理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
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《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用
2、第二类拉格朗日方程的应用例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计。
ACOxAOCx例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。
摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接。
M 1M 2φC 求：此系统的运动微分方程。
2、第二类拉格朗日方程的应用解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示：111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j===-=将上式两端对时间t 求导数得：111212,0;cos sin x x yx x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&22212111()(2cos )22m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为：)cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。
d 0(12)d k T TQ k N t q q æö¶¶--==ç÷¶¶L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。
选取原则：计算方便代入拉格朗日方程得到：1212110()cos T Tm m xm l x xj j ¶¶==+-¶¶&&&，2121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j¶=+-+׶&&&&&&10x V Q x ¶=-=¶先计算)cos 1(2j -=gl m V 22212111()(2cos )22m l T m m x l xj j j =++-&&&&221221sin cos T T m lx m l mlx j j jj j j¶¶==-¶¶&&&&&，222121d ()cos sin d T m l m lx m lx t jj j j j ¶=-+׶&&&&&&&2sin V Q m gl j j j¶=-=-¶212122()cos sin 0m m xm l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl jj j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用x 1φ再计算如果质点M 2摆动很小，可以近似地认为1cos sin »»j j j ，且可以忽略含和的高阶小量，2j &1xj &&微分方程可改写为:1212()0m m xm l j +-=&&&&1l x g jj -=-&&&&从以上两式中消去，得到1x&&1210m m gm lj j ++=&&这是自由振动的微分方程，其通解为:)sin(0q w j +=t A 固有角频率:lgm m m 1210+=w 摆动周期:如果21m m >>则质点M 1的位移x 1将很小，质点M 2的摆动周期将趋于普通单摆的周期:1lim 2m T ®¥=也可以从微分方程中消去，得到:j&&可见质点M 1沿x 方向也作自由振动。
动力学普遍方程和拉格朗日方程
(i 1,2,......... .n)
对这n个式子求和
(25.2)
iq
(F N F
i 1 i i
n
) r i 0
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
N r
i 1 i
n
i
0
上式变为：
(F F
i 1 i
n
iq
) r i 0或者 （F i mi ai ) r i 0 (25.4)
s
k 2 2 i i i s j 1 j s j s k i i j 1 j s j s
即
v q
r
i s
r d ( ri ) dt q
s
也可以写为
v q
r
i j
r d ri ( ) dt q
j
n
或
r q
r
i j
r d ri ( ) dt q
j
j
( j 1,2...k )
r 在任意瞬时,加速度为a
i
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r r mi ai F iq
则
约束反力的合力
r rr F N F
i i
0
iq
(i 1,2,......... .n)
(25.1)
达朗伯惯性力
作用于此质点上 的主动力的合力
点积虚位移 ri
( F i N i F iq) r i 0
对时间求导
得到
q
vi
j
q
ri
j
或
q ri
j
( j 1,2...k )
第13章-虚位移原理及拉格朗日方程
动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法。拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式，其它问题就是严格的数学求解问题了。它为解决多自由度动力学问题，提供了简便的方法。
２、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系，能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。
３、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。理解动力学普通定理的基本概念。
４、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。
５、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。
第
在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。
13.1主要内容
13.1.1虚位移的基本概念
FQh＝0h＝1,2,…,k
直角坐标系下的广义力表达式为
用几何法表示为
势力场中的广义力表示为
h＝1,2,…,k
即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。
13.1.5动力学普遍方程及拉格朗日方程
在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
２、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系，能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。
３、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。理解动力学普通定理的基本概念。
４、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。
５、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。
第
在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。
13.1主要内容
13.1.1虚位移的基本概念
FQh＝0h＝1,2,…,k
直角坐标系下的广义力表达式为
用几何法表示为
势力场中的广义力表示为
h＝1,2,…,k
即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。
13.1.5动力学普遍方程及拉格朗日方程
在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学：第二类拉格朗日方程的总结
θ&&(θ ) = ? x&(θ ) = ?
L中无 x, t
∂T ∂x&
=
5 2
mx& +
1 2
mLθ& cosθ
=
C
&x&(θ ) = ?
5 mx&2 + 1 mL2θ&2 + 1Lmg(1− cosθ ) = E
4
6
2
2014-3-25
8
理论力学
习题课
∂T ∂x&
2014-3-25
根据对z轴的动量矩守恒和初始条件，可得关系式： ϕ&
=
1
sin2 θ
15
理论力学
习题课
问题：B 点的运动轨迹？
θ0
=
π
4
=
0.7854,ϕ0
=
0,θ&0
=
0,ϕ&0
=
2.0rad/s
m = 1kg L = 1m k = 10N/m
∂T
∂ϕ&
=
1 mL2 3
sin2 θϕ&
=
C1
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mL&x&cosθ
+
1 mL2θ&&+
3
1 2
mgL sinθ
=
0
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10
理论力学
习题课
x
A
aA
θ&&= −15 2 g,
17L
&x&
=3g 17
求地面的约束力
F
aCt A
拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
动力学方程 拉格朗日方程
而广义力：
Q
n i 1
Fi
ri q
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而 定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直 接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。
1、从主动力所作的虚功来计算
W
n i 1
Fi
sn ri
一、达朗伯－拉格朗日方程
设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都
服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束
反力，则
mi ri
Fi
Ri , i
1,
2,
,
n
miri
mi
ri
Fi
Ri
0,
i
1, 2,
：称为达朗伯惯性力或称有效力
n Fix i1
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
n
i 1
V xi
xi q
V yi
yi q
V zi
zi q
V 1, 2, , s
q
代入基本形式的拉格朗日方程，则
P
Q
n
mi
i 1
n Fi
i 1
ri
ri q
ri
q
P
n i 1
miri
ri
q
d dt
理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程
i
0
在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动 力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零。 ——动力学普遍方程（达朗贝尔-拉格朗日原理）
解析表达式： x y z (( Fxi mi i ) xi ( Fyi mi i ) yi ( Fzi mi i ) zi ) 0
(a)
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
(b)
22
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-5
(a)
s1 πR 2s2 2c 2πR a R l
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
例 题 13-3
或
Hale Waihona Puke 1 g a 2 R 0 （a） 2 令 1 0, 2 0, 则 h R1。根据动力
学普遍方程
Ⅰ O
M I1
1
或
Ⅱ FI 2
mgh FI h M I 11 0 1 g a 1R 0 2
（b）
考虑到运动学关系
s 2
2
,
a2 a1 2
a 2 s 2 ) 0 2 2
( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1
消去δs2 ，得
FI1
m1g
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
6
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-2
两个半径皆为r的均质轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的 斜面上作纯滚动，如图所示。设轮子质量皆为m1 ，对轮心的 转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的加速度。
清华大学版理论力学课后习题答案大全第13章 动力学普遍方程习题解
习题13－1图*第13章动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程13－1图示均质细杆OA 长为l ，重力为P ，在重力作用下可在铅垂平面内摆动，滑块O 质量不计，斜面倾角θ，略去各处摩擦，若取x 及ϕ为广义坐标，试求对应于x 和ϕ的广义力。
解：应用几何法，令0δ=x ；0δ≠ϕ则：ϕϕϕϕϕϕsin 21δδ2sin δδPl lP W Q -=-='=令0δ≠x ；0δ=ϕ则：θθsin δδsin δδP xxP x W Q x -=-=''=13－2图示在水平面内运动的行星齿轮机构，已知固定齿轮半径为R ，均质行星齿轮半径为r ，质量为m ，均质杆OA 质量为m 1，杆受矩为M 的力偶作用而运动，若取ϕ为广义坐标，试求相应的广义力。
解：应用几何法，设对应于ϕ的虚位移0δ≠ϕ则：M M W Q ===ϕϕϕϕδδδδ13－3在图示系统中，已知：均质圆柱A 的质量为M 、半径为R ，物块B 的质量为m ，光滑斜面的倾角为β，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。
若以θ 和y 为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求：（1）系统运动微分方程；（2）圆柱A 的角加速度和物块B 的加速度。
解：（1）在系统上施加惯性力如图（a ）所示。
其中：)(I θ R y M F A -=；y m F B=I θθ2I 21MR J M A A ==应用动力学普遍方程，δ)sin (δ)sin (I I I I +-+---θββR Mg M R F y Mg F F mg A A A B 可得系统运动微分方程：0sin )(=----βθMg R y M y m mg 0sin 21)(2=+--R Mg MR R R yM βθθ 整理后有：0)sin ()(=-+-+g m M MR yM m βθ 0sin 23=--βθg yR习题13-2图习题13-3图F应用第二类拉格朗日方程：2222)(21212121θθ R y M MR y m T -+⋅+=；)(sin θβR y Mg mgy V -+-==-=V T L 2222)(21212121θθ R y M MR y m -+⋅+)(sin θβR y Mg mgy --+)(d d θ R yM y m y L t -+=∂∂；βsin Mg mg y L -=∂∂0d d =∂∂-∂∂y L y L t ；0)sin ()(=-+-+g m M MR y M m βθ （a ）)(21d d 2θθθ R y RM MR L t --=∂∂；R Mg L βθsin =∂∂0d d =∂∂-∂∂θθL L t；0sin 23=--βθg y R （b ）（2）求圆柱A 的角加速度和物块B 的加速度。
分析力学动力学普遍方程和拉格朗日方程实用课件
圆柱的角速度为 O (设圆柱o的半径为r)
m(l
R )2,
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
已求得
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
d dt
L
L
0
得摆的运动微分方程
(l R) R 2 g sin 0
M v
P
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家、 力学家、天文学家， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
i 1
n
或 (Fi miai ) δri 0 i 1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 Fi X ii Yi j Zik, ai xii yi j zik,
动力学普遍方程与拉格郎日方程
即为系统的运动微分方程。
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
动力学普遍方程
ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S
拉格朗日方程
r OP xi yj zk
r ( x, y, z ) r (u1 , u2 , u3 )
z P r O
dr
r+dr
质点 P 的运动用位置矢量 r 表示为：
Hale Waihona Puke yr x(t )i y (t ) j z (t ) k r (t )
质点位移增量
x
3 r r r r dx dy dz dui dr dxi dyj dzk x y z i 1 ui
r+dr
O x
y
这一组等式的几何意义：在空间点P处，基矢量分别沿坐标曲线
的切线的正方向(坐标增加的方向)
r r 还可以得到关系式 , x x
r r , y y
r r z z
r r , i 1, 2, 3 ui ui
2015/5/25 4
航天器多刚体系统动力学 航天学院 田浩
x r y r
x r sin y y r cos x
x
1 r r x x cos r r 1 y y sin
y sin r2 r x x cos 2 y r r
l
而
ri ri d qk dt qk
2015/5/25
经 典 拉 格 朗 日 关 系
航天器多刚体系统动力学 航天学院 田浩
10
1 完整系统的第二类拉格朗日方程
N ri dr r Q mi ri mi i i qk dt qk i 1 i 1 N * k
则第 i 个质点的矢径可表示为广义坐标的函数
r ( x, y, z ) r (u1 , u2 , u3 )
z P r O
dr
r+dr
质点 P 的运动用位置矢量 r 表示为：
Hale Waihona Puke yr x(t )i y (t ) j z (t ) k r (t )
质点位移增量
x
3 r r r r dx dy dz dui dr dxi dyj dzk x y z i 1 ui
r+dr
O x
y
这一组等式的几何意义：在空间点P处，基矢量分别沿坐标曲线
的切线的正方向(坐标增加的方向)
r r 还可以得到关系式 , x x
r r , y y
r r z z
r r , i 1, 2, 3 ui ui
2015/5/25 4
航天器多刚体系统动力学 航天学院 田浩
x r y r
x r sin y y r cos x
x
1 r r x x cos r r 1 y y sin
y sin r2 r x x cos 2 y r r
l
而
ri ri d qk dt qk
2015/5/25
经 典 拉 格 朗 日 关 系
航天器多刚体系统动力学 航天学院 田浩
10
1 完整系统的第二类拉格朗日方程
N ri dr r Q mi ri mi i i qk dt qk i 1 i 1 N * k
则第 i 个质点的矢径可表示为广义坐标的函数
【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程
2) ri d ( ri ) q j dt q j
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、s个完整约束的完整约束系统
ri ri (t, q1, q2 ,, qN )
(i 1,2,, n)
ri
N j 1
ri q j
q j
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 V V (q)
dV dq
qqo
0
d2 V d q2
q qo
0
平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
FQj
( j 1,2,, N )
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式
系统的主动力均为有势力
FQj
V q j
d dt
(
T q j
)
T q j
V q j
d T V T V
dt
(q j
q j
)( q j
q j
d dt
q j
n
(
i 1
1 2
mivi2 )
q j
n
(
i 1
1 2
mi
vi2
)
d dt
(
T q j
)
T q j
N
j 1
FQj
拉格朗日方程
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
理论力学 拉格朗日方程
20
(m1 m2 )xm2lcos m2l 2sin kx0 xcos l gsin 0
系统的运动微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o, cos 1, sin
，略去二阶以上无穷小量，则
(m1 m2 )x m2l kx 0 x l g 0
QA Ma QB QBe QBr QBe ma , QBr mar
5
由动力学普遍方程：
(QA QBe QBr cos)xA (QBe cos Qsin QBr )sB 0
系统为二自由度，取互不相关的 所以
为独x立A ,虚位sB移，且
，
Q mg
Ma mamar cos 0
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
15
T
0
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
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需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
在牛顿第二定律的基础上所建立的动力学普遍定理，通过 矢量形式表示物体运动与相互作用力之间的关系，故称之为 “矢量力学”。
分析力学则采用能量与功来描述非自由质点系的运动与相 互作用力之间的关系，即通过将惯性力引入非自由质点系， 从而将动力学问题在形式上转化为静力学问题后，再应用虚 位移原理所建立的动力学普遍方程，采用分析力学的方法解 决力学问题，弥补了矢量力学在求解具有复杂约束系统和变 形体动力学问题方面所存在的不足。
q
j
ri t
第二类拉格朗日方程
ri
N j 1
ri q j
q
j
ri t
再将此式对 qk 求偏导数
由于
ri t
和
ri q j
所以
仅为广义坐标和时间的函数，与 qk无关
ri qk
ri qk
这是所要证明的第一个关系式。
第二类拉格朗日方程
ri
N j 1
ri q j
q
j
ri t
将其对任意广义坐标qk求偏导数，并考虑到 q j 与qk是相互独立的，得
动力学普遍方程
(Fi miai ) δ ri 0
若将式中的各矢量分别表示为直角坐标形式 Fi Fix i Fiy j Fiz k ai xi i yi j zi k d ri dxi i dyi j dzi k
则得到动力学普遍定理的解析表达式：
[(Fix mixi )δ xi (Fiy mi yi )δ yi (Fiz mizi )δ zi ] 0
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
第二类拉格朗日方程
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
据此，得到由广义坐标表示的虚位移：
δ ri
N k 1
ri qk
δ qk
(Fi miai ) δ ri 0
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
动力学普遍方程
返回
动力学普遍方程
考察由n个质点组成的理想约束系统。根据达朗贝尔原理， 系统中第i个质点的惯性力与质点所受主动力和约束力组成平衡 力系，即
Fi + FNi - miai = 0，i = 1，2，…，n
式中，mi、ai、Fi和FNi分别为质点系中第i个质点的质量、 加速度、所受主动力和约束力。若给系统任一组虚位移dri（i = 1，…，n），则系统的总虚功为
Qk Qk* 0 (k=1,2,,N )
这是由N个独立方程所组成的方程组。
第二类拉格朗日方程
为导出第二类拉格朗日方程，首先需要证明两个关系式：
ri qk
ri qk
ri d ( ri ) qk d t qk
将ri对时间求导数
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
ri
N j 1
ri q j
将动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，所导出的第二 类拉格朗日方程，更便于求解非自由质点系的动力学问题。
考察由n个质点组成的质点系中有s个完整、理想约束，则 可以选N（N= 3n-s）个广义坐标q1，q2，…，qN 描述质点系的位 形。第i个质点的质量为mi，其位矢ri可表示为广义坐标和时间 的函数，即
ri
qk
N 2ri j1 q jqk
q j
2ri tqk
N j 1
q j
( ri qk
)q j
( ri ) t qk
上式等号右端正是 ri 对时间的全导数，
qk
ri d ( ri ) qk d t qk
这就是所要证明的第二个关系式。
第二类拉格朗日方程
ri qk
ri qk
ri d ( ri ) qk d t qk
(Fi FNi miai ) δ ri 0
动力学普遍方程
(Fi FNi miai ) δ ri 0
利用理想约束条件：
FNi δ ri 0
系统的总虚功变为:
(Fi miai ) δ ri 0
上 式 称 为 动 力 学 普 遍 方 程 （ generalized equations of dynamics）。它表明，任一瞬时作用于理想、双侧约束系统上 的主动力与惯性力在该系统任意虚位移上的虚功之和为零。
用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为第二类拉格朗日 方程，它形式简洁、便于计算，广泛用于求解完整约束的复 杂质点系动力学问题。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
动力学普遍方程 第二类拉格朗日方程 动力学普遍方程和 拉格朗日方程的应用 结论与讨论
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
)
T qk
第二类拉格朗日方程Qk*n i 1miri
ri qk
d dt
(
T qk
)
T qk
其中T为质点系的动能:
T
n i1
1 2
mi
ri2
Qk Qk* 0 (k=1,2,,N )
d T T
dt
qk
qk
Qk
(k=1,2, ,N)
这一方程称为第二类拉格朗日方程(Lagrange equation of the second kind)，简称为拉格朗日方程(Lagrange equation)。每一 个方程都是二阶常微分方程，方程的数目等于质点系的自由度 数目。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
在牛顿第二定律的基础上所建立的动力学普遍定理，通过 矢量形式表示物体运动与相互作用力之间的关系，故称之为 “矢量力学”。
分析力学则采用能量与功来描述非自由质点系的运动与相 互作用力之间的关系，即通过将惯性力引入非自由质点系， 从而将动力学问题在形式上转化为静力学问题后，再应用虚 位移原理所建立的动力学普遍方程，采用分析力学的方法解 决力学问题，弥补了矢量力学在求解具有复杂约束系统和变 形体动力学问题方面所存在的不足。
q
j
ri t
第二类拉格朗日方程
ri
N j 1
ri q j
q
j
ri t
再将此式对 qk 求偏导数
由于
ri t
和
ri q j
所以
仅为广义坐标和时间的函数，与 qk无关
ri qk
ri qk
这是所要证明的第一个关系式。
第二类拉格朗日方程
ri
N j 1
ri q j
q
j
ri t
将其对任意广义坐标qk求偏导数，并考虑到 q j 与qk是相互独立的，得
动力学普遍方程
(Fi miai ) δ ri 0
若将式中的各矢量分别表示为直角坐标形式 Fi Fix i Fiy j Fiz k ai xi i yi j zi k d ri dxi i dyi j dzi k
则得到动力学普遍定理的解析表达式：
[(Fix mixi )δ xi (Fiy mi yi )δ yi (Fiz mizi )δ zi ] 0
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
第二类拉格朗日方程
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
据此，得到由广义坐标表示的虚位移：
δ ri
N k 1
ri qk
δ qk
(Fi miai ) δ ri 0
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
动力学普遍方程
返回
动力学普遍方程
考察由n个质点组成的理想约束系统。根据达朗贝尔原理， 系统中第i个质点的惯性力与质点所受主动力和约束力组成平衡 力系，即
Fi + FNi - miai = 0，i = 1，2，…，n
式中，mi、ai、Fi和FNi分别为质点系中第i个质点的质量、 加速度、所受主动力和约束力。若给系统任一组虚位移dri（i = 1，…，n），则系统的总虚功为
Qk Qk* 0 (k=1,2,,N )
这是由N个独立方程所组成的方程组。
第二类拉格朗日方程
为导出第二类拉格朗日方程，首先需要证明两个关系式：
ri qk
ri qk
ri d ( ri ) qk d t qk
将ri对时间求导数
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
ri
N j 1
ri q j
将动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，所导出的第二 类拉格朗日方程，更便于求解非自由质点系的动力学问题。
考察由n个质点组成的质点系中有s个完整、理想约束，则 可以选N（N= 3n-s）个广义坐标q1，q2，…，qN 描述质点系的位 形。第i个质点的质量为mi，其位矢ri可表示为广义坐标和时间 的函数，即
ri
qk
N 2ri j1 q jqk
q j
2ri tqk
N j 1
q j
( ri qk
)q j
( ri ) t qk
上式等号右端正是 ri 对时间的全导数，
qk
ri d ( ri ) qk d t qk
这就是所要证明的第二个关系式。
第二类拉格朗日方程
ri qk
ri qk
ri d ( ri ) qk d t qk
(Fi FNi miai ) δ ri 0
动力学普遍方程
(Fi FNi miai ) δ ri 0
利用理想约束条件：
FNi δ ri 0
系统的总虚功变为:
(Fi miai ) δ ri 0
上 式 称 为 动 力 学 普 遍 方 程 （ generalized equations of dynamics）。它表明，任一瞬时作用于理想、双侧约束系统上 的主动力与惯性力在该系统任意虚位移上的虚功之和为零。
用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为第二类拉格朗日 方程，它形式简洁、便于计算，广泛用于求解完整约束的复 杂质点系动力学问题。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
动力学普遍方程 第二类拉格朗日方程 动力学普遍方程和 拉格朗日方程的应用 结论与讨论
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
)
T qk
第二类拉格朗日方程Qk*n i 1miri
ri qk
d dt
(
T qk
)
T qk
其中T为质点系的动能:
T
n i1
1 2
mi
ri2
Qk Qk* 0 (k=1,2,,N )
d T T
dt
qk
qk
Qk
(k=1,2, ,N)
这一方程称为第二类拉格朗日方程(Lagrange equation of the second kind)，简称为拉格朗日方程(Lagrange equation)。每一 个方程都是二阶常微分方程，方程的数目等于质点系的自由度 数目。