第18章_分析力学基础(动力学普遍方程_拉格朗日方程)

支持。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。

(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1

l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)

C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F

d ∂L ∂L & − ∂θ = 0 dt ∂θ
∂L & = mr & ∂r d ∂L = m&& r & dt ∂r ∂L & = mrθ 2 + mg cosθ − k (r − l 0) ∂r ∂L 2 & = mr θ & ∂θ d ∂L 2 & && = 2mrrθ + m r θ& & dt ∂θ ∂L = −mgr sin θ ∂θ
即
v ∂q
∂r
i s
∂r d = ( ri ) dt ∂q
s
也可以写为
v ∂q
∂r
i j
r d ∂ri ) = ( dt ∂q
j
n
或
i =1
r ∂q
∂r
i j
r d ∂ri = ( ) dt ∂q
j
j
( j =1 2...k) ,
对于不变质点系 由
j
G j = −∑ [
∂ d )] • r i (mi vi ∂ dt q
（2） 第二个经典拉格朗日方程 在上式对s个广义坐标 qs (s = 1,2..., k )求偏导数得 ∂r ∂ r v =∑ r & + ∂ r ∂q ∂q ∂q q ∂t∂q r r ∂ ∂r & ∂ ∂r =∑ ( ) q + ∂t (∂q ) ∂q ∂q
k 2 2 i i i s 1 j= j s j s k i i j= 1 j s j s
r 在任意瞬时,加速度为a
i
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r =− r mai Fiq i
则
约束反力的合力