![26[1].1.3函数y=ax2+k的图象与性质](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/b16afdbef121dd36a32d824a.webp)
二次函数图像和性质，解析式求法二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1 D ． y=x 2+例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x=-+，其中二次函数的个数为（ ）随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质三点剖析题模精讲随堂练习知识精讲a 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2）例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的三点剖析题模精讲随堂练习坐标为（ ）A ． ()3,3-B ．()3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3 C ． ()2,3-- D ． ()2,3-例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5C ． 3D ． 3-例3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>题模二：y=a （x-h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =-- D ． 22(4)33y x =--题模精讲随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象 开口方向对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．知识精讲三点剖析二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ． 2C ．D ．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）题模精讲A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ． C． D ．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．随练4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）O y x11随堂练习A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4随练4.4在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式． 题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5-B ． 5C ． 3D ． 3-x =1y xO知识精讲三点剖析题模精讲例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式．例5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．随练5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．随练5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： 随堂练习知识精讲()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<；（2）至少有一个正根．题模二：二次函数与x 轴交点三点剖析题模精讲例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．随堂练习自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ．22y x =+ D ． 2122y x x =-作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ） A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ）A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．作业7 在同一直角坐标系中画出二次函数2y x =-，212y x =-，2y x =，212y x =的图像，并简单说明图像之间的规律．课后作业作业8 对于()2232y x =++的图象下列叙述错误的是（ ） A ． 顶点坐标为()3,2-B ． 对称轴为3x =-C ． 当3x <-时y 随x 增大而减小D ． 函数有最大值为2作业9 抛物线()223y x =-+-的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3- C ．()2,3 D ．()2,3--作业10 若二次函数22y x x c =++配方后为2()7y x h =++，则c 、h 的值分别为（ ）A ． 8、－1B ． 8、1C ． 6、－1D ． 6、1作业11 已知二次函数()23y a x b =--和()25y b x a =+-分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．作业12 将抛物线23y x =向_______平移________个单位，再向_______平移________个单位，就能得到抛物线()2335y x =+-．作业13 已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．作业14 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y <<C ． 312y y y <<D ． 132y y y <<作业15 二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求()()231421m m m +-+的值及点B 、点C 的坐标； （2）直接写出当0y >时，x 的取值范围； （3）直接写出当12x -≤≤时，y 的取值范围．作业16 设23y x ax a =++-，（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．作业17 在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y bx a =+的图象可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图作业18 小明从二次函数2y ax bx c =++的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->．你认为其中正确的信息是（ ）A ． ②③④⑤B ． ①②③④C ． ①③④⑤D ． ①②③⑤作业19 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．（1）确定a 、b 、c 的符号； （2）求a b c ++的取值范围．作业20 如果抛物线2y ax bx c =++经过点()1,12-，()0,5和()2,3-，则a b c ++的值为（ ）A ． 4-B ． 2-C ． 0D ． 1作业21 已知二次函数图象经过点()1,3A ，()0,2B ，()5,3C 三点，求此二次函数解析式．作业22 把二次函数243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，其结果是（ ） A ． ()221y x =-- B ． ()221y x =+- C ． ()227y x =-+ D ． ()227y x =++作业23 已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0和()5,0-两点，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式．作业24 已知二次函数的图象经过原点及点（-12，-14），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．作业25 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()2,0、()4,0，顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式．作业26 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A ． 1213x x <<<B ． 1213x x <<<C ． 1213x x <<<D ． 1201,34x x <<<<作业27 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．作业28 已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为1x a =，2x b = ()a b <，则二次函数2y x mx n =++中，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ． x a < B ． x b >C ． a x b <<D ． x a <或x b >作业29 已知关于x 的一元二次方程()231230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．yxO 21 3。
第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标1．正确理解抛物线的有关概念.2．会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.3．掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用．二、教学重难点重点：正确理解抛物线的有关概念.难点：会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用．三、教学过程【新课导入】[复习导入]问题1：1.二次函数的定义？一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.问题2:一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状？如何画一个二次函数的图象？【新知探究】（一）二次函数y=ax2的图象先画二次函数y=x2 的图象.[课件展示]1.列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x, y）3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象．二次函数y=x2的图象类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上.我们把它叫做抛物线.[思考]画出函数y=-x2的图象.x…-3-2-10123…y=x2…-9-4-10-1-4-9…（二）二次函数y=ax2的性质[讨论交流]1.利用你前面学习的函数图象的性质，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.[归纳总结]（1）y＝x2是一条抛物线;（2）图象开口向上;（3）图象关于y轴对称;（4）顶点（0 ，0）;（5）图象有最低点．[讨论交流]2.说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.[归纳总结]（1）y＝-x2是一条抛物线;（2）图象开口向下;（3）图象关于y轴对称;（4）顶点（0 ，0 ）;（5）图象有最高点．[归纳总结]二次函数y=ax2 的图象性质：（1）y＝ax2是一条抛物线;（2）顶点都在原点;（3）图像关于y轴对称;（4）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．[深入思考]观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？[思考]问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？[归纳总结]对于抛物线y = ax 2 （a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.[思考]问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？[归纳总结]对于抛物线y = ax 2 （a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.x2,y=2x2的图象．例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=12解：分别列表，再画出它们的图象，如图x…-4-3-2-101234…y=1x2…8 4.520.500.52 4.58…2x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2…8 4.520.500.52 4.58…x2,y=x2 , y=2x2开口大小与a的大小有什么关系？[思考]二次函数y=12当a>0时，a越大，开口越小.x2,y=−2x2的图象．[思考]在同一直角坐标系中，画出函数y=−12x…-4-3-2-101234…x2…-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8…y=−12x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=−2x2…-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8…x2,y=−x2 , y=−2x2开口大小与a的大小有什么关系？[思考]二次函数y=−12当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.[课件展示]y=ax2 (a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下顶点坐标(0 ,0)(0 ,0)对称轴y轴y轴增减性当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.最值x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小；|a|越小,抛物线的开口就越大.例2 已知y =(m+1)x m2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.解: 依题意有:{m+1>0,①m2+m=2.②解②得m1=－2, m2=1；由①得m>－1.∴m=1.此时,二次函数解析式为: y=2x2.例3 已知二次函数y=x2．（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标.解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；【课堂小结】二次函数y=ax2的图象及性质y=ax2 (a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下顶点坐标(0 ,0)(0 ,0)对称轴y轴y轴增减性当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.最值x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小；|a|越小,抛物线的开口就越大.【课堂训练】1.函数y=2 x 2的图象的开口向上，对称是y轴，顶点是（0,0）；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.2.函数y=-3x 2的图象的开口向下，对称轴是y轴，顶点（0,0）；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 增大 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 减小 . 3.已知 y =(k +2)x k2+k−4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 增大而增大，则k = 2 .4.若抛物线 y =a x 2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.（1）a 的值是 2 ；对称轴是 y 轴 ，开口 向上 ；（2）顶点坐标是 （0,0） ，顶点是抛物线上的最 小 值 ，抛物线在x 轴的 上 方（除顶点外）；(3) 若A （ x 1, y 1),B (x 2, y 2)在这条抛物线上，且x 1< x 2<0, 则y 1 > y 2. [拓广探索]5.已知：如图，直线y ＝3x ＋4与抛物线y ＝x 2交于A 、B 两点，求出A 、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得{y =3x +4,y =x 2.解得{x =4,y =16,或{x =−1,y =1,所以此两函数的交点坐标为A (4，16)和B (－1，1)． ∵直线y ＝3x ＋4与y 轴相交于点C (0，4)，即CO ＝4. ∴S △ACO ＝12·CO ·4＝8，S △BOC ＝ 12 ×4×1＝2， ∴S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC ＝10. 【布置作业】【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.。
