，就表示的角的余弦，即．（4）角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．【例3】计算：（1）；（2）解：（1）∵∴（2）∵练习（用投影仪）1．把下列各角化成的形式：（1）；（2）；（3）．2．求右图3中公路弯道处弧的长（精确到，图中长度单位：）．参考答案：1．（1）（2）（3）2．∵∴答：弯道处的长约为．3．练习反馈（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．（2）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度数．（3）下列终边相同的是（）．A．与B．与C．与D．与参考答案：（1）、、；（2）2（3）B4．总结提炼（1）弧度；（2）“角化弧”时，将乘以；“弧化角”时，将乘以（3）弧长公式：扇形面积公式：．（其中为圆心角所对的弧长，为圆心角的弧度数，为圆半径．）课时作业1．角集合与之间的关系为（）A．B．C．D．不确定2．若角和的终边互为反向延长线，则有（）A．B．C．D．3．中心角为的扇形，它的弧长为，则该扇形所在圆的半径为______________．4．若，且与的角的终边垂直，则．5．已知直径为的滑轮上有一条长为的弦，是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点转过的弧长等于多少？6．已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积参考答案：1．C?2．D??3．6；4．或；5．；6．中心角时，．下学期4.2弧度制教学目标：1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．教学难点：弧度制定义的理解．教学用具：投影仪．教学过程1．设置情境在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．2．探索研究（1）复习角度制我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，的角是如何定义的？规定把周角的作为1度的角．我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度?弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．图1的弧度数的弧度数提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是．在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？如图2，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由初中学过的弧长公式可得：，，于是．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．因，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．（3）角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2．得等式两边同除180得同理，把弧度换成角度．【例1】把化成弧度．解：∵∴【例2】把化成度．解：同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．下面请大家写出一些特殊角的弧度数．角度按从左至右顺序其答案是：、、、、、、、、、、．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角就表示是的角，就表示的角的余弦，即．（4）角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．【例3】计算：（1）；（2）．解：（1）∵∴（2）∵练习（用投影仪）1．把下列各角化成的形式：（1）；（2）；（3）．2．求右图3中公路弯道处弧的长（精确到，图中长度单位：）．参考答案：1．（1）（2）（3）2．∵∴答：弯道处的长约为．3．练习反馈（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．（2）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度数．（3）下列终边相同的是（）．A．与B．与C．D．与参考答案：（1）、、；（2）2（3）B4．总结提炼（1）弧度；（2）“角化弧”时，将乘以；“弧化角”时，将（3）弧长公式：扇形面积公式：．（其中为圆心角所对的弧长，为圆心角的弧度数，为圆半径．）课时作业1．角集合与之间的关系为（）A．B．C．D．不确定2．若角和的终边互为反向延长线，则有（）A．B．C．D．3．中心角为的扇形，它的弧长为，则该扇形所在圆的半径为______________．4．若，且与的角的终边垂直，则．5．已知直径为的滑轮上有一条长为的弦，是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点转过的弧长等于多少？6．已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积参考答案：1．C?2．D??3．6；4．或；5．；6．中心角时，．下学期4.2弧度制教学目标：1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．教学难点：弧度制定义的理解．教学用具：投影仪．教学过程1．设置情境在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．2．探索研究（1）复习角度制我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，的角是如何定义的？规定把周角的作为1度的角．我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度?弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．图1的弧度数的弧度数提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是．在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？如图2，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由初中学过的弧长公式可得：，，于是．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．因，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．（3）角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2．得等式两边同除180得同理，把弧度换成角度．【例1】把化成弧度．解：∵∴【例2】把化成度．解：同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．下面请大家写出一些特殊角的弧度数．角度弧度按从左至右顺序其答案是：、、、、、、、、、、．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角就表示是的角，就表示的角的余弦，即．（4）角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．【例3】计算：（1）；（2）．解：（1）∵∴2）∵练习（用投影仪）1．把下列各角化成的形式：（1）；（2）；（3）．2．求右图3中公路弯道处弧的长（精确到，图中长度单位：）．参考答案：1．（）（2）（3）2．∵∴答：弯道处的长约为．3．练习反馈（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．（2）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度数．（3）下列终边相同的是（）．A．与B．与C．与D．与参考答案：（1）、、；（2）2（3）4．总结提炼（1）弧度；（2）“角化弧”时，将乘以；“弧化角”时，将乘以（3）弧长公式：扇形面积公式：．（其中为圆心角所对的弧长，为圆心角的弧度数，为圆半径．）课时作业1．角集合与之间的关系为（）AB．C．D．不确定2．若角和的终边互为反向延长线，则有（）A．B．C．D．3．中心角为的扇形，它的弧长为，则该扇形所在圆的半径为______________．4．若，且的角的终边垂直，则．5．已知直径为的滑轮上有一条长为的弦，是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点转过的弧长等于多少？6．已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积参考答案：1．C?2．D??3．6；4．或；．；6．中心角时，．。

4.2弧度制（二）教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合 实数集R5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180rn l π=；3602R n S π=扇二、讲解新课：1．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππoR Sl弧长为l 的扇形圆心角为rad Rl∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ 比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇 要简单三、讲解范例：例1．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 360π=ο∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα例2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S ==例3 计算4sin π和5.1tan解：∵ο454=π∴ 2245sin 4sin==οπ'578595.855.130.571.5rad οο==⨯=•∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==ο例4 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ ο315- 解： πππ63319+=ππ2436045315-=-=-οοοoAB例5 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴ )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵ rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο∴)(655101211cm l ππ=⨯=例6 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+621102r l r l ⇒0652=+-r r∴ ⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨⎧==43l r ∴ r l =α=3 或34四、课堂练习：1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 2.时钟经过一小时，时针转过了( ) A.6π rad B.－6πrad C. 12πrad D.－12πrad 3.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 4.圆的半径变为原来的21，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来 的 倍.5.若α＝－216°，l ＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ).6.在半径为π30的圆中，圆心角为周角的32的角所对圆弧的长为 .参考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5.6356.40 五、小结：用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 六、课后作业：1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶82.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A.α＝3B.α＜3C.α＝32πD.α＝120 3.下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系4.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.5.已知扇形AOB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长等 于 cm.6.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .7.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积. 8.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?9.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?参考答案：1.C 2.C 3.D 4.－3π5.2sin16.12π－937.1sin 128.2 9.－1124π七、板书设计（略）八、课后记：一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.分析：欲求∠AOB ，需要知AB 的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB 于M ，则AB BM AM 21==，在Rt △AMO 中求AM . 答案：∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2sin1 cm.。

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案高二数学必修四《任意角和弧度制》教案什么是教案？教案是老师为顺当而有效地开展教学活动，依据课程标准，教学大纲和教科书要求及同学的实际状况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的详细设计和支配的一种有用性教学文书。

教案包括教材简析和同学分析、教学目的、重难点、教学预备、教学过程及练习设计等。

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案作为一位无私奉献的人民老师，往往需要进行教案编写工作，教案是备课向课堂教学转化的关节点。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？以下是我帮大家整理的高二数学必修四《任意角和弧度制》教案，供大家参考借鉴，期望可以帮忙到有需要的朋友。

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案1教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义;（2）领悟弧度制定义的合理性;（3）把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;（4）娴熟地进行角度制与弧度制的换算;（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。

（6）使同学通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。

依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。

以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。

三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制———弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好预备。

教学重难点重点：理解并把握弧度制定义;娴熟地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用。