定理 2 二阶矩阵 A 为酉矩阵的充分必要条件

定理 2二阶矩阵A为酉矩阵的充分必要条件是A为下列三种形式之一:

( ⅰ) 1 cosα1 + i sinα1 0 ;

0 cosα2 + i sinα2

( ⅱ) 1 0 cosβ1 + i sinβ1

cosβ2 + i sinβ2 0 ;

( ⅲ) 1 r (cosθ1+ i sinθ1 ) 1 - r2(cosθ2 + i sinθ2) 1 Š 1

1 - r2(cosθ3 + i sinθ3) Š

r (cosθ4+ i sinθ4 )

这里 0

定理1 二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一

（i）1122cossin00cossinii

（ii）11220cossincossin0ii

（iii）11223344cossinsin1cossincossinririri

这里01,r且14232k为整数，

必要性设11122122aaAaa是二阶酉矩阵，于是，即

111211121112111221222122212221221001aaaaaaaaaaaaaaaa

展开得

2222222211211222111222211112212212112221211222121121122210aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

由(1)式得22111212211112,,1,aaaaaa于是可设 11111122222133322444cossincossincossincossinariariariari

其中12,rr为非负实数，且

r1 = 0 时, 即可得定理中的形式( ⅱ) 。

r2 = 0 时, 即可得定理中的形式( ⅰ) 。

r1 ≠0 且 r2 ≠0 时。显然, ( 2) 式中第一个等式与第二个等式等价, 把(3) 代入( 2) 的第一个

等式, 得

(cosθ1- i sinθ1 ) (cosθ2+ i sinθ2 ) + (cosθ3- i sinθ3 ) (cosθ4+ i sinθ4) = 01

根据实部、虚部同时为零, 有

cosθ1cosθ2 + sinθ1 sinθ2 + cosθ3cosθ4 +sinθ3sinθ4= 0 ,

cosθ1 sinθ2 - sinθ1cosθ2 + cosθ3 sinθ4 - sinθ3cosθ4 = 0

利用和差化积公式, 可得

cos (θ2 - θ1) + cos (θ4 - θ3) = 0 ,sin (θ2 - θ1) + sin (θ4 - θ3) = 01

以上两式左端平方求和, 可得 1 + 1 + 2cos(θ2-θ1)cos(θ4-θ3)+ 2sin(θ2-θ1)sin(θ4-θ3)= 01 再

次利用和差化积公式, 有 cos(θ2-θ1-θ4+θ3)= - 11 另外, (2) 中第三个等式与第四个等式等价,

把(3) 代入(2) 的第三个等式, 与上述推导同理可得 cos(θ1+θ4-θ2-θ3)= - 11 所以

θ1+θ4- θ2- θ3= 2kπ+ π,k为整数,

即可得定理中的形式(ⅲ)

充分性:设 A 为定理中的三种形式之一。当 A 为形式(ⅰ) 或形式(ⅱ) 时 ,通过简单计算可 知:A 为酉矩阵。当 A 为形式(ⅲ) 时, 由于在必要性的证明过程中, 每一步推导都是可逆推的, 因此可以全部反推回去, 即可得 A′A= A A′= I .所以A为酉矩阵。