酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
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线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
正交、正定、幂等矩阵
4
正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏
第二部分、正定矩阵
在求多远二次实函数以至于一般的多元实函数的极值时， 或者在最小二乘问题、 正则化 问题、优化问题中，正定或负定的二次型起着十分重要的作用，而在实数域范围内，每一个 二次型都对应着一个实对称阵， 那我们有必要弄清楚正定矩阵的性质， 至于负定矩阵以及半 正定矩阵、半负定矩阵的性质类似可以得到，见文献[2]、[7]. 同样，为了更清楚的阐述正定矩阵的性质，我们先给出正定矩阵的定义，值得注意的是 这里仅对对称矩阵给出定义，至于更一般的正定矩阵的定义有兴趣的读者可以参考文献[8] 定义 2.1 设矩阵 A 是 n 级实对称方阵，如果对于任意非零向量
下面的定理表明矩阵论中的三种最重要的矩阵的之间的关系： 定理 1.12 实数域上的一个 n 级矩阵如果具有下列三个性质中的任意两个性质， 那么有 第三个性质：正交矩阵、对称矩阵、对合矩阵. 证明：设 n 级实矩阵 A 是正交矩阵，且是对称矩阵，则
3
正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏
A2 AA AA T I
AAT I
那么称 A 是正交矩阵. 从定义 1.1 立即得出： 定理 1.1 实数域上的 n 级矩阵 A 是正交矩阵等价于下面的三条结论中的任意一条： （1） AAT I （2） A 非奇异，并且 A1 AT ； （3） AT A I . 同时，正交矩阵还有如下的性质： （1） I 是正交矩阵； （2）如果 A 和 B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵； （3）如果 A 是正交矩阵，则 A （即 A ）也是正交矩阵；
A = LLT
更一般的我们有下面两个常用的定理： 定理 2.6
n 级实对称矩阵 A 是正定的充要条件是有 n 级实可逆矩阵 C 使得 A = CTC
矩阵的相似变换
设 U C nn , P R nn
酉矩阵 U : U H U I , U H U 1 正交矩阵 P : P T P I , P T P 1
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
矩阵 A , B C nn ( 或R nn ) B U H AU —— 酉变换
即：
u i H
pi
T
u j p j
ij ij
i , j 1, 2,n
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
二、矩阵的相似变换：酉变换和正交变换
1、相似变换
两种重要的相似变换！ 后面用的多！
定义：设 A , B C nn ( 或R nn )
如果存在非奇异方阵 S 0 S C nn (或R nn )
使 B S 1 AS 成立
则称 B 与 A 相似，记 B ~ A
变换矩阵！
A S B 的变换称为相似变换。
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
注：相似变换是一种很实用的矩阵变换！
实用上，是构造一非奇异方阵[S]，进行相似变换， 使变换后[B]比[A]简单（例如：三角阵、三对角 阵等），以便快速求出[A]的特征解。
③若[U]是酉矩阵，[P]是正交矩阵，则[U]H也是酉矩 阵， [P]T也是正交矩阵。
证： U H H U H U U 1 I P T T P T P P 1 I 证毕。
第 2 节
矩 阵 的 相 似 变 换
酉 矩 阵 和 正 交 矩 振
第
一
章基 础 知 识
④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵（或正交矩阵）
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设1V 和2V 分别是齐次方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===的解空间，证明12V V V =⊕。
证明：因方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===，只有零解，故{}120V V = ，从而21V V +=21V V ⊕，且21V V ⊕是V 的子空间，即21V V ⊕≤V 。
又1V 的维数是n-1，2V 的维数是1故21V V ⊕的维数是n 维，所以12V V V ⊕=。
注：任给一个V 的子空间1V ，可以找到子空间2V 使得：12V V V =⊕此式称为V 的一个直和分解，1V ，2V 称为互补空间2、 线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V 的线性变换T 的象空间和核都是V 的子空间 证明：V (),,,,()()()()()V 0k e r ()k e r (),k e r (),0,()0,k e r ()(),k e r ()k e r ()VT V x y V P x y V x V Tx Ty T x y T V Tx T x T V T V T T x y T P Tx Ty T x y Tx Ty x y T T x Tx x T T λλλλλλλλ∀∈∀∈+∈∈+=+∈=∈∈∀∈∀∈==+=+=+∈=∈因为非空，所以非空故是是的线性子空间因为所以非空因为所以非空则于是故故因此是的线性子空间。
例题2:线性空间V 中的线性变化T 的象空间和核的维数之和等于V 的维数 dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s 即可取ker(T)的一组基12s ,,...,x x x 再添加n-s 个向量将这组向量扩充为V 的一组基12s 122,,...,,,,...,,s s s x x x y y y +++112211n n112211n n11n n111...............(){,,...,}s s s s s s s s s s s s s x V x x x x y y Tx Tx Tx Tx Ty Ty Ty Ty T V Span Ty Ty Ty λλλμμλλλμμμμ+++++++++∀∈=++++++=++++++=++=对则现在只需证明12,,...,s s n Ty Ty Ty ++线性无关。
酉矩阵——精选推荐
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵在数学中，正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，满足其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵酉矩阵n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若一n 行n 列的复矩阵U满足其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。
即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶方阵，则下列条件等价：1.是酉矩阵2.是酉矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。
性质∙U可逆∙U−1 = U*∙|det(U)| = 1∙U*是酉矩阵∙正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。
酉矩阵与酉变换的性质与应用
酉矩阵与酉变换的性质与应用在数学中，酉矩阵和酉变换是重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍酉矩阵及其性质，酉变换的定义及其应用，并探讨它们在量子力学和通信领域的具体应用。
一、酉矩阵的性质酉矩阵是指n阶复方阵U，满足U^H * U = I，其中U^H表示U的共轭转置，I表示n阶单位矩阵。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长为1，即|det(U)|=1。
这意味着酉矩阵的行列式既不会扩大也不会缩小空间的体积。
2. 酉矩阵的逆矩阵也是酉矩阵，即U的逆矩阵U^-1也满足U^-1 = U^H。
3. 两个酉矩阵的乘积仍然是酉矩阵，即若U1和U2都是酉矩阵，则U1 * U2也是酉矩阵。
二、酉变换的定义及性质酉变换是指通过酉矩阵将一个向量或一个矩阵转换为另一个向量或矩阵的线性变换。
设有一个n维向量x和一个n阶酉矩阵U，酉变换可以表示为y = Ux。
酉变换具有以下性质：1. 酉变换保持内积不变，即对于任意向量u和v，有(u, v) = (Uu, Uv)，其中(u, v)表示向量的内积。
2. 酉变换保持长度不变，即对于任意向量u，有||u|| = ||Uu||，其中||u||表示向量的范数。
三、酉矩阵与量子力学的应用在量子力学中，酉矩阵和酉变换被广泛应用于描述量子态的演化和变换过程。
量子态是用复数表示的，而酉矩阵正好能够保持复数模长的不变性，因此可以用来描述量子态的变换。
酉矩阵在量子力学中的具体应用包括：1. 描述量子比特的变换：量子比特是量子力学中最基本的信息单元，酉矩阵可以通过酉变换来描述量子比特的状态的演化和变换。
2. 量子门操作：量子门是一种特殊的酉矩阵，用于在量子计算中实现特定的操作，如位翻转、位移和比特之间的相互作用等。
3. 量子纠缠和量子密钥分发：酉矩阵在描述量子系统的纠缠态和量子密钥分发协议中起到重要作用，通过酉变换可以实现量子态之间的转换和相互作用。
四、酉矩阵与通信的应用在通信领域，酉矩阵和酉变换也有重要的应用，主要体现在信号传输和编码方面。
酉矩阵的应用 -回复
酉矩阵的应用-回复酉矩阵的应用是一项广泛而重要的数学领域，它在各个学科中都有着广泛的应用。
本文将逐步阐述酉矩阵的概念、性质和应用，并介绍一些相关的实际应用案例。
首先，我们来了解什么是酉矩阵。
酉矩阵是指一个复数域上的方阵，其共轭转置等于其逆矩阵。
换句话说，一个方阵U是酉矩阵，当且仅当U的共轭转置矩阵U*满足以下条件：U*U=UU*=I，其中I是一个单位矩阵。
接下来，我们来详细探讨酉矩阵的性质。
首先，酉矩阵的行列式的模长等于1，即det(U) =1。
其次，酉矩阵的特征值具有单位模长，即酉矩阵U 的特征值λ满足λ=1。
此外，酉矩阵的特征向量正交归一，即酉矩阵U 的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交且归一的。
最后，酉矩阵可以分解为单位模长的特征向量与特征矩阵的乘积，即U=VDV*，其中V 是酉矩阵的特征向量组成的酉矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是酉矩阵U的特征值。
接下来，我们来看一些酉矩阵的应用案例。
首先，酉矩阵在量子力学中起着重要的作用。
量子力学是研究微观领域中粒子的行为和相互作用的理论框架，而酉矩阵则是描述量子力学系统中的态演化的数学工具。
量子态的演化可以用酉矩阵来表示，而量子测量可以通过酉矩阵的特征向量和特征值来描述。
其次，酉矩阵在信号处理中也有广泛应用。
例如，在正交频分复用系统中，酉矩阵可以用来进行信号的正交化处理，从而实现多个信号的同时传输。
在多输入多输出（MIMO）系统中，酉矩阵可以用来进行信号的空间预编码和信号的空间解码，从而提高系统的信号传输速率和可靠性。
此外，酉矩阵还在图像处理和机器学习等领域中广泛应用。
在图像处理中，酉矩阵可以用来进行图像的变换和压缩。
在机器学习中，酉矩阵可以用来进行特征提取和数据降维，从而改善机器学习算法的性能。
总之，酉矩阵的应用十分广泛，涉及到数学、物理、工程等多个学科领域。
通过了解酉矩阵的概念、性质和应用，我们可以更好地理解和应用酉矩阵，发挥其在各个领域的作用。
酉(正交)变换
P = PL
2 L
Department of Mathematics
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化成正交向量组 β 1 , β 2 ,L , β m .
β 1 = α1 , β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) β 1
(β1 , β1 ) (β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
M
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二. 正交投影 定义: 设酉（欧氏） 定义 设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M , 的线性变换， ∀x ∈ V , x = x1 + x 2 , T 为 V 的线性变换， x1 ∈ L, x2 ∈ M , 有：T ( x ) = x 1 正交投影,记为 则称 T 为 V 到 L 的正交投影 记为 PL 性质1 性质 性质2 性质 正交投影是线性变换 是酉（欧氏） 设 PL 是酉（欧氏）空间 V 到 L 的正交 投影， 投影，则：
5, n维欧氏空间V的子空间 满足 的子空间W满足 维欧氏空间 的子空间 满足: i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间 的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是 的余子空间 的正交补
Department of Mathematics
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2． 维欧氏空间 的每个子空间 V1 都有 ． 维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 3. 两两正交的子空间的和必是直和． 两两正交的子空间的和必是直和．
(2021年整理)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
(完整版)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 正交矩阵的定义和性质 (4)1。
2。
1 正交矩阵的定义和判定 (4)1.2。
2 正交矩阵的性质 (5)2正交变换的定义和性质 (14)2.1正交变换定义的探讨 (14)2.2正交变换的判定 (17)2。
3正交变换的性质 (17)3正交矩阵的应用 (20)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (20)3。
2利用正交矩阵化二次型为标准形 (24)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (25)3。
2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (26)3.2。
3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程.. 283.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (29)3。
正交矩阵
正交矩阵正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
目录定义 1n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。
）若A为正交阵，则下列诸条件是等价的:1) A 是正交矩阵2) A×A′=E（E为单位矩阵）3) A′是正交矩阵4) A的各行是单位向量且两两正交5) A的各列是单位向量且两两正交6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R正交矩阵通常用字母Q表示。
举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
恒等变换。
旋转16.26°。
针对x轴反射。
旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。
置换坐标轴。
编辑本段基本构造低维度最简单的正交矩阵是1×1 矩阵 [1] 和 [−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
如下形式的2×2 矩阵它的正交性要求满足三个方程矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM = D，D是对角矩阵。
任何正交矩阵的行列式是 +1 或−1。
这可从关于行列式的如下基本事实得出:反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。
对于置换矩阵，行列式是 +1 还是−1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值 1。
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。
,()()Tr ABA Tr B '=. 特别地我们可选取),,2,1,(n j i E B ij ==错误!未找到引用源。
.这里ij E 错误!未找到引用源。
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列交叉位置上的元素为1,其余元素均为零的n 阶矩阵.记n e e e =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100,,010,00121 ，那么,j i ij e e E B '==错误!未找到引用源。
,1,2,,.i j e e i n == 错误!未找到引用源。
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