初中数学 一次函数图像与性质

一次函数知识点总结一次函数是初中数学中的重要内容，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为后续学习其他函数奠定了基础。

接下来，让我们一起系统地梳理一下一次函数的相关知识点。

一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。

当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx（k 为常数，k ≠ 0），这时称 y 是 x 的正比例函数。

理解一次函数的定义需要注意以下几点：1、自变量 x 的次数是 1。

2、系数 k 不为 0。

3、常数项 b 可以为任意实数。

二、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。

1、当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。

2、 b 的值决定了直线与 y 轴的交点坐标。

当 x ＝ 0 时，y ＝ b，所以直线 y ＝ kx ＋ b 与 y 轴的交点坐标为（0，b）。

例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1 的图像是一条斜率为 2，截距为 1 的直线。

当 x ＝ 0 时，y ＝ 1，所以它与 y 轴交于点（0，1）；当 y ＝ 0 时，2x ＋ 1 ＝ 0，解得 x ＝－1/2，所以它与 x 轴交于点（－1/2，0）。

三、一次函数的性质1、增减性如前所述，k 的正负决定了函数的增减性。

2、对称性一次函数的图像是轴对称图形，直线 y ＝ kx ＋ b 关于直线 x ＝b/2k 对称。

四、一次函数的表达式1、已知两点坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂），可以通过待定系数法求出一次函数的表达式。

设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b，将两点坐标代入，得到方程组：y₁＝ kx₁＋ by₂＝ kx₂＋ b解这个方程组，求出 k 和 b 的值，即可得到一次函数的表达式。

2、已知直线的斜率 k 和一个点的坐标（x₀，y₀），也可以用点斜式求出表达式：y y₀＝ k(x x₀)五、一次函数与方程、不等式的关系1、一次函数与一元一次方程一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx ＋ b ＝ 0 的解。

初中数学什么是一次函数它有什么特点一次函数，也被称为线性函数，是初中数学中的一个重要概念。

它是一个以x 的一次方程表示的函数，具有以下形式：f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。

一次函数在数学中有着广泛的应用，并且具有一些特点和性质。

在本文中，我们将详细讨论一次函数的概念、特点和性质。

一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。

其中a 被称为斜率，代表了函数图像的倾斜程度；b 被称为截距，表示函数图像与y 轴的交点。

一次函数的特点和性质如下：1. 直线图像：一次函数的图像是一条直线。

这是因为一次函数是一个一次方程，其图像是一个直线。

直线可以通过两个点来确定，因此我们只需要确定两个点就可以画出一次函数的图像。

2. 斜率：一次函数的斜率决定了函数图像的倾斜程度。

斜率表示了函数在x 方向上的变化率。

当斜率为正时，函数图像向上倾斜；当斜率为负时，函数图像向下倾斜；当斜率为零时，函数图像是水平的。

3. 截距：一次函数的截距决定了函数图像与y 轴的交点。

当x = 0 时，我们可以计算出函数的截距。

截距表示了函数图像与y 轴的位置关系。

4. 增减性：一次函数的增减性由斜率来决定。

当斜率为正时，函数是递增的，即随着x 的增大，函数值也增大；当斜率为负时，函数是递减的，即随着x 的增大，函数值减小。

5. 零点：一次函数的零点表示了函数图像与x 轴的交点。

当函数的值为零时，我们可以求解出函数的零点。

零点表示了函数在x 轴上的位置。

6. 平行和垂直：一次函数的平行和垂直关系可以通过斜率来确定。

如果两个一次函数的斜率相等，则它们是平行的；如果一个函数的斜率是另一个函数斜率的倒数的相反数，则它们是垂直的。

7. 线性关系：一次函数是一种线性关系。

线性关系表示了两个变量之间的直接关系。

在一次函数中，x 和f(x) 之间存在着线性关系，即x 的增加或减少会导致f(x) 的相应变化。

通过以上的讨论，我们可以了解一次函数的概念、特点和性质。

一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。

（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。

（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。

4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。

三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。

其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。

二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。

分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。

解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。

例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。

（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。

一次函数知识点一：一次函数图像的特点两点确定一条直线，根据这个特点，我们在画一次函数的图像时，可以确定两个点，再过这两个点做直线就行了，而且，为了简单，我们常选过点（0，b ）和)0,(kb-作直线。

由观察可知：（1） 正比例函数的图像时一条直线，并经过两个象限。

（2） 当k>0,其图像经过第一、三象限，当k<0时，其图像经过第二、四象限。

知识点二：一次函数及图像的性质 （1） 增减性: 对于一次函数y=kx+b当k>0,y 的值随x 的增大而增大； 当k<0，y 的值随x 的增大而减小； （2） 图像所在的象限：当ｋ>0,b>0,图像位于第一、二、三象限； 当k>0,b<0,图像位于第一、三、四象限； 当k<0,b>0,图像位于第一、二、四象限； 当k<0,b<0，图像位于第二、三、四象限；（3） 两直线的位置关系：直线111b x k l +=和直线222b x k l +=⎩⎨⎧≠=相交与则则21212121,//,l l k k l l k k 知识点三：正比例函数图像与一次函数图像的关系一次函数b kx +=y 的图像是一条直线，它可以看作是由直线kx =y 沿y 轴平移b 个单位长度得到（当b >0时，向上平移；当b<0时，向下平移）一次函数的解题技巧一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明：例题例1 如图，直线y=ax+b 经过点A （-1，-2）和B （-2，0），直线y=2x 过点A ，则不等式02≤+<b kx x 的解集是为：（ ）A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0分析：根据不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b 上，点在点A 与点B 之间的横坐标的范围． 解答：解：不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b 上，位于直线y=2x 上方，x 轴下方的那部分点，显然，这些点在点A 与点B 之间． 故选B ． 点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 二：函数思想通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。

一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。

（常数项）b决定图象与y轴交点位置。

五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。

一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。

因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。

在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。

确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。

若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。

初中数学一次函数知识点一、一次函数的定义一次函数是指具有形式 $y = kx + b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，$k$ 是斜率，$b$ 是截距。

一次函数的图像是一条直线。

二、斜率（$k$）1. 斜率 $k$ 表示函数中 $x$ 每变化一个单位，$y$ 相应变化的量的多少。

斜率是直线的倾斜程度的度量。

2. 当 $k > 0$ 时，函数图像从左下方向右上方倾斜；当 $k < 0$ 时，图像从左上方向右下方倾斜。

3. 当 $k = 0$ 时，函数变为常数函数，即 $y = b$，图像为一条水平直线。

三、截距（$b$）1. 截距 $b$ 表示当 $x = 0$ 时，函数 $y$ 的值。

它是直线与$y$ 轴的交点。

2. 当 $b > 0$ 时，直线与 $y$ 轴的交点在原点上方；当 $b <0$ 时，交点在原点下方。

3. 当 $b = 0$ 时，直线通过原点，即图像通过坐标系的 (0,0) 点。

四、图像与系数的关系1. 直线的斜率和截距决定了直线在坐标系中的位置和形状。

2. 斜率和截距的不同组合可以生成不同的直线，但所有这些直线都是一次函数的图像。

五、一次函数的性质1. 一次函数是单调函数，即在整个定义域内，函数值随着自变量的增加而增加或减少。

2. 一次函数的图像不会与自身相交。

3. 一次函数的图像是连续的，并且在任何区间内都是可导的。

六、一次函数的应用1. 一次函数可以用于描述许多现实世界中的问题，如速度与时间的关系、成本与数量的关系等。

2. 在解决实际问题时，通常需要根据实际情况确定函数的斜率和截距。

七、一次函数的运算1. 一次函数可以通过加减乘除等基本运算进行变换。

2. 两个一次函数的和、差、积、商仍然是一次函数。

八、一次函数的图像绘制1. 确定斜率 $k$ 和截距 $b$。

2. 找到与 $y$ 轴的交点 (0, $b$)。

3. 使用斜率 $k$，从截距点开始，沿着斜率方向移动，找到其他点。

学科：数学 教学内容：一次函数的图像和性质【基础知识精讲】 一、一次函数的图像1.正比例函数y=kx(k ≠0,k 是常数)的图像是经过O(0，0)和M(1，k)两点的一条直线(如图13-17).(1)当k ＞0时，图像经过原点和第一、三象限；(2)k ＜0时，图像经过原点和第二、四象限.2.一次函数y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的图像是经过A(0,b)和B(-k b，0)两点的一条直线，当kb ≠0时，图像(即直线)的位置分4种不同情况：(1)k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三象限，如图13-18A (2)k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四象限，如图13-18B (3)k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四象限，如图13-18C (4)k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四象限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征(1)对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A(0,b),因此b 叫直线在y 轴上的截距.(2)直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A(0，b)和B(-k b ，0).设直线与x 的夹角为α，则tg α=|k bb|=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tg α＞,因此|k|=tg α.4.一次函数的图像与直线方程(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.(2)与坐标轴平行的直线的方程.①与x 轴平行的直线方程形如：y=a(a 是常数).a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，直线与x 轴重合；a ＜0时，直线在x 轴下方.(如图13-19)②与y 轴平行的直线方程形如x=b(b 是常数)，b ＞0时，直线在y 轴右方，b=0时，直线与y 轴重合；b ＜0时，直线在y 轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1若l2相交，则k 1≠k2;若k1≠k2，则l1与l2不平行，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加(或减少)而增加(或减少)的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：(1)k＞0时，y随x的增加而增加；(2)k＜0时，y随x的增加而减小.3.待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像(即直线)经过两个已在点A(x1，y1)和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：(1)设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)(2)将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=k1x1+b①y 2=k2x2+b2②(3)联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.【重点难点解析】例1已知一次函数y=(m+3)x+(4-n),(1)m为何值时，y随x的增大而减小；(2)n为何值时，函数的图像与y轴的交点x轴下方；(3)m、n为何值时，函数图像与y=x+2的图像平行.解：(1)当m+3＜0,即m ＜-3时，y 随x 的增大而减小； (2)当4-n ＜0,即n ＞4时，函数的图像与y 轴的交点在x 下方； (3)当m+3=1且4-n ≠2时，即m=-2, n ≠2时，函数的图像是一条与y=x+2平行的直线.例2 当a 、b ＞0，ac ＜0，直线ax+by+c=0不通过哪个象限. 解：∵b ≠0 ∴由原函数式变形得：y=-b a x-b c∴ab ＞0 ∴-b a＜0 又∵ac ＜0,∴-b c＞0直线ax+by+c=0不通过第三象限.例3 直线l 1:y 1=k 1x+b 1 与y=2x 平行且通过A(3，4)，直线l 2:y 2=k 2x+b 2通过B(1，3)，C(-1，5)，求l 1和l 2的解析式.解：∵y 1=k 1x+b 1与y=2x 平行且通过A(3，4)∴⎩⎨⎧=+=4b 3k 2k 111解这个方程组得：⎩⎨⎧==-2b 2k 11∴l 1的解析式为:y=2x-2∵y 2=k 2x+b 2通过B(1，3)和C(-1，5)两点，将两点的坐标代入解析式得：∴l 2的解析式为：y=-x+4例4 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过P(-2，1)，且一次函数在y 轴上的截距为3.(1)求这两个函数的解析式；(2)在同一坐标系中，分别画出两个函数的图像；(3)求这两个函数的图像与y 轴围成的三角形的面积.解：(1)设正比例函数和一次函数的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b.由y=k 1x过点(-2，1)得1=-2k 1 ∴k 1=-21由y=k 2x+b 过点(-2，1)，截距为3 得：b=3 -2k 2+b=1 解得：k 2=1 b=3(2)过点O(0，0)、P(-2，1)两点画一条直线，即得函数y=-21x 的图像.经过A(0，3)和P(-2，1)画一条直线即得y=x+3的直线，如图13-21(3)直线y=x+3与y 轴交于点A(0，3)过P 作PH ⊥y 轴，则OA=3，PH=|-2|=2，而函数与y 轴所围成的三角形面积即是△APO 的面积.S △APO=21·AO ·PH =21×3×2=3例5 已知y-(m-3)与x(m 是常数)成正比例，且 x=6时，y=1；x=-4时， y=-4.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在直角坐标系中，画出这个函数的图像；(3)求出这个函数的图像与坐标轴的两个交点之间的距离.解：∵y-(m-3)与x 成正比例 ∴可设y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①⎩⎨⎧-=+-=+1m k 44m k 6故所求函数关系式为：y=21x-2(2)经过A(6，1)和B(-4，-4)画直线即是函数y=21x-2的图像.如图13-22(3)当x=0时：y=21×0-2=-2 当y=0时，0=21x-2 x=4∴C(4，0)，D(0，-2)|CD|=52242222=+=+OD OC综上所述5例可见，本节重点为：①根据直线所通过的点的条件求直线方程；②根据直线方程求作直线的图像；③根据增减性、截距求直线方程；④根据两直线的位置关系求直线方程；本节的难点是求直线围成的图形的面积.解决重难点的方法是运用待定系数法和数形结合的方法.【难题巧解点拨】例6 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a 为常数，且满足19＜a ＜96,当自变量x 的取值范围为a ≤x ≤96时，求y 的最大值.解：∵19＜a ＜96,a ≤x ≤96∴x-a ≥0,x+19＞10,x-a-96＜0则y=x-a+x+19+a+96-x=115+x 函数y=15+x 是一次函数，其增减性表明y 随x 的增大而增大. ∴在a ≤x ≤96的x 取值范围内，当x=96时，y 取最大值，即： y max =96+115=211说明：含绝对值的函数首先要讨论绝对值的式子的正负性质，再根据绝对值定义化简，从而得到一次函数；讨论在某一自变量的取值范围内最大值或最小值要根据一次函数的性质和自变量x 范围的两端点取值来求.例7 如图13-23在平面直角坐标系中，点O ′的坐标为(0，3)，⊙O ′与y 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为(0，-2)、(4，0)、(x ，0)，且0＜x ＜4.(1)求点A 的坐标；(2)当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O ′有哪几种位置关系？(3)求出直线BE 与⊙O ′每种位置关系时，x 的取值范围.分析：直线与圆有三种位置关系，从直线与圆相切这种特殊情形，用运动变化的观点寻求结论成立的条件是解本题的关键.解：(1)∵O ′(0，3) ∴⊙′的半径为： OO ′=3，∴OA=2·OO ′=2×3=6，∴A(0，6)(2)∵点B 在⊙O ′外，BE 与⊙O ′有三种位置关系：相离、相切、相交； (3)当直线BE 与⊙O ′相切于D 点时，连结O ′D ，则△O ′BD 是Rt △. O ′D=3, O ′B=5,BD=4,OB=2,OE=x ∵△O ′BD ∽△EBO∴BD OB D O OE =＇ 即423=x ，解得：x=23故当23＜x ＜4时，直线BE 与⊙O ′相离；当x=23时，直线BE 与⊙O ′相切.当0＜x ＜23时，直线BE 与⊙O ′相交.例8 如图13-24，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线，由图中可知行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托运？解：设直线方程为：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)由图可知：x=20时，y=330；x=40时，y=630;把x,y 的对应取值代入直线方程，得：解这个方程组，得：k=30,b=-570 ∴直线方程为:y=30x-570 若y=0时，30x-570=0, ∴x=19答：只要行李重量不超过19公斤时，就可免费托运.【命题趋势分析】由于一次函数是最基本的函数内容，是初中重点之一，在实际中应用十分广泛，因此是中考热点考题.有关一次函数考试主要是概念、图像、性质三个基本内容和待定系数法、数形结合法两种数学方法.【典型热点考题】例9 填空题：已知直线l:y=-3x+2，现在4个命题：①点P(1，-1)在直线l 上；②若直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则AB=1032；③若点M(31，1)，N(a 、b)都在直线l 上，且a ＞31,则b ＞1;④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在l 上，则点Q 在第一或第四象限.其中正确的命题是 .(注意：在横线上填上你认为正确的命题序号)(2000年厦门市中考题)分析：检验①：只需将x=1,y=-1代入函数式看是否适合，当x=1时，y=-3+2=-1,即P(1，-1)在直线y=-3x+2上，①命题正确；检验②；当y=0时，求得x=32,即A(32，0)，当x=0时，y=2，即B(0，2)，∴AB=10322)32(22=+，命题②正确；检验③，若M(31，1)，N(a,b)都在y=-3x+2上，根据直线的性质，k=-3＜0,y 随x 的增加而减小，∴a ＞31时，应该有b ＜0,因此b ＞1错误，即命题③错误；检验④，∵Q 到两坐标轴的距离相等，设Q(m 、n)，则|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：⎩⎨⎧-==11n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121n m 因此Q 点在第一或第四象限，命题④正确. 因此，选①、②、④填空.例10 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期(第一年)付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4%.(1)若第x(x ≥2)年小明家交付房款y 元，求年付款y(元)与x(年)的函数关系式；(2)将第三年，第十年应付房款填入下列表格中：(2000年大连市中考题)分析：首期付款后共余120000-30000=90000元房款，以后每年付款应为5000，与上一年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.解：(1)y=5000+[90000-5000(x-2)] ×0.4% =5400-20x(x ≥2)(2)当x=3时，y=5340，当 x=10 时，y=5200， 因此第三年应付款5340元，第十年应付款5200元.例11 已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它们的交点在第四象限内，(1)求k 的取值范围，(2)若k 为非负整数，点A 的坐标为(2，0)，点P 在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.(2000年西安市中考题)解：(1)依题意：解这个方程组，得：x=k+4,y=k-1∵两直线的交点在第四象限 ∴k+4＞0,且k-1＜0 解不等式组得：-4＜k ＜1 (2)∵k 为非负整数，∴k=0∴直线x-2y=-k+6即为：y=x21-3设P(a ，b)为直线y=x21-3上一点，作PE ⊥x 轴，垂足为E ，若使PO=PA ，则应有OE=AE ，即E(1，0)∵a=1,∴b=-25∴P 1(1,- 25)若使PO=OA=2，则a 2+b 2=4,a 2+(21a-3)2=4,45a 2-3a+5=0, △=9-25＜0此方程无解.若使PA=OA=2，则(2-a)2+b 2=4,(2-a)2+(21a-3)2=4, ∴45a 2-7a+9=0,a 1=2,a 2=518,当a 1=2时，b 1=-2，当a 2=518时 ,b 2=-56.∴P 2(2,-2)或P 3(518，56)综合上所述，点P 的坐标为(1，-25)，(2，-2)，(518，-56)如图13-25.【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分) 一、选择题(10分×6=60分)(1)一次函数y=kx+b 的图像经过点(m,-1)和点(1,m)，其中，m ＜-1,则k 和b 满足的条件是( )A.k ＜0,b ＜0B.k ＞0,b ＞0C.k ＜0,b ＞0D.k ＞0,b ＜0 (2)若一次函数y=(1-2k)x-k(x 为自变量)的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是( )A.k ＜21B.k ＞0C.0＜k ＜21D.k ＜0或k ＞21(3)当mn ＜0 mp ＞0时，一次函数y=m n x pm的图像不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (4)一次函数y=kx+b 的图像如图13-26,那么k 、b 应满足的条件是( ) A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＞0 D.k ＜0,b ＜0(5)已知函数y=x k的图像经过点(-1，1)，则函数y=kx+3的图像是( )(6)直线y=kx+b 与直线 y=-x 垂直，并且经过点(-1，1)，那么直线y=kx+b 的解析式为( )A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2二、解答题(10分×3=30分)(7)已知一次函数y=(3-k)x+2k+1.①如果它的图像经过(-1，2)点，求k 的值；②如果它的图像经过第一、二、四象限，求k 的取值范围.(8)已知y+b 与x-1(其中b 是常数)成正比例.①证明：y 是x 的一次函数；②若这个一次函数的图像经过点(25，0)，且与坐标轴在第一象限内围成的三角形的面积为425，求这个一次函数，并画出它的图像.(9)已知一次函数y=(p+3)x+(2-q).①p 为什么实数时y 随x 的增大而增大？②q 为什么实数时，函数图像与y 轴的交点在x 轴的上方；③p 、q 为什么实数时，函数的图像过原点？(10)如图13-27，在直角坐标系中，点A(x 1，-3)在第三象限，点B(x 2,-1)在第四象限，线段AB 与y 轴交于点D ，∠AOB=90°，①当x 2=1时，求图像经过A 、B 的一次函数的解析式；②当△OAB 的面积等于9时，设∠AOD=α，求sin α·cos α的值.【素质优化训练】一个水池的容积是100m 3,现存水20m 3,今要灌满水池，已知进水管的流量是每小时8m 3,写出水池的水量υ与进水时间t 之间的函数关系式，并画出图像.【生活实际应用】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出货，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用200元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利最多？【知识探究学习】求直线方程的几种方法：1.如图1，若l 与x 轴的夹角为α(0＜α＜90)，直线与y 轴交于点(0，b),则直线l 方程即为：y=tg α·x+b2.若l 与x 的夹角为α(0＜α＜90)，且经过点M(x 1,y 1)，如图2，则直线l 的方程即可写为：αtg x x y y =--113.若l 经过A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则直线l 的方程即可写为：122122x x xx y y y y --=--参考答案： 【同步达纲练习】一、A C D D C B二、(7)k=34,k ＞3,(8)①y=kx-(k+b)(k ≠0)；②y=-2x+5;(9)①P ＞-3,②q ＜2,③p ≠3且q=2;(10)①y=21x-32;②sin α·cos α=61【素质优化训练】v=20+8t(0≤t ≤10) 【生活实际应用】设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获得y 1元，在月末出售可获利y 2元. y 1=0.265x ，y 2=0.3x-700 (1) 当y 1=y 2时,x=20000 (2) y 1＜y 2时，x ＞20000 (3) y 1＞y 2时，x ＜2000。

八年级一次函数知识点框架一、什么是一次函数一次函数，也称为线性函数，是指函数的表达式中最高次项为一次的函数。

它的一般形式为 f(x) = kx + b。

二、一次函数的性质1. 单调性当 k>0 时，一次函数为增函数；当 k<0 时，一次函数为减函数。

2. 零点f(x) = 0 时，得出一次函数的零点，x = -b/k。

3. 斜率斜率 k 等于函数在自变量 x 增加1时，因变量 y 增加的量，即Δy/Δx。

三、一次函数图像的特征1. 直线一次函数的图像为一条直线。

2. 斜率斜率 k 决定了直线的倾斜程度。

当 k>0 时，直线向上倾斜；当k<0 时，直线向下倾斜。

3. 截距截距 b 决定了直线与 y 轴的交点，即函数的截距。

4. 零点零点决定了直线与 x 轴的交点，即函数的根。

四、一次函数的应用1. 费用问题一次函数可以用来解决各种费用问题，如销售费用、生产成本等。

比如一次销售函数为f(x) = 10x + 100，表示每卖出一件商品，销售费用为 10 元，固定成本为 100 元。

2. 距离问题一次函数也可以用来解决距离问题，如两车之间的距离、火车行驶的路程等。

比如一架飞机每小时飞行 800 公里，起点距离终点 1600 公里，求飞机到达终点需要多长时间，答案为 2 小时。

3. 投资问题一次函数还可以用来解决投资问题，如定期存款、股票投资等。

比如某人定期存款，存款金额为5000 元，存5 年，年利率为5%，求存款期末的总额，答案为 6250 元。

五、一次函数的解题方法1. 求解零点要求出一次函数的零点，令 f(x) = 0，解得 x = -b/k。

2. 求解截距要求出一次函数的截距，将 x = 0 代入 f(x) = kx + b 中，解得 b。

3. 求解斜率要求一次函数的斜率，可以直接读出 k 的值，也可以求解两点之间的斜率。

六、总结一次函数是初中数学的重点内容，它具有简单的形式和深刻的应用价值。

初中数学《一次函数的图像和性质》说课稿目录一、相关知识整合二、本章教材分析（一）本章课程要求（二）本章内容标准（三）本章知识结构（四）本章教学目标（五）本章考纲要求三、本节教材分析（一）本节内容在教材中的地位和作用（二）本节教学目标（三）本节教学重点难点四、本节教学策略（一）学情分析（二）教法应用和学法指导（三）教学设计（1）教学程序分析（2）作业布置（3）板书设计各位老师，大家好！我今天说教材的内容是《一次函数的图像和性质》，希望各位老师多加指导！我将从以下几个方面给大家做一详细介绍：一、相关知识内容整合。

二、本章教材分析。

三、本课教材分析。

四、本课教学策略。

一、相关知识内容整合函数是中学数学中非常重要的内容，它贯穿于整个中学阶段的始末，同时也是历年中考、高考必考内容之一。

人教版初中教材将函数的学习分为三章，即八年级上学期的一次函数，下学期的反比例函数，九年级下学期的二次函数。

在学习这些内容之前，分别安排学习了一元一次方程和一元二次方程组，即按照代数运算类型划分阶段，将函数作为方程的后续内容。

本章教学首次提出函数概念，是中学函数知识的开端，是学生正式从常量数学进入变量数学，因此努力上好本学期的函数部分内容显得尤为重要。

一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映客观世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其他函数和高中解析几何中直线方程的基础。

二、本章教材分析（一）本章课标要求1.结合具体情境，如从商品买卖、行程、付费、几何动点等问题入手了解函数的概念和三种表示方法，体会一次函数的意义，能举出函数的实例。

根据已知条件确定一次函数表达式。

2. 会画一次函数的图象，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

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