第10讲锐角三角函数

锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。

课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。

以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。

需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。

二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。

30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。

45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。

60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。

三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。

比如，测量物体的高度。

如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。

假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。

再比如，测量河流的宽度。

我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。

四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。

2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。

锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律".【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外,、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角Ca bc30°45°160°要点诠释:（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现:、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大(或减小）；②余弦值随锐角度数的增大(或减小）而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°．(1）互余关系：，;(2)平方关系:; （3)倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解:如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2,BC=， ∴△ABC 为直角三角形, ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三:【变式】在Rt ΔABC 中,∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ,sinA = , cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ,sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值:(1）（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；ACa bc(2）(2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)(2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1）原式==122-．(2）原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；（3）原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中,∠C=90°，若∠A=45°,则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°,sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+｜sinB﹣｜=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求(1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵｜1﹣tanA)2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°,∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB,∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6,AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中,63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质,利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知,而已知CD ＝6，AB ＝10,可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①,在△ABC 中，AB ＝AC,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题:(1）sad60°＝________．(2）对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．（3）如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1）1； （2)0＜sadA ＜2;(3）如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a,∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】（1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA ＝1；（2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；（3）将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示,根据定义可求解．。

完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。

在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。

具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。

其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。

这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。

在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。

在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。

例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。

证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。

解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。

又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。

又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。

因此，△ABE和△DFA是全等三角形。

接下来，求sin∠EDF的值。

由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。

由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。

因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。

根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。

精品文档.第10课 锐角三角函数的增减性及取值范围学习目标：1. 知道锐角三角函数的增减性及取值范围，并能运用解题.2. 探究并掌握锐角三角函数的三个关系，并能运用解题. 学习过程：一、复习旧知：填表并观察：∠A30° 45° 60° sia A cos A tan A二、探究新知：探究一：锐角三角函数的增减性 1. 总结：（1）在0°－90°之间，锐角α的正弦值随角度的增大而 ； （2）在0°－90°之间，锐角α的余弦值随角度的增大而 ； （3）在0°－90°之间，锐角α的正切值随角度的增大而 . 2. 比较大小：（1）sin10° sin20° sin88° sin79°（2）cos10° cos20° cos88° cos79° （3）tan10° tan 20° tan 88° tan 79° 3. 确定下列各式的符号：（1）sin50°- sin49°； （2）cos79°- cos80°； （3）tan36°- tan40°. 4. 计算cos44°最接近的结果是（ ）A 、0.90B 、0.72C 、0.69D 、0.665. 已知 sin α=23，α是锐角，则下列答案正确的是（ ） A 、α＜30° B 、3045︒<α<︒； C 、4560︒<α<︒； D 、60α>︒探究二：锐角三角函数的取值范围:总结：0°＜α＜90°，则锐角α的正弦值的范围是 ；0°＜α＜90°，锐角α的余弦值的的范围是 ； 0°＜α＜90°，锐角α的正切值的的范围是 .例2. 若∠A 为锐角,那么sinA+cosA 的值正确的是（ ）A 、大于1B 、等于1C 、小于1D 、无法确定 探究三：锐角三角函数之间的关系:如图：sin α= ，cos α= ，tan α=sin β= ，cos β= ，tan β=1. 互余两角的正余弦之间的关系：若90α+β=︒，则：sin α= ；cos α= ； 2. 平方关系：22sin cos =α+α ；3. 商数关系：sin =cos αα ，即 .例3：化简：21sin 42sin 481-︒+︒-三、达标练习：1. 已知α为锐角，tan(90)3︒-α=，则α的度数是 ；2. 在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cosB= .3. 若∠A 为锐角，且sinA=cosA ，则∠A = .4. 在△ABC 中，1sin B cos(90C)2=︒-=，那么△ABC 是 三角形. 5. 化简：︒+︒38os -π52cos -12c四、课堂小结：这节课你收获了什么？五、作业布置：在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°， 点D 是BC 上的一点，且BD=10cm,求AC 的长三角函数值 三角 函数。

锐角三角函数【教学内容】锐角三角函数【教学目标】1、正确理解锐角三角函数的定义。

2、熟记0°、30°、45°、60°、90°角的四个三角函数值。

3、掌握互余两角的三角函数之间的关系：sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sin α tg(90°-α)=ctg α， ctg(90°-α)=tg α 4、理解同角三角函数之间的关系： （1）平方关系 sin 2α+cos 2α=1 （2）倒数关系 tg α·ctg α=1（3）弦切间的关系 tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos5、掌握三角函数值的大小变化规律： 若0°<α<β<90°，则0<sin α<sin β<1 0<cos β<cos α<1 0<tg α<tg β 0<ctg β<ctg α6、会用科学计算器（尚无条件的学校可使用算表）由已知锐角求它的三角函数值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它对应的角度。

【知识讲解】1、锐角三角函数的定义如图，△ABC 中，∠C=90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA ，即：sinA=caA =∠斜边的对边把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即：cosA=c bA =∠斜边的邻边把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA ，即：tgA=b aA =∠邻边的对边把锐角A 的邻边与对边之比叫做∠A 的余切，记作ctgA ，即：ctgA=abA =∠对边的邻边2、特殊角的三角函数值可列表如下：对边邻边3 4 证明：（1）在 又∵ ∴sin 2α （2）∵tg α ∴tg α （3）∵sin α=c a ，cos α=c b ，tg α=ba∴bacb c a==ααcos sin =tg α 又∵tg α·ctg α=1∴ctg α=ααsin cos5、当角度在0°～90°间变化时，正弦（正切）值随角度的增大而增大，余弦（余 切）值随角度的增大而减小。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第10讲-----直角三角形与锐角三角函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练掌握直角三角形的性质与判定；②熟练掌握特殊角的三角函数值；③熟练应用锐角三角函数计算高度。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理二、知识概念（一）直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（二）直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．体系搭建4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．（三）锐角三角函数定义在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．∠A 的正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝________；∠A 的余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝________；∠A 的正切：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝________.它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．（四）特殊角的三角函数值（五）解直角三角形1．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角) 2．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ． (1)三边之间的关系：____________； (2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sin A ＝ac ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. 3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sin A ，b ＝atan A(或b ＝c 2－a 2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，a ＝c ·sin A ，b ＝c ·cos A (或b ＝c 2－a 2)；(3)已知两直角边a ，b ，其解法为：c ＝a 2＋b 2， 由tan A ＝ab，得∠A ，∠B ＝90°－∠A ；(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：b ＝c 2－a 2，由sin A ＝a c，求出∠A ，∠B ＝90°－∠A ．（六）解直角三角形的应用（测高）1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．考点一： 直角三角形的性质例1、△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠A +∠B=∠CB ．∠A ：∠B ：∠C=1：2：3C ．a 2=c 2﹣b 2D ．a ：b ：c=3：4：6 【解析】D ．例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，若点A 关于CD 所在直线的对称点E 恰好为AB 的中点，则∠B 的度数是（ ） A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°【解析】C ．例3、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【解析】C．例4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．19【解析】设正方形S1的边长为x，AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．考点二：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【解析】C．例2、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2【解析】在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故选：D．例3、已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．【解析】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．考点三：利用锐角三角函数测高例1、如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）mC．16（）m D．16（）m【解析】A．例2、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）A．3000m B．3000（）mC．3000（）m D．1500m【解析】C．例3、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里【解析】C．例4、某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．【解析】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG=30°，∴CG：BG=，∴CG=5+5．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE﹣DE=5+5+5﹣15=（5﹣5）m．答：宣传牌CD高约（5﹣5）米．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【解析】A．2、用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰三角形D．梯形【解析】D．3、如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m【解析】B．4、如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6【解析】C．5、如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的面积是（）A．3B．6C．10D．12【解析】∵△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC交BC于点E，∴AE⊥BC，且BE=CE，∴AE===4，∴S△ABC=×BC×AE=×6×4=12，∵点D为AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，且DE=AC，∴==，∴S△BDE=S△ABC=×12=3，故选A．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8 C．3. 8D．5【解析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，∴12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．7、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里【解析】D．8、如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥DE．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°，∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3，∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，∴∠2+∠FDE=90°，∴GD⊥DE．9、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）【解析】（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+4，则AB=（6+4）米．➢课后反击1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】C．2、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160°C．170°D．150°【解析】B．3、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【解析】B．4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED【解析】D．5、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解析】连接AC、CF，H是AF的中点，CH=AF=×2=．选：B．6、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（）A．2B．3C．3D．2【解析】A．7、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．【解析】C．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【解析】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=2.5；（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB边上的中线，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．9、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解析】过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=10m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+10）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．直击中考1、【2014•泰州】如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，【解析】D．2、【2010•苏州】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A．B．2C．D．【解析】设菱形ABCD边长为t．∵BE=2，∴AE=t﹣2．∵cosA=，∴．∴=．∴t=5．∴AE=5﹣2=3．∴DE==4．∴tan∠DBE===2．故选B．3、【2015•日照】如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【解析】：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．4、【2016•攀枝花】如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【解析】连接CD，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．5、【2014•威海】如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．【解析】D．6、【2011•黄石】计算：．【解析】2．7、【2012•淮安】如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．【解析】sin∠A===，∴∠A=30°．8、【2016•深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）【解析】作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，∵AB=32m，∴AD=CD=16m，BD=AB•cos30°=16m，∴BC=CD+BD=（16+16）m，则BH=BC•sin30°=（8+8）m．9、【2016•乐山】如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【解析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质与判定2、锐角三角函数及其应用名师点拨该部分是中考考查的热点之一，主要考查直角三角形的判定和性质的应用、运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力；运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是重中之重。

锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AA∠=sin。

3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AA∠=cos。

4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAA∠∠=tan。

sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

考点一：锐角三角函数的定义1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（）A、3：4：5B、5：3：4C、4：3：5D、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB= = ______。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。

5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（）A、ncosBB、1ncosB C、cosnBD、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE BC=，DF AE⊥，垂足为F，连接DE。

（1）求证：ABE△DFA≌△；（2）如果10AD AB=，=6，求sin EDF∠的值。

6、如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

7、如图（1），∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一个点P（3，4），则sinα=______8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于（）A5B、255C、12D、2注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

锐角三角函数专题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切、的增减性：A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

9、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

10、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

:i h l =hlα典型例题1、已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．342、104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．3、 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B．C米 D米 4、一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ）A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°5、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A．4 m C．．8 m6、 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A． 米 B ． 10米C ．15米 D． 7、如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ）A ．3B ．5C ．25D ．2258、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明D家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.1.4141.732）9、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.10、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）11、求值101|2|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°A BC名校真题1.(巴蜀半期) 如图，A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可以在B 处乘坐缆车沿BD 方向先到达小观景平台DE 观景，然后再由E 处继续乘坐缆车沿EA 方向到达A 处，返程时从A 处乘坐升降电梯直接到C 处．已知AC BC ⊥于C ，//DE BC ，斜坡BD 的坡度4:3i =，210BC =米，48DE =米，100BD =米，64α=︒，则AC 的高度为（ ）米（结果精确到0.1米，参考数据：sin640.9︒≈，tan642.1︒≈）A ．214.2B ．235.2C ．294.2D ．315.2 2.（南开月考三）如图，市规划局准备修建一座高6AB m =的过街天桥，已知天桥的坡面AC 的坡度3:4i =，则坡面AC 的长度为（ ）A 、10mB 、8mC 、6mD、3.（南开月考二）如图，在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且 2.82AB =米，BCD ∆表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18，最大夹角β为66，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD 的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin180.31≈，tan180.32≈，sin 660.91≈，tan66 2.2≈）（ ） A 、1.2米 B 、1.5米 C 、1.9米 D 、2.5米4.（南开月考一）如图，小明在大楼30米高（即30PH =米）的窗口P 处进行观测，测得山坡顶A 处的俯角为15，山脚处B 的俯角为60，已知该山坡的坡度i =P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上，点HBC 在同一条直线上，且PH HC ⊥，则A 到BC 的距离为（ ）A．米 B ．15米C．米D ．30米5.（八中月考三）11、如图，某风景区在坡度2题图1题图为7：24的斜坡AB上有一座标志性建筑物BC，在点A处测得建筑物顶部C的仰角为31，斜坡AB=100米，则这座建筑物BC的高度约为（）。

学之佳教育教学辅导教案校区：坪山编号：授课教师李老师日期时间学生年级九年级科目数学课题锐角三角函数教学目标要求1. 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义。

2. 能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值。

教学重难点分析重点：掌握一个锐角的正弦、余弦、正切的定义，能在具体图形中求锐角三角函数。

难点：学会在综合性问题中应用三角函数定义解决问题。

教 学 过 程1. 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把①∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即；②∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即；③∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即。

∠A的正弦、余弦、正切叫作∠A的锐角三角函数。

2. 锐角三角函数定义的理解① sin A、cos A、tan A 是一个整体而不是sin、cos、tan与A的乘积关系。

②锐角三角函数的大小当∠A的大小为一个确定值时，根据相似知识，我们知道∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的。

也就是说，锐角三角函数的大小只与角的大小有关，与边的长短无关。

③锐角三角函数的单位锐角三角函数表示的是两个正数的比值，因而，锐角三角函数没有单位。

3. 锐角三角函数的书写要求在书写锐角三角函数时，要因角的不同表示方法而采用不同的书写方式，不能随意改变。

具体要求如下：①用顶点字母表示的锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。

例如∠B的锐角三角函数，可以分别记作：sinB、cosB、tanB。

②用希腊字母表示的锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的号“∠”。

例如∠β的锐角三角函数，可以分别记作：sinβ、cosβ、tanβ。

③用三个英文字母表示的锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。

例如∠ABC的锐角三角函数，可以分别记作：sin∠ABC、cos∠ABC、tan∠ABC。

第十讲 锐角三角函数【趣题引路】甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同.•有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试,比赛路线如图•所示,•陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与河岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳的线路是折线AA 1A 2,乙赛跑、游泳的线路是折线BB 1B 2,起跑点的连线与线路垂直,终点连线也与线路垂直,开始两人并肩跑,甲先到岸边跳入水中,接着乙再到岸边,•在水中两人齐头并进同时到达终点,你知道他们在陆地上的跑步速度V 1与水中游泳的速度V 2之比是多少吗?解析 如图,作A 1B 3⊥BB 1,B 1A 3⊥A 1A 2,垂足分别为A 3、B 3.• 因两人在陆地上赛跑的速度相同,故甲跑完AA 1与乙跑完BB 3所用时间相同.同样,甲游完A 3A 2•所花时间与乙游完B 1B 2所花时间也相同.又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同,所以甲游完A 1A 3的时间恰好等于乙跑完B 3B 1的时间,设这个时间为t,则: t=133121A A B B v v =.∴12v v =3113B BA A ,……①, 在Rt △A 1B 3B 1中,cos30°=1311B B A B , ∴B 1B 3=1B 1,……②, 在Rt △A 1A 3B 1中,cos60°=1311A A AB ,• 60︒30︒B 3B 2B 1A 3A 2A 1B A∴A1A3= 12A1B1,……③.由上述三式得: 12vv=1111212A BA B【知识延伸】“锐角三角函数”中我们学习了锐角的正弦、余弦、正切,•余切以及一些特殊角的三角函数值的有关计算.在解与锐角三角函数有关的问题时,还要充分利用其余角和同角函数关系,我们知道,在Rt△ABC中,sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A),tanA=(90°-A),cotA=tan(90°-A).这是互余两角的三角函数关系.同时,同角三角函数间也存在着一些特殊的关系.如图，在Rt△ABC中,∵sinA=ac,cosA=bc,∴sin2A=22ac,cos2A=22bc,且a2+b2=c2.∴sin2A+cos2A=1,像这样的同角三角函数关系还有:tanA·cotA=1,tanA=sincosAA，cotA=cossinAA。