中考数学(河南地区)课件第20讲锐角三角函数和解直角三角形

解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9－x， ∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
第十七页，共30页。
直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
第二十一页，共30页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：

二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离； (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解：(1) ∵AE=80，∠BAE=30°，∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答：旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答：海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+ sin283°≈0．122+0．992=0．9945; sin222°+ sin268°≈0．372+0932=1．0018; sin229°+ sin261°≈0．482+0．872=0．9873; sin237°+ sin253°≈0．602+0．802=1．0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算：4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示，点C,E,A在同一直线上，点D,E,B在 同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m， C处与D处的距离为34 m，∠C=90°，∠ABE =90°，∠BAE=30°. (2≈1．4，3≈1．7)
图Z28-7
A.
m
B.
m

解:如图，过点D作DG⊥EF于点G,则A,D,G三点共线,BC=AD=20米,
AB=CD=FG=1.58米,设DG=x米,则AG=(20+x)米,
在Rt△DEG中,∠EDG=60°,tan

60°= = =

3,
解得EG= 3x,
在Rt△AEG中,∠EAG=30°,tan

3
3
30°= =
3 2 1 6+
+ × =
2 2
2
4
2
×
2
−
2
,则sin 15°的值为_________.

1
2
3
4
5
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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练
6.(2022·黑龙江牡丹江)如图，小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小
明在坡比为5:12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则
13
第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练


4.(2022·广东)sin 30°=________.
5.(2022·黑龙江绥化)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcosβ+cos αsin β,sin(αβ)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如:当α=45°,β=3时,sin(45°+30°)=
5
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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
基础全练

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3
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 锐角三角函数定义 若在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则 sinA＝________，cosA ＝________，tanA＝________． 温馨提示 ①锐角三角函数是在直角三角形中定义的． ②sinA，cosA，tanA 表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位． ③锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关． ④当 A 为锐角时，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. 2. 特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
4. 解直角三角形的应用中的相关概念 (1)仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角， 在水平线下方的角叫俯角． (2)坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和________的比叫坡度(或坡比)，即 i＝tanα＝ h ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l
a 5 12 解析 sinA＝ ＝ ，可设 a＝5k，c＝13k，根据勾股定理得 b＝12k，所以 cosA＝ .故选 D. c 13 13
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热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
点对点训练 1. (2013·山东济南)已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则 tanα的值等于( C )

考点2 解直角三角形
4．解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求__未__知__元_素___的过 程叫做解直角三角形．
5．直角三角形中的三边关系为___a_2＋__b_2_＝__c_2 __，三角关系为
sins__∠Ai__＝nA__A＋c__＝o__s∠ssc__iBio__nB＝ns__A＝AB__＝ac＝＝__∠，c__caco__Cso，s_，isB_nBs＝_＝边Bi＝_nacac_角B，c，＝_o_关sssc_iiAo系 _n＝ns_BBA＝_为bc＝＝_，c_cbcot_o，sa_sAnt_A＝＝Aa_＝n_bcbcA_，ab，＝_，_ttaba_ta，n_anA_nAt＝_＝Ba＝_nabab_B，ba，＝__ttba_aa_nn_BB＝_＝_ba_ba___.(Rt△ABC
技法点拨►在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视 角知识构造直角三角形，利用三角函数来解决问题．常见的 构造的基本图形有如下几种：
考点2 解直角三角形
对应练习2
3、（2018无锡）已知△ABC中，AC=10，BC= ，
∠A =30°，则△ABC的面积等于
15
。
3或10
3
考点 3 解直角三角形的应用
A．5 3米 B．10米 C．15米 D．10 3米
4如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝
1，AC=2，则tanA的值为（ B ）
A．2 B．
C、
D、
考点1 锐角三角函数的概念
【例 1】(1)(2018·贵阳)如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方
B 形的边长为 1，则 tan∠BAC 的值为( )
对应练习3
4、（2018济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相

3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。

分析
3 在 Rt△ABF 中，tan∠BAF＝tan∠EFC＝4， BF 3 ∴AB＝4， ∵AB＝8x，∴BF＝6x，
∴BC＝BF＋CF＝10x，∴AD＝10x.
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＋DE2＝AE2，
即(10x)2＋(5x)2＝(5 5 )2，解得x＝1，
∴AB＝8x＝8，AD＝10x＝10，
正弦正切递增值，余弦递减恰相逆.
3.锐角三角函数的性质 (1)同角三角函数之间的关系： sin2α＋cos2α＝ 1；tanα＝ ①sin(90°－α)＝ cosα ； ②cos(90°－α)＝ sinα . (3)锐角三角函数的增减性(0°<α<90°)： ①sinα，tanα的值都随α增大而 增大 ； ②cosα的值都随α增大而 减小.
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角.
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角.
(5)坡角：坡面与水平面的夹角. (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况 下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度， h 即i＝ ＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡. l
A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一
艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿
北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不
明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？
(最后结果保留整数)
(参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732， 3＝
5.直角三角形在现实生活中的应用
直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉

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探究提高 在解斜三角形时，通常把斜三角形转化 为直角三角形，常见的方法是作高，作高 把斜三角形转化为直角三角形，再利用解 直角三角形的有关知识解决问题．
知能迁移3 一次数学活动课上，老师带领学生去 测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在 河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得 C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行 40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上， 请你根据以上数据，求这条河的宽度．(参考 3 数值：tan 31°≈ ) 5
；
(2)角与角的关系：
(3)边与角的关系：
1 2 sinA＝cosB＝a ，cosA＝sinB＝ b ； c c
；
tanA＝b ，tanB＝ a
a
b
1．正确理解三角函数的概念 书写三角函数时，若锐角用一个大写字母 或者一个小写希腊字母表示的，表示它的正 弦时，习惯省略角的符号，如sin A；若锐角 是用三个大写字母或数字表示的，表示它的 正弦时，不能省略角的符号，如sin∠ABC， 余弦和正切的写法同理．由定义可以看出， 锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三 角形的两边的比，因此都是正数；因为锐角A 的取值范围是0<∠A<90°，则三角函数的取 值范围是0<sin A<1,0<cos A<1，tan A>0； 当∠A确定时，三个比值也分别有唯一确定的 值与之对应．
探究提高 此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通 常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形， 再利用边与角之间存在的三角函数式，变形 求得物体高度．
知能迁移2 (2011· 潜江)五月石榴红，枝头 鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线 飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋 3 顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的 俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距 离为3 m，求出小鸟飞行的距离AC和房 屋的高度CD.

3≈277(m)． 277m.
8．(2021·娄底)我国航天事业捷报频传，“天舟二号”于 2021 年 5 月 29 日成 功发射，震撼人心．当“天舟二号”从地面到达点 A 处时，在 P 处测得点 A 的仰角∠DPA 为 30°且 A 与 P 两点的距离为 6km，它沿铅垂线上升 7.5s 后到达 B 处，此时在 P 处测得点 B 的仰角∠DPB 为 45°，求“天舟二号” 从 A 处到 B 处的平均速度．(结果精确到 1m/s，取 3≈1.732， 2≈1.414)
解：由题意，得∠DPA＝30°，∠DPB＝45°，AP＝6km，∠BDP＝90°. ∴在 Rt△APD 中，AD＝12AP＝3km，PD＝AP·cos30°＝6× 23＝3 3(km)． ∴在 Rt△BPD 中，BD＝PD·tan45°＝3 3km. AB＝BD－AD＝3 3－3≈2.196(km)＝2196(m)． 2196÷7.5≈293(m/s)． 答：“天舟二号”从 A 处到 B 处的平均速度约为 293m/s.
答：河宽 EF 的长度约为 53.3m.
10．(2021·怀化)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼 (2014·常德)如图，A，B，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB， BC 表示连接缆车站的钢缆．已知 A，B，C 所处位置的海拔 AA1，BB1，CC1 分别为 160 米，400 米，1000 米，钢缆 AB，BC 分别与水平线 AA2，BB2 所成 的夹角为 30°，45°，求钢缆 AB 和 BC 的总长度．(结果精确到 1 米)
解：过点 C 作 CF⊥AE 于点 F. 则 FC＝AD＝20m，AF＝DC． 在 Rt△ACF 中，∠EAC＝22°. ∵tan∠EAC＝FACF＝tan22°≈25， ∴DC＝AF≈52FC＝52×20＝50(m)．

角
B点位于O点的_南__偏__东__6_0_°方向
三
C点位于O点的__北__偏__西__4_5_°_(或__西__北__)_方向
角
函
数
的
实
际
应
用
考题透析
1.(2022·深圳)如图3，为了测量一条河流的 宽度，测量员在河岸边相距200m的P,Q两点 分别测定对岸一棵树T的位置，点T在点P的 正北方向，且点T在点Q的北偏西70方向，则 河宽(PT的长)可以表示为( B).
（2）在 Rt△BDE 中， ∵DE=2 39 ，BD=4 3 ，∠DBE=90°， ∴BE=6 3， ∴这个过程中，点 E 滑动的距离为（18-6 3 ）cm．
锐角三角函数的实际应用(10年9考)
【满分技法】
模型
模型分析
模型
模型分析
背
基础模型
模型演变
通过在三角形内部作高CD，构造
对
出两个直角三角形求解，其中公
矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形
的边AB=a,BC=b,∠DAO=x,则点C到x轴的距离
等于( A). A.acosx+bsinx
B.acosx+ bcosx
C.asinx+bcosx D.asinx+ bsinx
1. (2021河南19题9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是 石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度，如图，他们选取的 测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4 m，在A处测得佛像头顶部 B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°， 求佛像BD的高度(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 37.5°≈0.61，cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77).

3 3 32 22 1 3 1 3 解：原式＝ × ＋( ) －( ) ×1＝ ＋ － ＝ 3 2 2 2 2 4 2 4
【点评】 利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、 乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的 关键，所以必须熟记． [对应训练] cos60° 2 2．计算：cos 60° － ＋tan245° －sin245° . 1－sin30° 1 12 2 1 1 解：原式＝( ) － ＋1－ ＝－ 2 1 2 4 1－ 2
3．(2016· 菏泽)如图，△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，且 AB＝AC ＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90° ，则△ABC 与△A′B′C′的面积比 为( A) A．25∶9 B．5∶3 C. 5∶ 3 D．5 5∶3 3 4 4．(2016· 怀化)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，sinA＝ ，AC＝6 cm，则 5 BC 的长度为( C) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
5．(2016· 巴中)一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米，台阶拆除后， 换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B) A．斜坡 AB 的坡度是 10° B．斜坡 AB 的坡度是 tan10° 1.2 C．AC＝1.2tan10 ° 米 D．AB＝ 米 cos10°
锐角三角函数的定义 【例 1】 △ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A) A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b 【点评】 本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理的逆定理．解 决本题的关键是掌握好三角函数的定义．

h 坡度(或坡比l )，记作i，即i ＝ ＝tanθ. 方向角是相对的，点A在点 O的北偏西θ上，则点O在
2 考点突破
·考点1锐角三角函数的概念 ·考点2特殊角的锐角三角函数值 ·考点3解直角三角形 ·考点4解直角三角形的应用
考点1锐角三角函数的概念
例 1 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝34 ，则 cos A
∴在 Rt△ACE 中，AE＝ AC2－CE2 ＝3.2k，
∴EF＝AF－AE＝4k－3.2k＝0.8k，
∴在 Rt△CEF 中，CF＝ CE2＋EF2＝4 510k，
4 10
∴在等腰三角形 ACF 中，sad A＝CAFC＝
5 4k
k ＝
10 5
.
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请举出一个反例．
解：小明的猜想成立． 证明如下：如图所示， 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α， sin2α＋sin2(90°－α)＝ABBC2＋AABC2＝BCA2＋BA2 C2＝AABB22＝1.
2．【2021·厦门翔安区模拟·10 分】定义：等腰三角形中底边 与腰的比叫做顶角的正对．例如，在△ABC 中，AB＝AC， 顶角 A 的正对记作 sad A＝底腰边＝BACB.已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝25，sin A＝35，求 sad A 的值．
3 3
⑦ 3
⑨1
________ ________
sinA＝cos⑩______＝；sinB＝
cosA＝；
tanA＝.
三角关 ∠A＋∠B＝∠C＝
如图，在 Rt△ABC中， ∠C＝90°.
系
90°.
三边关