4.2平行线分线段成比例(2014年秋北师大版)

4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4， ∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DE EF， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247. 方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D. 方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”. 探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BD CE. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD DF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AE CE. ∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BD CE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

课题：4.2平行线分线段成比例教学目标：1．了解平行线分线段成比例定理的证明,掌握定理的内容；能应用定理证明线段成比例问题，并会进行有关的计算.2．通过平行线分经段成比例定理的正确性的说明，锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，达到锻炼识图能力和推理论证能力.3．通过本节的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；同时通过小组合作，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．教学重点与难点：重点：平行线分线段成比例定理及其理解．难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式．课前准备：教师准备：多媒体课件．教学过程：一、合作探究，导入新课活动内容1：回答下列问题一组等距离的平行线截直线AC所得到的线段相等，那么在直线A′C′上所截得的线段有什么关系呢？处理方式：操作印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等.设计意图：让学生通过实验来体会，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等数学事实.以此来为平行线分线段成比例定理做以铺垫. 通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望.二、分析探索, 新知学习活动内容1：回答下列问题：问题1探究活动一：内容：（1）如图，小方格的边长都是1，直线a∥b∥c ,分别交直线m，n于A1，A2，cA 3，B 1，B 2，B 3．计算1223A A A A ，1223B BB B ，你有什么发现？ （2）将b 向下平移到如下图2的位置，直线m ，n 与直线b 的交点分别为A 2，B 2．你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将b 平移到其他位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 处理方式：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟．设计意图：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的．所以学生有种熟悉感，并不感到困难．活动内容2:议一议：内容：教师提问：1.如何理解“对应线段”？2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 若a ∥b ∥c ，则12122323A AB B A A B B ．由比例的性质还可以得到：(图2)12121313A AB B A A B B =，23231212A A B B A A B B =，23231313A A B B A A B B =．处理方式：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”．利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字．设计意图：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解.并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力.三、拓展升华, 变式思考探究活动1：（1）如果把图1中l 1， l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图2中有哪些成比例线段？依据是什么？（2）如果把图1中l 1， l 2两条直线相交，交点A刚落到l 3上，如图2中有哪些成比例线段？依据是什么？推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（延长线）相交，截得的对应线段成比例. 处理方式：以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论．而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.设计意图：进一步加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力，并且能够归纳出平行线分线段成比例定理及其推论的本质特征.活动内容2：课堂练习： 1．如图，已知l 3//l 4//l 5，ABCEF （1）在图（1）中AB = 5，BC = 7，EF =4，求DE 的长． （2）在图（2）中DA= 6，AC= 7，AD=5，求AB 的长．2、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，且 DE ∥BC ．（1）如果AD = 3.2cm ，DB = 1.2cm ，AE =2.4cm ，那么EC 的长是多少？ （2）如果AB = 5cm ，AD =3cm ，AC = 4cm ，那么EC 的长是多少？处理方式：让两名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握平行线分线段成比例定理和推理，引导学生从不同的角度思考问题；注意让学生对解题思路和办法进行辨析，从而能对众多解法作优化选择.四、学以致用，感悟新知例1 如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF∥BC . （1）如果AE =7，EB =5，FC =4．那么AF 的长是多少？ （2）如果AB =10，AE =6，A F =5．那么FC 的长是多少？处理方式：学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路．学生书写过程不规范，教师给出规范的步骤．754742855106510525632510533EF BCAE AF EB FCAE EB FC AE FC AF EB EF BCAE AF AB ACAB AE AF AB AF AC AE FC AC AF ∴====⋅⨯∴===∴====⋅⨯∴===∴=-=-=解：（1），，，（2），，，设计意图：通过对平行线分线段成比例定理的应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解.使学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力.A BCD E 图（1）图（2）第2题图五、小结归纳，形成体系教师指导学生总结本节课所学基本内容和存在疑惑点，建议学生积极发言，教师了解学生的掌握情况及存在问题.1.本节课所学习的基本知识有哪些？2.学习本节课后，还有哪些疑惑？ 六、达标检测，反馈提高1．如图，已知∆ABC 中，DE BC AD AC BD AE //，，，===86，求BD 的长2．如图，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且2HK=BK ，AC 和BH 交于点K ，则AK :KC 等于（ ）A ． 1:2 B. 1:1 C. 1:3 D. 2:33.如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ． 求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB ．七、作业布置，课后拓展必做题：课本 84页 习题 第1题． 选做题：课本 84页 习题 第2题． 板书设计：A B CD EA H D KBC 第1题 第2题第3题。