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矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
酉矩阵通用表达式
酉矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
它是一个特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
酉矩阵的定义和性质可以用以下通用表达式来描述：
设A是一个n阶复数方阵，如果满足以下条件：
1. A的共轭转置矩阵等于A的逆矩阵，即A* = A^(-1)；
2. A的每个元素的模的平方之和等于1，即对于任意的i和j，|A(i,j)|^2 + |A(i+1,j)|^2 + ... + |A(n,j)|^2 = 1，其中|A(i,j)|表示A的第i 行第j列元素的模。
则称A为酉矩阵。
酉矩阵具有许多重要的性质和特征，下面将对其中一些进行介绍。
酉矩阵是一个幺正矩阵。
幺正矩阵是指满足A*A = I的方阵，其中I 是单位矩阵。
这意味着酉矩阵的共轭转置矩阵和它本身的乘积等于单位矩阵。
酉矩阵保持向量的内积不变。
对于任意的复数列向量x和y，如果A是一个酉矩阵，则有(x,y) = (Ax,Ay)，其中(x,y)表示x和y的内积。
这个性质在量子力学中有重要的应用。
酉矩阵的特征值都具有模长为1的性质。
对于酉矩阵A，它的特征值λ满足|λ| = 1。
这意味着酉矩阵的特征值总是在单位圆上。
酉矩阵是可逆的。
由于酉矩阵的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵，所以酉矩阵是可逆的。
这个性质在矩阵求逆的计算中是非常有用的。
酉矩阵是一类具有特殊性质和特征的方阵。
它在许多领域中都有广泛的应用，特别是在量子力学中。
通过上述通用表达式的描述，我们可以更好地理解和应用酉矩阵的各种性质和特征。
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。
定理：任意酉矩阵A可以表示为A=U exp( S j ), 其中，U为实正交矩阵，S为实对称矩阵, j为虚根单位。
证明：{分析：如果假设成立，那么由A=U exp(S j)，我们消去U，可得A T A = exp(2S j)。
由假设S为对称矩阵，因此存在正交矩阵V=(v1,v2,…,v n)，使得S=VDV T, 其中D为实对角矩阵，D=diag(d1,d2,…,d n)。
那么exp(2S j)=V exp(2D j) V T,这样就有(A T A)V =V exp(2D j),写为分量形式为e⋅v k , k=1,2,...,n.(A T A)v k= 2k d j因此问题归结为，对于A T A的任意特征值，存在一个实特征向量。
}由于A为酉矩阵，对于A T A的任意特征值λ和相应特征向量x, 我们有A T Ax=λx,即λ−1A T Ax=x .由于A T A是酉矩阵，因此|λ|=1，从而λ−1=λ。
这样我们就有λA T Ax= x, 同时由于A T A为酉矩阵，因此(A T A)H=A T A。
对λA T Ax= x两边取共轭有λA T Ax=x,等式两边左乘以A T A可得λx=A T A x即，A T A x=λx, 因此对于特征值λ，x和x都是相应特征向量. 设x=u+j⋅v的实部向量为u和虚部向量v,由于x为非零向量，因此u或v至少一个为非零向量，因此，对于A T A的任意特征值，存在一个实特征向量。
又因为A T A为酉矩阵,所以A T A为正规矩阵，存在实正交矩阵V和对角矩阵D1使得A T AV =VD1且D1的每个对角元素为单位复数。
因此可设D1=diag(1j eλ⋅2j eλ⋅n j eλ⋅), 其中λ1,λ2,...,λn 为实数，并且根据复指数函数的周期性，我们可以选择0≤λk≤2π，或者−π≤λk≤π，k=1,2,...,n. 令D=(1/2) diag(λ1,λ2,...,λn)得到(A T A)V =V exp(2D j),因此A T A =V exp(2D j)V T=exp(2j⋅VDV T)令S=VDV T, U=A exp(−S j).那么显然由U=A exp(−S j)有A=U exp(S j);由A T A =exp(2j⋅VDV T)得到A T A =exp(2j⋅S). 下面证明U为实正交矩阵。
所谓的酉矩阵（Unitary Matrix ），是指其具有如下性质
I =ΦΦH
其中的上标H 表示共轭转置，也即
()T
H *ΦΦ=
所谓的共轭转置其实就是熟悉的转置运算推广到复数域。
当然在这个推广过程中，最重要的物理性质得以保留。
这个保留的意思解释如下。
譬如在实数情况下，两个实数向量之间的内积定义为
∑=i i i y x y x ,
而向量的长度则为
x x x ,2=
而两个向量为正交是说这两个向量的内积等于0. 那么，推广到复数域，内积要推广为
∑==i
i i H w v *,w v w v
这样才能保证内积与长度的关系还是
v v v ,2=
回到最前面，很显然，所谓矩阵是unitary 的，无非是说其不同列之间是正交的，而且每一列具有单位长度。
可以证明，酉矩阵是保持长度或者说保持范数的，也即
()()()22z z z z z z z z z z =====H H H H H H ΦΦΦΦΦΦΦ。
酉矩阵概念及性质
酉矩阵是在线性代数研究中分析及其他研究，例如信号处理，系统设计等，有着重要地位
的一种矩阵类型。
它的定义是一个极大的可操作的长方形矩阵，它的主要特性是行数和列
数均为偶数，它可以在特定的坐标系中被定义。
酉矩阵有一系列特定的性质。
首先，偏移矩阵是主对角线上元素零化的矩阵，即主对角线
上元素均为零。
第二，它可以被分解为两个子矩阵及其相反的对角矩阵的乘积。
第三，它
的乘积可以在它的状态空间中表示。
第四，它的元素、行列式以及其他属性可以通过两个子矩阵及它们的对角矩阵求得。
第五，它能够完全表达当前变量之间的线性关系。
酉矩阵在许多学科中都被广泛应用，特别是在生物技术、电气工程、物理、传感器工程、
信号处理等领域都有着重要的地位。
它被广泛应用于传感器技术，为传感器系统提供了可
靠的方案，从而促进了传感器技术的发展和应用。
在信号处理的应用中，酉矩阵可以用来
分析和处理信号，从而获得更准确的结果。
系统设计中，它可以用来估算系统改进后的性能，以及评估系统变化对系统性能的影响。
总之，酉矩阵是一种重要的矩阵类型，因其自身的特殊性质，在众多学科的应用中发挥着
重要的作用，它的应用不仅有利于提高系统的可靠性和性能，而且还有利于更深入研究系
统的运作原理，充分发挥其应用价值。
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵
在数学中，正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，满足
其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵
酉矩阵
n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。
一个简单的充分必要判别准则是：
方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若一 n 行 n 列的复矩阵U满足
其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。
即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，
幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：
若为n阶方阵，则下列条件等价：
1.是酉矩阵
2.是酉矩阵
3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基
4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基
酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为
其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。
性质
∙U可逆
∙U− 1 = U*
∙|det(U)| = 1
∙U*是酉矩阵
∙
正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。
则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.
矩阵定义和相关符号
以下是一个 4 × 3 矩阵：
某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。
在上述例子中 A[2,3]=7。
在C语言中，亦以 A[j] 表达。
(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外 A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。
一般环上构作的矩阵
给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。
若m=n，则通常记以 M(n,R)。
这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R模Rn 的自同态环同构。
若 R 可置换，则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。
其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。
在百度百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。
分块矩阵
分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。
举例，以下的矩阵
可分割成 4 个 2×2 的矩阵。
此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
特殊矩阵类别
对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称, 即是 ai,j=aj,i。
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是ai,j=a*j,i。
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 ai,j=ai+1,j+1。
随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链。
矩阵运算给出 m×n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。
举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。
例如
这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。
如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
六、其他性质
线性变换，转置。
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。
对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。
这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。
今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。
矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。
矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。
若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。
转置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。
注记
矩阵可看成二阶张量，因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。
七、矩阵卡
矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,横排是A\B\C\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字,在登录时必须通过矩阵卡的验证才可以进入游戏..。
现广泛应用于各游戏公司和银行等的账号保密防盗。
