简解二次曲线上的四点共圆问题

６４　数学教学研究　第３４卷第８期２０１５年８月　

简解二次曲线上的四点共圆问题　

甘志国　

（北京丰台二中１０００７１）　

竞赛题（２０１４年全国高中数学联赛湖　

北赛区预赛第１３题）设Ａ，Ｂ为双曲线Ｘ。一　

．．２　一　上的两点，点Ｎ（１，２）为线段ＡＢ的中　／．Ｊ　点，线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ，　

Ｄ瓣点．　（Ｉ）确定　的取值范围；　

（１Ｉ）试判断Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　４点是否共圆？　

并说明理由．　

简解（Ｉ）用点差法求得直线ＡＢ的方　

．．２　程是ｙ＝ｘ＋１，由直线ＡＢ与双曲线ｚ。一　

一　交于不同的两点，可得　＞一１且　≠０．　

得直线ＣＤ的方程是Ｙ＝＝＝一ｚ＋３，由直　

．．２　线ｃＤ与双曲线ｚ。一　一　交于不同的两　厶　点，可得　＞一９且　≠０．　

所以　的取值范围是（一１，Ｏ）Ｕ（Ｏ，＋。。）．　

（１１）在（工）的解答中已求出ＡＢ：＿ｚ—　

＋１＝０，ＣＤ：．７１７＋３，一３一Ｏ，所以由直线ＡＢ，　

ＣＤ组成的曲线方程为　（ｚ—　＋１）（ｚ＋　一３）一０，　

即Ｘ　一　－－２ｘ＋６　一８一Ｏ，　

．．２　它与椭圆．２７２一　一　的交点Ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ的坐　厶　标即方程组　

ｆ３ｘ。－－３ｙ。－－６ｘ＋１２　一９—０，　ｌ４ｘ。－－２ｙ　一４２　

的解，把这两方程相减并整理得　

（ｚ＋３）０＋（　一６）　＝４２＋３６．　（＊）　

即Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　４点必在圆（＊）上．　

收稿日期：２０１５—０４—２６　再结合（Ｉ）的答案知，当　＞１２时，点　

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ共圆（且在圆（＊）上）．　

这道竞赛题的一般情形是二次曲线上的　４点共圆问题，该问题的一般结论是：　

定理　１）若两条二次曲线口ｚ。＋ｂｙ　＋　ＣＸ＋ｄｙ＋８＝０（ｎ≠６），盘　＋６　ｙ　＋Ｃ＂Ｘ＋　Ｙ　

＋　一Ｏ有４个交点，则这４个交点共圆；　

２）若两条直线ｚ　：ａｉｘ＋ｂ　Ｙ＋Ｃ　一０（　一　

１，２）与二次曲线ｒ：ａｘ。＋ｂｙ　＋∞＋ｄｙ＋　—　

Ｏ（ａ≠６）有４个交点，则这４个交点共圆的充　

要条件是ａ１ｂ２＋ａ２ｂ１：＝＝Ｏ；　３）设两条直线　：Ｙ—Ｙ。一ｋ　（ｚ－－Ｘ。）（　

一１，２）与二次曲线ｒ：Ａｘ　＋Ｂｙ　＋Ｃｘ＋Ｄｙ　

＋Ｅ＝０（Ａ≠Ｂ）有４个交点，则这４个交点　共圆的充要条件是ｋ　＋忌ｚ—Ｏ．　

证明　１）过这４个交点的二次曲线一定　

能表示成以下形式（　，　不同时为Ｏ）：　２（ａｘ。＋ｂｙ　＋　＋ｄｙ＋Ｂ）＋　（ｎ　

＋６　ｖ。＋ｃ　＋　ｖ＋８　）一Ｏ．　（１）　

式（１）左边的展开式中不含ｘｙ的项，选　＝＝＝１　时，再令式（１）左边的展开式中含　。，Ｙ。项的　，一Ｌ，　系数相等，得　一　，此时曲线（１）即　

ｚ　＋ｖ０＋ｃ＇ｘ＂ｑ－ｄ＇ｙ＋ｅ　一０　（２）　

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有３种　

情形：一个圆，一个点，无轨迹．而题中的４个　交点都在曲线（２）上，所以曲线（２）表示圆．这　

就证得了４个交点共圆．　

２）由ｚ　，ｚ２组成的曲线即　（ｎ１Ｘ＋６１　＋ｃ１）（ａｚｚ＋ｂｚｙ＋ｃ２）一０，

　第３４卷第８期２０１５年８月　数学教学研究　６５　

所以经过它与ｒ的４个交点的二次曲线一定　

能表示成以下形式（　，　不同时为Ｏ）：　Ａ（ａｘ　＋ｂｙ。＋ＣＸ４－ｄｙ４－　）＋　（口１Ｘ　

＋ｂｌ　＋Ｃ１）（ａ２ｘ４－ｂｚｙ＋Ｃ２）一Ｏ．　（３）　

必要性．若４个交点共圆，则存在　，　使方程　

（３）表示圆，所以式（３）左边的展开式中含ｘｙ　

项的系数　（以１ｂ２＋ａ２ｂ１）一０．而　≠０（否则　

（３）表示曲线工１，不表示圆），所以　ａｌｂｚ４－ａ２ｂ１一Ｏ．　

充分性．当ａｌｂｚ＋口２ｂ　＝Ｏ时，式（３）左边　

的展开式中不含ｘｙ的项，选　：１时，再令　

式（３）左边的展开式中含ｚ　，Ｙ。项的系数相　

等，即　＋ｎ１ａ２＝Ａｂ＋６１ｂｚ，得　

，　ａｌａ２－－ｂｌｂ２　＾一—　。　

此时曲线（３）即　。＋　＋ｃ　＋　＋ｅ，＝０　（４）　

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有３种　

情形：一个圆，一个点，无轨迹．而题中的４个　

交点都在曲线（４）上，所以曲线（４）表示圆．这　就证得了４个交点共圆．　

３）由２）立得．　

笔者还发现有４道高考题均是二次曲线　上的４点共圆问题，所以用以上定理的证法　

均可给出它们的简解．这４道高考题分别是：　题ｌ（２０１４年高考全国大纲卷理科第　

２１题（３ｃ科第２２题））已知抛物线Ｃ：Ｙ。一　

２ｐｘ（ｐ＞Ｏ）的焦点为Ｆ，直线Ｙ一４与Ｙ轴的　

交点为Ｐ，与Ｃ的交点为Ｑ，且Ｉ　ＱＦ　ｌ＝　

÷ＩＰＱ１．　

（Ｉ）求Ｃ的方程；　

（Ⅱ）过Ｆ的直线ｚ与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两　

点，若ＡＢ的垂直平分线ｚ　与Ｃ相交于Ｍ两　

点，且Ａ，Ｍ，Ｂ，Ｎ　４点在同一圆上，求ｚ的方　

程．　

答案（Ｉ）３，。一４　；　

（Ⅱ）　—　一１＝０或Ｘ４－　一１一Ｏ．　题２（２０１１年高考全国大纲卷理科第　２１题（文科２２题））已知０为坐标原点，Ｆ为　

．．２　椭圆Ｃ：　。４－普一１在　轴正半轴上的焦点，　厶　过Ｆ且斜率为一√２的直线ｚ与Ｃ交于Ａ，Ｂ　两点，点Ｐ满廊＋　＋　一ｏ．　

（Ｉ）证明：点Ｐ在Ｃ上；　

（Ⅱ）设点Ｐ关于点Ｏ的对称点为Ｑ，证　

明：Ａ，Ｐ，Ｂ，Ｑ　４点在同一圆上．　

’－ｙ　、　

－＂－－－Ｎｓ　７、ｔ　／　

——，　

图１　题３（２００５年高考湖北卷文科第２２题　

（理科第２１题））设Ａ，Ｂ是椭圆３ｚ。＋　。：－－Ａ　

上的两点，点Ｎ（１，３）是线段ＡＢ的中点，线　

段ＡＢ的垂直平分线与该椭圆交于Ｃ，Ｄ两　

点．　

（Ｉ）确定　的取值范围，并求直线ＡＢ　

的方程；　

（Ⅱ）试判断是否存在这样的　，使得Ａ，　Ｂ，Ｃ，Ｄ　４点在同一圆上？并说明理由．　

答案（工）　的取值范围是（１２，４－ｏ。），　

直线ＡＢ的方程是　＋　一４＝Ｏ；　

（Ⅱ）当　＞１２时，均有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　４点在　

同一圆上．　题４（２００２年高考江苏卷第２Ｏ题）设　２　Ａ，Ｂ是双曲线ｚ　一ｙ。－一１上的两点，点Ｎ　

（１，２）是线段ＡＢ的中点．　

（Ｉ）求直线ＡＢ的方程；　

（Ⅱ）如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲　

线相交于Ｃ，Ｄ两点，那么Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　４点是　

否共圆？为什么？　答案　（Ｉ）　—　＋１；　

（Ⅱ）是．