高中数学必修1-5常用公式一、集合与逻辑1.集合的基本运算：A ∩B ={x|x ∈A,且x ∈B};A ∪B ={x|x ∈A,或x ∈B};∁U A ={x|x ∈U,且x ∉A}.2.集合的包含关系：A ⊆A; ∅⊆A;A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔A ∩C U B =∅⇔C U A ∪B =R3.集合{a 1,a 2,⋯,a n }的子集有2n 个；真子集有2n −1个；非空子集有2n −1个；非空真子集有2n −2个.4.5.（2）若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件.（3）设A ={x|p(x)},B ={x|q(x)}，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件； ③若A =B ，则p 是q 的充要条件. 口诀：小集合推大集合. 二、函数的概念与性质1. 二次函数解析式的三种形式： (1)一般式f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)； (2)顶点式f(x)=a(x −ℎ)2+k(a ≠0)；(3)零点式f(x)=a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0).2. 函数的单调性：(1)定义：区间D ⊆函数f(x)的定义域， ∀x 1,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有 ①f (x 1)<f (x 2)⇔f (x 1)−f (x 2)<0⇔f(x)在区间D 上单调递增； ②f (x 1)>f (x 2)⇔f (x 1)−f (x 2)>0⇔f(x)在区间D 上单调递减.(2)复合函数y =f[g(x)]的单调性——同增异减：如果函数y =f(u)和u =g(x)在其对应的定义域上都是减函数或都是增函数，则复合函数y =f[g(x)]是增函数；如果函数y =f(u)和u =g(x)在其对应的定义域上单调性相异，则复合函数y =f[g(x)]是减函数.(3) 若函数f(x)和g(x)都是增函数,则①kf(x)(k >0)是增函数，kf(x)(k <0)是减函数；②在定义域公共区间上f(x)+g(x)也是增函数. (减函数同理)3. 函数的奇偶性：(1)f(x)是定义域D 上的偶函数⇔∀x ∈D,f (−x )=f(x) ⇔f (x )的图象关于y 轴对称； (2)f(x)是定义域D 上的奇函数⇔∀x ∈D,f (−x )=−f (x )⇔f (−x )+f (x )=0⇔f (x )的图象关于原点对称． 注意：判断函数f(x)的奇偶性，必须先判断f(x)的定义域是否关于原点对称.4. 函数图象的对称性：函数y =f(x)的图象关于直线x =a 对称⇔f(a +x)=f(a −x)⇔f(2a −x)=f(x).5. 两个函数图象的对称性：(1)函数y =f(x)与y =f(−x)的图象关于直线x =0 (即y 轴)对称. (2)函数y =f(x)与y =−f(x)的图象关于直线y =0 (即x 轴)对称. (3)函数y =f(x)与y =−f(−x)的图象关于原点中心对称.(4)函数y =f(x)与其反函数y =f −1(x)的图象关于直线y =x 对称，例如函数y =a x 与y =log a x . 6. 函数的周期性：若函数f(x)的定义域为D ，∀x ∈D,f(x +T)=f(x)（T 为非零常数），则称f(x)是周期函数. 7. 函数的零点：(1)方程f(x)=0有实数根⇔函数y =f(x)有零点⇔函数y =f(x)的图象与x 轴有公共点.(2)零点存在定理：若函数y =f(x)在区间[a,b ]上的图象是连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，则y =f(x)在区间(a,b )上至少有一个零点.三、指数函数、对数函数、幂函数1.根式的性质：（1）(√a n)n =a ；（2）当n 为奇数时，√a n n =a ；当n 为偶数时，√a n n =|a|={a,a ≥0,−a,a <0.2.分数指数幂：(1)a m n =√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,且n >1)；(2)a −mn =1a m n(a >0,m,n ∈N ∗,且n >1).3.实数指数幂的运算性质：(1) a r ⋅a s =a r+s (a >0,r,s ∈R)；(2) (a r )s =a rs (a >0,r,s ∈R)；(3) (ab)r =a r b r (a >0,b >0,r ∈R). 4.指数式与对数式的互化： log a N =b ⇔a b =N(a >0,且a ≠1,N >0). 5.对数的运算性质：如果a >0,a ≠1,M >0,N >0，那么(1) log a (MN)=log a M +log a N ; (2) log a MN =log a M −log a N ; (3) log a M n =n log a M (n ∈R). 6.对数的换底公式：log a N =log m N log m a(a >0,且a ≠1,m >0,且m ≠1, N >0).推论：log a m b n =n mlog a b (a >0,且a >1,m,n >0,且m ≠1,n ≠1, N >0).7.x 8.9.如果初始量为N ，每单位时间的增长率为p ，则x 单位时间后的总量y =N(1+p)x .1 yxoox1y 1xyo1xyo10. 幂函数y=xα(其中x为自变量，α为常数)：(1)必过点(1,1)；(2)在区间(0,+∞)上，α>0时，y=xα单调递增；α<0时，y=xα单调递减.(3)常用幂函数图象：四、三角函数1. 任意角与弧度制：(1)角度与弧度的换算：180°=π rad,1°=π180 rad,1 rad=(180π)°；(2)与α终边相同角的集合：{β|β=α+2kπ,k∈Z}；(3)弧度|α|=lr ，弧长l=|α|r，扇形面积S=12lr=12|α|r2.2. 任意角的三角函数：角α终边上任意点P(x,y)（非原点），设r=√x2+y2，则sinα=yr ,cosα=xr,tanα=yx.3. 同角三角函数的基本关系：sin2θ+cos2θ=1，tanθ=sinθcosθ.（知一求二）4. 诱导公式——奇变偶不变，符号看象限，例如：sin(π2−α)=cosα，sin(π−α)=sinα，sin(−α)=−sinα，cos(π−α)=−cosα，cos(−α)=cosα，tan(π−α)=−tanα.5. 和差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ.6. 辅助角公式：a sin x+b cos x=√a2+b2sin(x+φ)（其中φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=ba）.7. 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα；cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α；tan2α=2tanα1−tan2α.8. 降幂公式：sinαcosα=12sin2α；sin2α=1−cos2α2；cos2α=1+cos2α2；(sinα±cosα)2=1±sin2α.9. 三角函数的图象与性质(1)函数y=A sin(ωx+φ),x∈R及函数y=A cos(ωx+φ) ,x∈R(A,ω,φ为常数，且A≠0)的周期T=2π|ω|；函数y=tan(ωx+φ),x≠kπ+π2,k∈Z(A,ω,φ为常数，且A≠0)的周期T=π|ω|.(2)类正弦函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换（两种方法殊途同归）方法一：①先将正弦函数y=sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ| 个单位，得到y=sin(x+φ)的图象；②再将图象所有点的横坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，得到y=sin(ωx+φ)的图象；③最后将图象所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到y=A sin(ωx+φ)的图象.方法二：①先将正弦函数y=sin x的图象所有点的横坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，得到y=sinωx的图象；②再将图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω| 个单位，得到y=sin(ωx+φ)的图象；③最后将图象所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到y=A sin(ωx+φ)的图象.(3)类正弦函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0)的参数计算： A=y max−y min2， b=y max+y min2，ω=2πT，最后代入已知点求φ，一般代入最高点或最低点坐标，利用已知三角函数值以及给定的范围分析得到φ值（若代入平衡点坐标，则必须区分是上升平衡点还是下降平衡点）.y=tan xπ(1)正弦定理：asin A =bsin B=csin C=2R（R为△ABC的外接圆半径）.变式：a=2R sin A,sin A=a2R,a:b:c=sin A:sin B:sin C.（边角关系的互化）(2)余弦定理：a2=b2+c2−2bc cos A；b2=a2+c2−2ac cos B；c2=a2+b2−2ab cos C.变式：cos A =b 2+c 2−a 22bc；cos B =a 2+c 2−b 22ac ；cos C =a 2+b 2−c 22ab.(3)三角形面积公式：S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A =12(a +b +c)r （r 为△ABC 的内切圆半径）. (4)在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π−(A +B)⇔C 2=π2−A+B 2⇔2C =2π−2(A +B)，常用三角函数关系：sin C =sin (A +B ),cos C =−cos (A +B ),sin C2=cosA+B 2.五、平面向量1. 向量的加法：三角形法则（首尾相接连首尾，符号示例：AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）或平行四边形法则（共起点）. 2. 向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指被减，符号示例：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ ）. 3. 平行向量：(1)方向相同或相反的向量叫做平行向量，又叫共线向量，向量a ,b ⃗ 平行记作a //b⃗ . (2)向量共线定理：a //b ⃗ (a ≠0⃗ )⇔存在唯一实数λ，使b ⃗ =λa .(3)推论：①平面内A,B,C 三点共线⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔存在唯一实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ②若OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P,A,B 三点共线⇔x +y =1. 4.平面向量基本定理：如果e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1,λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ．不共线向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5. a 与b ⃗ 的数量积(或内积)：(1) a ∙b ⃗ =|a ||b ⃗ |cos θ，其中θ为a 与b ⃗ 的夹角〈a ,b ⃗ 〉，θ∈[0,π]. (2)a ∙b ⃗ 的几何意义：数量积 a ∙b ⃗ 等于a 的长度|a |与b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影|b ⃗ |cos θ的乘积．6. 平面向量的坐标运算：(1) 向量的加减法：设a =(x 1,y 1)，b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ±b ⃗ =(x 1±x 2,y 1±y 2). (2) 向量的数乘：设a =(x,y),λ∈R ，则λa =(λx,λy).(3) 两点求向量：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1).(4) 向量的数量积：设a =(x 1,y 1)，b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =|a ||b⃗ |cos θ=x 1x 1+y 1y 2. (5) 平行： a //b ⃗ (a ≠0⃗ )⇔存在唯一实数λ，使b ⃗ =λa ⇔x 1y 2−x 2y 1=0. (6) 垂直：a ⊥b ⃗ ⇔a ∙b ⃗ =0⇔x 1x 1+y 1y 2=0. (7) 长度：设a =(x,y )，则|a |=√a 2=√x 2+y 2.平面两点间的距离公式：若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2. (8) 夹角：cos θ=a⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2.7. 三角形的重心：△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，G 为△ABC 的重心⇔GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⇔G(x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y33).8. 物理应用：①力、速度、位移的合成与分解用向量的加减法，三力F 1⃗⃗⃗ ,F 2⃗⃗⃗⃗ ,F 3⃗⃗⃗⃗ 平衡⇔F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②物体在力F 作用下产生位移s ，则力F 所做的功W =F ∙s =|F ||s |cos θ，其中θ为F ,s 的夹角. 六、解析几何1. 直线斜率公式：k =tan α=y 2−y 1x 2−x 1（α≠π2，直线两点坐标P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，x 1≠x 2，）.2. 直线的五种方程：(1)点斜式：y −y 0=k(x −x 0) (直线过点P(x 0,y 0)，且斜率为k )．(2)斜截式：y =kx +b (直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ). (3)两点式：y−y 1y2−y 1=x−x 1x2−x 1(已知直线上两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2).(4)截距式：x a +yb =1 (a,b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0,b ≠0)(5)一般式：Ax +By +C =0 (其中A,B 不同时为0). 3. 两条直线的平行和垂直(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2，则①l 1||l 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=−1.(2)若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则①l1||l2⇔A1B2−A2B1=0且A1C2−A2C1≠0(即不能重合)；②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0；4. 两点距离公式：已知两点坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2.5. 点线距离公式：已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，则P到l的距离d=00√A2+B2.6. 圆的方程：(1)圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2（其中圆心为(a,b)，半径为r）.(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2−4F＞0，圆心(−D2,−E2)，半径r=√D2+E2−4F2).7. 点与圆的位置关系：若点P(x0,y0)到圆心(a,b)的距离d=√(a−x0)2+(b−y0)2，圆半径为r，则①d>r⇔点P在圆外；②d=r⇔点P在圆上；③d<r⇔点P在圆内.8. 直线与圆的位置关系：若直线l:Ax+By+C=0与圆(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心到直线距离为d，则①d>r⇔相离⇔Δ<0；②d=r⇔相切⇔Δ=0；③d<r⇔相交⇔Δ>0.9. 两圆位置关系：若两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|=d，则①d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线；②d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线；③|r1−r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线；④d=|r1−r2|⇔内切⇔1条公切线；⑤0<d<|r1−r2|⇔内含⇔无公切线.10. 圆的切线方程求法：(1)过圆上一点P(x0,y0)求切线方程，先根据切点P与圆心的连线垂直于切线，求出切线斜率k，再用点斜式写出切线方程.(2)过圆外一点P(x0,y0)的切线方程可设为y−y0=k(x−x0)，再利用相切条件求k，必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．(3)已知斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b，必有两条切线．七、立体几何1. 空间几何体的体积与表面积(1)圆柱：S=2πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长，侧面积为S侧=2πrl.(2)圆锥：S=πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长，侧面积为S侧=πrl.(3)圆台：S=π(r12+r22+r1l+r2l)，其中r1,r2为上、下底面半径，l为母线长，侧面积为S侧=π(r1l+r2l).(4) V柱体=Sh（S是柱体的底面积，ℎ是柱体的高）；V锥体=13Sh（S是锥体的底面积，ℎ是锥体的高）；V台体=13(S′+√S′S+S)ℎ（S,S′分别是台体的上、下底面积，ℎ是台体的高）.(5)球体：若球的半径是R，则其体积为V=43πR3，其表面积为S=4πR2．(6)解球的相关问题的常用方法：若球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到截面的距离为d，三者可以构造直角三角形，则R=√r2+d2.特别地，长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长.2. 常用公理和定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行． ⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行． ⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 八、数列1.数列的通项a n 与前n 项的和S n 的关系：a n ={S 1, n =1S n −S n−1,n ≥2 (其中S n =a 1+a 2+⋯+a n ).2.等差数列：(1)定义：a n −a n−1=d (d 为常数，n ≥2).(2)通项公式：a n =a 1+(n −1)d =a m +(n −m)d =dn +a 1−d(n ∈N ∗). (3)前n 项和公式：S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−12d)n .(4)角码和定理：若{a n }为等差数列，且m +n =p +q(m,n,p,q ∈N ∗)，则a m +a n =a p +a q ，特别地， 当m +n =2p 时，a m +a n =2a p . 3.等比数列：(1) 定义：a n a n−1=q (q 为常数且q ≠0，n ≥2).(2)通项公式：a n =a 1q n−1=a m q n−m =a 1q⋅q n (n ∈N ∗).(3)前n 项和公式：S n ={a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q,q ≠1,na 1,q =1.(4)角码和定理：若{a n }为等比数列，且m +n =p +q(m,n,p,q ∈N ∗)，则a m ∙a n =a p ∙a q ，特别地，当m +n =2p 时，a m ∙a n =a p 2. 4.若{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ∙b n }的前n 项和使用“错位相减法”. 5.“裂项相消法”常用公式：1n(n+k)=1k (1n−1n+k)，√n+√n+k =1k(√n +k −√n).九、不等式1. 不等式常用性质：(1)a >b ⇔a −b >0 (作差比较法) . (2) 若a >0,b >0,则a >b ⇔ab >1(作商比较法) . (3)倒数性质：若ab >0 (即a,b 同号)，则a >b ⇔1a<1b.2. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或<0)(a ≠0)，Δ=b 2−4ac >0时，如果a 与ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 穿根法：(x −x 1)(x −x 2)<0(x 1<x 2)⇔x 1<x <x 2；(x −x 1)(x −x 2)>0(x 1<x 2)⇔x <x 1,或x >x 2. 3. 重要不等式：若a,b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号)． 4. 基本不等式：若a >0,b >0，则a+b 2≥√ab (当且仅当a =b 时取“=”号)．常用变式：ab ≤(a+b 2)2≤a 2+b 22(当且仅当a =b 时取“=”号).5. 和或积求最值：若x,y >0，(1)若积xy 是定值p ，则当且仅当x =y 时，和x +y 有最小值2√p (积定和最小)；(2)若和x +y 是定值s ，则当且仅当x =y 时，积xy 有最大值14s 2 (和定积最大). 十、概率与统计1. 古典概率计算公式：P(A)=A 包含的基本事件个数m 基本事件的总数n.2. 概率加法公式：若事件 A,B 为互斥事件，则A 或B 发生的概率为 P (A ∪B )=P (A )+P(B)．3. 若事件A,B 为对立事件，则P (A )=1−P (B ).4. 概率乘法公式：事件A,B 为相互独立事件⇔A ，B 同时发生的概率P(AB)= P(A)·P(B).5. 用样本估计总体：(1)将样本的频率作为总体的概率估计值. 一般地，样本容量越大，估计就越精确.(2)频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，各小矩形的面积就是对应各组的频率，总和为1.6. 样本平均数：x=x1+x2+⋯+x nn =1n∑x ini=1；样本方差：s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]；样本标准差：s=√1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2].7.变量的相关性：回归直线ŷ=b̂x+â必过样本中心点(x̅,y̅).。
