一次函数图像与性质

一次函数图像性质
一次函数图像性质
1.y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

2.y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限;
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限;
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。

当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

3.直线y=kx+b中k、b的关系
k>0,b>0：经过第一、二、三象限
k>0,b<0：经过第一、三、四象限
k>0,b=0：经过第一、三象限(经过原点)
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0b>0：经过第一、二、四象限
k<0,b<0：经过第二、三、四象限
k<0,b=0：经过第二、四象限(经过原点)
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

一次函数的图像与性质函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）k＞0b＞0b=0b＜0 k＜0b＞0b=0b＜0☆一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的，也表示直线在y 轴上的。

☆同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行。

当时，两直线垂直。

当时，两直线相交。

当时，两直线交于y轴上同一点。

☆特殊直线方程：X轴 : 直线 Y轴 : 直线与X轴平行的直线与Y轴平行的直线一、三象限角平分线二、四象限角平分线1、对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而___________。

2、对于函数1223y x =-, y 的值随x 值的________而增大。

3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。

4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。

5、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。

6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。

7、已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？练习：理解解析式和图象的关系，掌握一次函数图象的有关性质. 一、选择题1.函数y =kx 的图象经过点P （3，－1），则k 的值为（ ）A.3B.－3C.31D.－31 2.下列函数中，图象经过原点的为（ ） A.y =5x +1 B.y =－5x －1 C.y =－5xD.y =51-x 3.若一次函数y =kx +b 中，y 随x 的增大而减小，则（ ） A.k ＜0,b ＜0 B.k ＜0,b ＞0 C.k ＜0,b ≠0 D.k ＜0,b 为任意数4.当x =5时一次函数y =2x +k 和y =3kx －4的值相同，那么k 和y 的值分别为（ ） A.1,11 B.－1,9 C.5,11 D.3,35.若直线y =kx +b 经过A （1，0），B （0，1），则（ ） A.k =－1,b =－1 B.k =1,b =1 C.k =1,b =－1 D.k =－1,b =1 二、填空题6.把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的______和______,在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的______.7.作函数图象的一般步骤为______，______，______；一次函数的图象是一条______. 8.直线y =3－9x 与x 轴的交点坐标为______，与y 轴的交点坐标为______.9.一次函数y =5kx －5k －3,当k =______时，图象过原点；当k ______时，y 随x 的增大而增大.10.在一次函数y =2x －5中，当x 由3增大到4时，y 的值由______；当x 由－3增大到－2时，y 的值______.。

内容基本要求略高要求较高要求一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质知识点睛中考要求一次函数的图象及性质（1）1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴 交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．四、含绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．我们知道，函数y x a =-，当x a =时，y 取最小值0．函数1212()y x a x a a a =-+-<，若2x a >，则121221()()2()y x a x a x a a a a =-+-=-+>-； 若1x a <，则121221()()()2y a x a x a a x a a =-+-=+->-；当12a x a ≤≤时，y 取最小值1221()()y x a a x a a =-+-=-． 在数学竞赛中，有这样一类问题非常普遍：设121n n a a a a -<<<<…，当x 为何值时，函数121n n y x a x a x a x a -=-+-++-+-…取最小值？ 下面我们给出这类问题的一般性结论． 对于函数11n y x a x a =-+-，当1n a x a ≤≤时，1y 取得最小值1n a a -．同理，当21n a x a -≤≤时，函数221n y x a x a -=-+-取得最小值12n a a --；当32n a x a -≤≤时，332n y x a x a -=-+-取得最小值23n a a --；……于是我们得到：⑴ 若n 为奇数，当12n x a +=时，1122n n y x a ++=-取最小值0，此时，1212n y y y +，，…，都取得最小值，则1212n y y y y +=++…+取得最小值1112122n n n n a a a a a a -++⎛⎫⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……．⑵ 若n 为偶数，当122n n a x a +≤≤时，1222n n ny x a x a +=-+-取得最小值122n n a a +-，此时，122n y y y ，，…， 都取得最小值，故122n y y y y =+++…取得最小值112122n n n n a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……．这一点从图象上也不难看出．当1x a <或n x a >时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各段在区间[]1(121)i i a a i n +=-，，，…，上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．一、一次函数的概念【例1】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15x y +=-⑵5xy =- ⑶21y x =-- ⑷35xy =--⑸()()212y x x x =--- ⑹21x y -=【例2】 已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是 ．【巩固】已知函数1(2)k y k x -=- （k 为常数）是正比例函数，则k = ．【例3】 已知y +m 与x +n （m,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？【巩固】已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =,求y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函例题精讲数．【巩固】已知y 是z 的正比例函数，z 是x 的一次函数．求证：y 是x 的一次函数．【例4】 函数已知28(3)1my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【巩固】已知1(2)2m y m x m -=-++是一次函数，求它的解析式．三、一次函数的图象及性质【例5】 在坐标系中画出下列函数的图象．⑴2y x =；23y x =+；21y x =-；⑵12y x =-；122y x =-+；122y x =--【巩固】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是 ．ll【例6】 一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ；当0k >，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k >，0b <时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b <时，直线y kx b =+过 象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为 、 ； 其中 、 分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距．【例7】 已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是 ．【巩固】如图，一次函数1y ax a=+的图象大致是（ ）A B C D【例8】 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（ ）A B C D【巩固】函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例9】 一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?【巩固】若一次函数2(1)12ky k =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是 ．【巩固】若一次函数12(1)12y k x k =-+-的图像不过第一象限，则k 的取值范围是___________．【例10】 如果直线y ax b =+经过第一、二、三象限，那么ab 0（填“>”、“<”、“=”）．【例11】 已知一次函数y kx b =+中，0kb <，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有 个，即第 象限．【例12】 如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）A ．00k b >>，B ．00k b ><，C ．00k b <>，D ．00k b <<，【例13】 若一次函数22222m m y x m --=+-的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值．【巩固】已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- （k 为常数）的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围．【例14】 下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限 （ ）A ．()23y x =- B ．()3.14πy x =-C ．π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()526y x =-【例15】 已知一次函数y kx k =+，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【巩固】若0ab >，0bc <，则a ay x b c=-+经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【例16】 已知0abc =/，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过 象限．【巩固】已知a b c a b c a b ck c b a+--+-++===，且2596m n n +++=．问关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图像一定经过哪几个象限？【例17】 已知一次函数y kx b =+的图象经过（1x ，1y ）和（2x ，2y ）两点，且12x x <,12y y <，则（ ）A ．0k >B ．0k <，0b >C ．0k <，0b <D ．0k <【巩固】已知点()()1242y y -，，，都在直线122y x =-+上，则12y y ，大小关系是（ ） A ．12y y > B ． 12y y = C ．12y y < D ．不能比较【巩固】若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设111y M x +=，221y N x +=，则（ ） A ． M N > B ． M N < C ． M N = D ． 以上都不对课后作业1. 已知2(1)1y m x m =-+-，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？2.函数()2211m y m x mn -=-+在 条件下，y 是x 的一次函数；在 条件下，y 与x 成正比例函数．3.已知正比例函数y kx = （0k ≠，k 为常数），经过点（2，4），以下哪个点不在该正比例函数图图象上（ ） A ．（-2，-4）B ．（0，0）C ．（1，2）D ．()1,2y x =4.已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）ABCD5.如果直线y ax b=+不经过第四象限，那么ab0（填“≥”、“≤”、“=”）．6.若0ab>，0bc<，则a ay xb c=--经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限7.已知函数y(32)(4)a x b=+--为正比例函数．⑴求a b、的取值范围；⑵a b、为何值时，此函数的图象过一、三象限．8.已知关于x的一次函数()372y a x a=-+-的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围．。

一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

一次函数的定义域是一切实数。

当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。

一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。

Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。

二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）.4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)，点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。

一次函数图像性质总结一次函数图像性质总结3、一次函数的图象及性质（1）形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.（2）画法：由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）和b（－，0）的一条直线，当b=0时，即为正比例函数，其图象k是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.（3）性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：（增减性）一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。

①k＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大。

②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。

性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置，反之亦然。

①b＞0直线与y的交点在x轴的上方。

②b=0直线过原点。

③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。

性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；即两直线平行K的值相等。

当b确定k变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。

即当b相等时两直线相交于Y轴一点。

性质四：一般的，一次函数的k、b都未确定，他的图像分为四种情况：注意：一般的画一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)图像时，选取（0，b）、（－，0）两点，即选取直线与两坐标轴的交点。

bk扩展阅读：一次函数图像性质小结与配套练习一次函数的图像性质总结（阅读+理解）一、一次函数的图像姓名1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（-直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18Db，0）两点的一条k3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A（0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（-4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）b，0）.k②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解;若l1与l2平行，则k1=k2.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数ykx(k0)一定经过点，经过(1一次函数ykxb(k0)经，)，过(0，)点，(，0)点．2.直线y2x6与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。

一次函数的图像和性质讲义-综合提高版内容指引：知识点+例题+达纲测试训练+答案 一、一次函数的图像1.正比例函数y=kx(k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）.设直线与x 的夹角为α，则tg α=|kb b|=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tg α＞,因此|k|=tg α.4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1若l2相交，则k1≠k2;若k1≠k2，则l1与l2不平行，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=k1x1+b①y2=k2x2+b2②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.【重点难点解析】例1已知一次函数y=(m+3)x+(4-n),(1)m为何值时，y随x的增大而减小；（2）n为何值时，函数的图像与y轴的交点x轴下方；（3）m、n为何值时，函数图像与y=x+2的图像平行.解：（1）当m+3＜0,即m＜-3时，y随x的增大而减小；（2）当4-n＜0,即n＞4时，函数的图像与y轴的交点在x下方；（3）当m+3=1且4-n ≠2时，即m=-2, n ≠2时，函数的图像是一条与y=x+2平行的直线.例2 当a 、b ＞0，ac ＜0，直线ax+by+c=0不通过哪个像限. 解：∵b ≠0 ∴由原函数式变形得： y=-b a x-bc ∴ab ＞0 ∴-b a＜0 又∵ac ＜0,∴-bc＞0直线ax+by+c=0不通过第三像限. 例3 直线l 1:y 1=k 1x+b 1 与y=2x 平行且通过A （3，4），直线l 2:y 2=k 2x+b 2通过B （1，3），C （-1，5），求l 1和l 2的解析式.解：∵y 1=k 1x+b 1与y=2x 平行且通过A （3，4）∴⎩⎨⎧=+=4b 3k 2k 111解这个方程组得：⎩⎨⎧==-2b 2k 11∴l 1的解析式为:y=2x-2∵y 2=k 2x+b 2通过B （1，3）和C （-1，5）两点，将两点的坐标代入解析式得：∴l 2的解析式为：y=-x+4例4 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过P （-2，1），且一次函数在y 轴上的截距为3.（1）求这两个函数的解析式；（2）在同一坐标系中，分别画出两个函数的图像；（3）求这两个函数的图像与y 轴围成的三角形的面积.解：（1）设正比例函数和一次函数的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b.由y=k 1x 过点（-2，1）得1=-2k 1 ∴k 1=-21由y=k 2x+b 过点（-2，1），截距为3 得：b=3 -2k 2+b=1 解得：k 2=1 b=3(2)过点O （0，0）、P （-2，1）两点画一条直线，即得函数y=-21x 的图像.经过A （0，3）和P （-2，1）画一条直线即得y=x+3的直线，如图13-21（3）直线y=x+3与y 轴交于点A （0，3）过P 作PH ⊥y 轴，则OA=3，PH=|-2|=2，而函数与y 轴所围成的三角形面积即是△APO 的面积.S △APO=21·AO ·PH =21×3×2=3例5 已知y-(m-3)与x （m 是常数）成正比例，且 x=6时，y=1；x=-4时， y=-4.(1)求y 与x 之间的函数关系式；（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图像；（3）求出这个函数的图像与坐标轴的两个交点之间的距离.解：∵y-(m-3)与x 成正比例∴可设y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①⎩⎨⎧-=+-=+1m k 44m k 6故所求函数关系式为：y=21x-2 (2)经过A （6，1）和B （-4，-4）画直线即是函数y=21x-2的图像.如图13-22（3）当x=0时：y=21×0-2=-2 当y=0时，0=21x-2 x=4 ∴C （4，0），D （0，-2）|CD|=52242222=+=+OD OC综上所述5例可见，本节重点为：①根据直线所通过的点的条件求直线方程；②根据直线方程求作直线的图像；③根据增减性、截距求直线方程；④根据两直线的位置关系求直线方程；本节的难点是求直线围成的图形的面积.解决重难点的方法是运用待定系数法和数形结合的方法.【难题巧解点拨】例6 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a 为常数，且满足19＜a ＜96,当自变量x 的取值范围为a ≤x ≤96时，求y 的最大值.解：∵19＜a ＜96,a ≤x ≤96∴x-a ≥0,x+19＞10,x-a-96＜0则y=x-a+x+19+a+96-x=115+x 函数y=15+x 是一次函数，其增减性表明y 随x 的增大而增大. ∴在a ≤x ≤96的x 取值范围内，当x=96时，y 取最大值，即： y max =96+115=211说明：含绝对值的函数首先要讨论绝对值的式子的正负性质，再根据绝对值定义化简，从而得到一次函数；讨论在某一自变量的取值范围内最大值或最小值要根据一次函数的性质和自变量x 范围的两端点取值来求.例7 如图13-23在平面直角坐标系中，点O ′的坐标为（0，3），⊙O ′与y 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为（0，-2）、（4，0）、（x ，0），且0＜x ＜4.（1）求点A 的坐标；（2）当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O ′有哪几种位置关系？（3）求出直线BE 与⊙O ′每种位置关系时，x 的取值范围.分析：直线与圆有三种位置关系，从直线与圆相切这种特殊情形，用运动变化的观点寻求结论成立的条件是解本题的关键.解：（1）∵O ′（0，3） ∴⊙′的半径为： OO ′=3，∴OA=2·OO ′=2×3=6，∴A （0，6）（2）∵点B 在⊙O ′外，BE 与⊙O ′有三种位置关系：相离、相切、相交； （3）当直线BE 与⊙O ′相切于D 点时，连结O ′D ，则△O ′BD 是Rt △. O ′D=3, O ′B=5,BD=4,OB=2,OE=x∵△O ′BD ∽△EBO∴BD OB D O OE =＇ 即423=x ，解得：x=23故当23＜x ＜4时，直线BE 与⊙O ′相离；当x=23时，直线BE 与⊙O ′相切.当0＜x ＜23时，直线BE 与⊙O ′相交.例8 如图13-24，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线，由图中可知行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托运？解：设直线方程为：y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）由图可知：x=20时，y=330；x=40时，y=630;把x,y 的对应取值代入直线方程，得：解这个方程组，得：k=30,b=-570 ∴直线方程为:y=30x-570若y=0时，30x-570=0, ∴x=19答：只要行李重量不超过19公斤时，就可免费托运.【命题趋势分析】由于一次函数是最基本的函数内容，是初中重点之一，在实际中应用十分广泛，因此是中考热点考题.有关一次函数考试主要是概念、图像、性质三个基本内容和待定系数法、数形结合法两种数学方法.【典型热点考题】例9 填空题：已知直线l:y=-3x+2，现在4个命题：①点P （1，-1）在直线l 上；②若直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则AB=1032；③若点M （31，1），N （a 、b ）都在直线l 上，且a ＞31,则b ＞1;④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在l 上，则点Q 在第一或第四像限.其中正确的命题是 .（注意：在横线上填上你认为正确的命题序号）（2000年厦门市中考题）分析：检验①：只需将x=1,y=-1代入函数式看是否适合，当x=1时，y=-3+2=-1,即P（1，-1）在直线y=-3x+2上，①命题正确；检验②；当y=0时，求得x=32,即A （32，0），当x=0时，y=2，即B （0，2），∴AB=10322)32(22=+，命题②正确；检验③，若M （31，1），N(a,b)都在y=-3x+2上，根据直线的性质，k=-3＜0,y 随x 的增加而减小，∴a ＞31时，应该有b ＜0,因此b ＞1错误，即命题③错误；检验④，∵Q 到两坐标轴的距离相等，设Q （m 、n ），则|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：⎩⎨⎧-==11n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121n m 因此Q 点在第一或第四像限，命题④正确.因此，选①、②、④填空.例10 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4%.（1）若第x （x ≥2）年小明家交付房款y 元，求年付款y （元）与x （年）的函数关系式；（2）将第三年，第十年应付房款填入下列表格中：（2000年大连市中考题）年份 第一年 第二年 第三年 …… 第十年 交房款（元）300005360……分析：首期付款后共余120000-30000=90000元房款，以后每年付款应为5000，与上一年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.解：（1）y=5000+[90000-5000(x-2)] ×0.4% =5400-20x （x ≥2）（2）当x=3时，y=5340，当 x=10 时，y=5200， 因此第三年应付款5340元，第十年应付款5200元. 例11 已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它们的交点在第四像限内，（1）求k 的取值范围，（2）若k 为非负整数，点A 的坐标为（2，0），点P 在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.（2000年西安市中考题）解：（1）依题意：解这个方程组，得：x=k+4,y=k-1 ∵两直线的交点在第四像限 ∴k+4＞0,且k-1＜0解不等式组得：-4＜k ＜1 （2）∵k 为非负整数，∴k=0 ∴直线x-2y=-k+6即为：y=x 21-3设P （a ，b ）为直线y=x 21-3上一点，作PE ⊥x 轴，垂足为E ，若使PO=PA ，则应有OE=AE ，即E （1，0）∵a=1,∴b=-25∴P 1(1,- 25) 若使PO=OA=2，则a 2+b 2=4,a 2+(21a-3)2=4,45a 2-3a+5=0, △=9-25＜0此方程无解.若使PA=OA=2，则（2-a ）2+b 2=4,(2-a)2+(21a-3)2=4, ∴45a 2-7a+9=0,a 1=2,a 2=518,当a 1=2时，b 1=-2，当a 2=518时 ,b 2=-56. ∴P 2(2,-2)或P 3（518，56）综合上所述，点P 的坐标为（1，-25），（2，-2），（518，-56）如图13-25.【同步达纲练习】（时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（10分×6=60分）（1）一次函数y=kx+b 的图像经过点(m,-1)和点(1,m)，其中，m ＜-1,则k 和b 满足的条件是（ ）A.k ＜0,b ＜0B.k ＞0,b ＞0C.k ＜0,b ＞0D.k ＞0,b ＜0（2）若一次函数y=(1-2k)x-k （x 为自变量）的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图像不经过第二像限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜21 B.k ＞0 C.0＜k ＜21 D.k ＜0或k ＞21 （3）当mn ＜0 mp ＞0时，一次函数y=mnx p m 的图像不经过的像限是（ ） A.第一像限 B.第二像限 C.第三像限 D.第四像限（4）一次函数y=kx+b 的图像如图13-26,那么k 、b 应满足的条件是（ ） A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＞0 D.k ＜0,b ＜0 （5）已知函数y=xk的图像经过点（-1，1），则函数y=kx+3的图像是（ ）（6）直线y=kx+b 与直线 y=-x 垂直，并且经过点（-1，1），那么直线y=kx+b 的解析式为（ ）A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2 三、解答题（10分×3=30分）（7）已知一次函数y=(3-k)x+2k+1.①如果它的图像经过（-1，2）点，求k 的值；②如果它的图像经过第一、二、四像限，求k 的取值范围.（8）已知y+b 与x-1（其中b 是常数）成正比例.①证明：y 是x 的一次函数；②若这个一次函数的图像经过点（25，0），且与坐标轴在第一像限内围成的三角形的面积为425，求这个一次函数，并画出它的图像.（9）已知一次函数y=(p+3)x+(2-q).①p 为什么实数时y 随x 的增大而增大？②q 为什么实数时，函数图像与y 轴的交点在x 轴的上方；③p 、q 为什么实数时，函数的图像过原点？（10）如图13-27，在直角坐标系中，点A （x 1，-3）在第三像限，点B （x 2,-1）在第四像限，线段AB 与y 轴交于点D ，∠AOB=90°，①当x 2=1时，求图像经过A 、B 的一次函数的解析式；②当△OAB 的面积等于9时，设∠AOD=α，求sin α·cos α的值.【素质优化训练】一个水池的容积是100m 3,现存水20m 3,今要灌满水池，已知进水管的流量是每小时8m 3,写出水池的水量υ与进水时间t 之间的函数关系式，并画出图像.【生活实际应用】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出货，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用200元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利最多？【知识探究学习】求直线方程的几种方法：1.如图1，若l 与x 轴的夹角为α（0＜α＜90），直线与y 轴交于点（0，b ）,则直线l 方程即为：y=tg α·x+b2.若l 与x 的夹角为α（0＜α＜90），且经过点M （x 1,y 1），如图2，则直线l 的方程即可写为：αtg x x y y =--113.若l 经过A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）,则直线l 的方程即可写为：122122x x xx y y y y --=--11参考答案：【同步达纲练习】一、A C D D C B二、（7）k=34,k ＞3,(8)①y=kx-(k+b)(k ≠0)；②y=-2x+5;(9)①P ＞-3,②q ＜2,③p ≠3且 q=2;(10)①y=21x-32;②sin α·cos α=61 【素质优化训练】1． v=20+8t(0≤t ≤10)【生活实际应用】设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获得y 1元，在月末出售可获利y 2元. y 1=0.265x ，y 2=0.3x-700（1） 当y 1=y 2时,x=20000（2） y 1＜y 2时，x ＞20000（3） y 1＞y 2时，x ＜2000。