第三十三讲 锐角三角函数与解直角三角形

1 教育学科导学案

课 题 锐角三角函数与解直角三角形

学习目标与

考点分析 使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。

学习重点 使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。

学习方法 讲练结合法

自主探究法

学习内容与过程

一、 知识回顾：

一、锐角三角函数

1．sinα，cosα，tanα定义

sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ．

2．锐角三角函数取值范围

3.特殊角三角函数值

4．增减性

5.锐角三角函数间的关系

（1）余角v

（2）同角

二、解直角三角形

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的类型：

已知____________；已知___________________．

3．如图（1）解直角三角形的公式：

（1）三边关系：__________________．

（2）角关系：∠A+∠B＝_____，

（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．

cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．

4．如图仰角是____________,俯角是____________．

5．如图方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．

6．如图坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．

30° 45° 60°

sinα

cosα

tanα α

a b c

45南北西东60ADCB70O

荆楚潮 2016年九年级寒假培优讲义 锐角三角函数及解直角三角形

知识要点

几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小 三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题。三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具

一、三角函数的计算和证明问题

1、正弦、余弦、正切和余切的定义

※如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

记作sinA即sinA=斜边的对边A=ca.

※在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，

记作cosA即cosA=斜边的邻边A=cb.

※在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，

记作tanA即tanA=的邻边的对边AA=ba.

※在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，

记作cotA即cotA=的对边的邻边AA=ab.

【例1】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3，

则sinA= ； cosA= ；tanA= ；cotA= 。

2、已知∠α为锐角，则sinα+cosα的值是( )

A、大于1 B、等于1 C、小于1 D、不能确定

3、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连接CE，求sin∠ACE的值.

4、如图中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α，△CDE和△ABE的面积之比是（ ）

A、cosα B、sinα C、cos2α D、sin2α E、1-sinα bcaCBAEBDCA

5、tan67°30′的值是（ ）

初中数学九年级下册锐角三角函数专题重难点汇总

锐角三角函数重点知识

关键词：锐角三角函数、三角函数值之间的关系、解直角三角形

必须清晰知道的基本概念：

锐角三角函数：

在直角三角形Rt▲ABC中，∠C为直角，∠A或∠B的锐角三角函数为：

1. 正弦sinA=∠A的对边/斜边（取值范围为0≤sinA≤1）

2. 余弦cosA=∠A的邻边/斜边（取值范围为0≤cosA≤1）

3. 正切tanA=∠A的对边/∠A的邻边（取值范围为0≤tanA）

4. 余切cotA=∠A的邻边/∠A的对边（取值范围为0≤cotA）

基本三角函数之间的关系：

1. sinA=cosB

2. cosA=sinB

3. Sin^2A+cos^2A=1

4. tanA=cotB（写成tanA=cot(90°-A)可能更好）

5. cotA=tanB

6. tanA=sinA/cosA

7. tanA=1/cotA

8. tanA*cotA=1

勾股定理：

直角三角形两个直角边的平方之和等于斜边的平方。即a^2+b^2=c^2。

一些特殊角的函数值：

要记住0°、30°、45°、60°这些特殊的角的各个三角函数值。计算题中要直接拿来使用的。

解直角三角形：

在直角三角形中，除了直角外，还有五个元素：三条边和两个锐角。根据已知的元素求解其余未知的元素的过程就是解直角三角形。

五个元素中，最少知道多少个就算解出来了呢？请大家先思考一下。

只要知道了两个元素，就可以将其他三个元素解出来了。

1. 已知直角三角形的两条边：

1. 根据勾股定理求出第三条边；

2. 根据两条边求出一个锐角的三角函数值；

3. 根据三角函数求出锐角。则所有元素都解出了。

1. 已知直角三角形的一个锐角和一条边：大家自行演算一下吧。比较简单，但是一定要多

演变几遍，达到熟练为止。这些都是基本功。

一些测量术语：

仰角：视线在水平线上方的角；

俯角：视线在水平线下方的角；

锐角三角函数（1）

一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为m35，求需要准备多长的水管？

探究：如图，ABCRt与CBARt中，90CC，AA，探究ABBC与BACB的关系

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.

※在ABCRt中，90C，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作Asin

如图，ABBCcaAAA的斜边的对边sin 同理：ABACcbBBB的斜边的对边sin

二．例题与练习：

1.例题：如图，在ABCRt中, 90C，求Asin和Bsin的值.

2.练习：

1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是﹙ ﹚

A．43 B．34 C．53 D．54

2.如图，在ABCRt中, 90C，若5AB，4AC，则Asin的值是（ ）

A．53 B．54 C．43 D．34

3.在ABCRt中，90C，2BC，32sinA，则边AC的长是( )

A．13 B．3 C．34 D．5

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且5AB，3BC．

则BACsin = ；ADCsin = .

5．在ABCRt中，90ACB，ABCD于点D.已知5AC，2BC，那么ACDsin的值为（ ）

A．53 B．23 C．255 D．52 --1--  三．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A的对边与邻边的比是一个固定值，